El espacio de momentos

Espacio de momentos

  • Para una partícula sin espín puede considerarse el C.C.O.C. integrado por los tres operadores lineales autoadjuntos \{p_{xop},p_{yop},p_{zop}\} , componentes de su momento \vec{p} \in \mathbb{R}^3, puesto que también conmutan entre sí dos a dos y forman un conjunto completo de observables compatibles (C.C.O.C.), ya que determinar el momento de la partícula determina su estado (y el conjunto no es redundante pues eliminar cualquiera de los tres operadores le hace perder su carácter de completo).
  • Puesto que integran un C.C.O.C., los tres operadores pueden ser diagonalizados simultáneamente, esto es, existe una base ortonormal del espacio formada por vectores propios comunes a todos ellos, caracterizables de forma única salvo fase como \left. \left| p_x,p_y,p_z \right.\right\rangle , donde se han simbolizado los respectivos valores propios, es decir:
    p_{xop} \left. \left| p_x,p_y,p_z \right.\right\rangle = p_x \left. \left| p_x,p_y,p_z \right.\right\rangle ,
    p_{yop} \left. \left| p_x,p_y,p_z \right.\right\rangle = p_y \left. \left| p_x,p_y,p_z \right.\right\rangle ,
    p_{zop} \left.\left| p_x,p_y,p_z \right.\right\rangle =p_z \left. \left| p_x,p_y,p_z \right.\right\rangle ,
    teniéndose debido a la completitud del conjunto que la dimensión del subespacio asociado a cada valor propio es la unidad (partícula sin espín).
  • Estos kets \left. \left| p_x,p_y,p_z \right.\right\rangle representan estados en los que se prepara al sistema de forma que se tiene información maximal sobre el C.C.O.C., y se denominan estados puros. En definitiva, representan estados sobre los que es posible medir simultáneamente (idealmente) sin dispersión en los resultados todos los observables del C.C.O.C.
  • La función de onda en representación de momentos corresponde a la expresión del estado puro \left|\Psi (t)\right>\in \mathscr{H} en la anterior base ortonormal, constituída por todos los autovectores simultáneos \{\left|\vec{p}\right>\} (fases por fijar) del operador momento \vec{p}_{op} (el espectro de cada p_{iop} es continuo y llena \mathbb{R}).
  • Por tanto: la función de onda representativa del estado puro \left|\Psi (t)\right> en la anterior base ortonormal, o función de onda en representación de momentos\Phi (\vec{p};t) , viene dada por \Phi (\vec{p};t)=\left\langle \vec{p} \left|\Psi(t)\right.\right\rangle (\in \mathbb{C}) , donde \vec{p} representa los distintos puntos del espacio \mathbb{R}^3 . Es decir, la función de onda en representación de momentos es el conjunto de escalares \{\Phi (\vec{p};t)=\left\langle \vec{p} \left|\Psi(t)\right.\right\rangle \} \subset \mathbb{C} (esto es, \Phi (\vec{p};t)=\left\langle \vec{p} \left|\Psi(t)\right.\right\rangle \;\; ; \left. \left|\Psi(t)\right.\right\rangle \in \mathscr{H}\;\; ; \{\Phi (\vec{p};t)=\left\langle \vec{p} \left|\Psi(t)\right.\right\rangle \;\, , \forall \vec{p} \in \mathbb{R}^3 \} \subset \mathbb{C} ; \Phi(\vec{p};t) \in L^2(\mathbb{R}^3) ). En otras palabras, el espacio de Hilbert \mathscr{H} queda realizado en representación de momentos como el Hilbert L^2(\mathbb{R}^3) .

Función de onda en el espacio de momentos 

Caso monodimensional

  • Sea un sistema físico constituido por una partícula material de masa m \ne 0 cuyo Hamiltoniano se exprese como H=K+V(x) \ne H(t), donde K y V representan, respectivamente las energías cinética y potencial, siendo V un potencial de variación suave en una longitud del orden de la longitud de onda de de Broglie asociada a la partícula, \lambda=\frac{h}{\sqrt{[2m(E-V(x))]}} , siendo p=\sqrt{[2m(E-V(x))]} el momento clásico de la partícula. Se introduce entonces una función \Phi(p_x;t) tal que satisfaga que ella y una función de ondas \Psi(x;t) son mutua transformada de Fourier la una de la otra:
    \Psi(x;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ip_xx/\hbar}\Phi(p_x;t)dp_x=\mathscr{F}^{-1}\{\Phi (p_x;t) \} ,
    \Phi(p_x;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ip_xx/\hbar}\Psi(x;t)dx=\mathscr{F}\{\Psi (x;t) \} .
  • La función \Phi(p_x;t) se denomina función de ondas en el espacio de momentos (caso monodimensional), y su definición como transformada de Fourier \mathscr{F}\{\Psi (x;t) \} es válida para cualquier función de ondas \Psi(x;t) .
    Su interpretación es: \left|\Phi(p_x;t)\right|^2 define una densidad de probabilidad de momento, por unidad de volumen:
    Postulado: El cuadrado del valor absoluto de la función de onda en el espacio de momentos, \left|\Phi(p_x;t)\right|^2 , representa la densidad de probabilidad de que el resultado de un experimento de determinación del momento de la partícula sea: “momento \vec{p}=\vec{p_x}=p_x \hat{i} en el instante t”.

Caso tridimensional

    En el caso tridimensional las anteriores ecuaciones se escriben:

  • Sea un sistema físico constituido por una partícula material de masa m \ne 0 cuyo Hamiltoniano se exprese como H=K+V(\vec{r}) \ne H(t) , donde K y V representan, respectivamente, las energías cinética y potencial; siendo V un potencial de variación suave en una longitud del orden de la longitud de onda de de Broglie asociada a la partícula, \lambda=\frac{h}{\sqrt{[2m(E-V(\vec{r})]}} , siendo p=|\vec{p}|=+\sqrt{[2m(E-V(\vec{r})]} el módulo del momento clásico de la partícula.
  • La función de ondas en el espacio de momentos \Phi(\vec{p};t) y la función de ondas en el espacio de posiciones \Psi(\vec{r};t) son mutua transformada de Fourier la una de la otra:
    \Psi(\vec{r};t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{i\vec{p}\cdot \vec{r}/\hbar}\Phi(\vec{p};t)d\vec{p}=\mathscr{F}^{-1}\{\Phi (\vec{p};t) \} ,
    \Phi(\vec{p};t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{-i\vec{p} \cdot \vec{r}/\hbar}\Psi(\vec{r};t)d\vec{r}=\mathscr{F}\{\Psi (\vec{r};t) \} .
  • La función \Phi(\vec{p};t) se denomina función de ondas en el espacio de momentos, y su definición como transformada de Fourier \mathscr{F}\{\Psi (\vec{r};t) \} es válida para cualquier función de ondas \Psi(x;t) (es decir, no sólo para un paquete de ondas).
    Su interpretación es: \left|\Phi(\vec{p};t)\right|^2 define una densidad de probabilidad de momento, por unidad de volumen:
    Postulado: El cuadrado del valor absoluto de la función de onda en el espacio de momentos, \left|\Phi(\vec{p};t)\right|^2 , representa la densidad de probabilidad de que el resultado de un experimento de determinación del momento de la partícula sea: “momento \vec{p} en el instante t”. Esto es, | \Phi(\vec{p},t)|^2 como densidad de probabilidad de momento, por unidad de volumen.
  • Consecuentemente, la probabilidad de encontrar a la partícula en un elemento de volumen d\vec{p} en el instante t viene dada por | \Phi(\vec{p},t)|^2d\vec{p} ; la de encontrarla en una región V del espacio en t es \int_V|\Phi(\vec{p},t)|^2d\vec{p} , supuesta la normalización \int_{\mathbb{R}^3}\left|\Phi(\vec{p};t)\right|^2d\vec{p}=1 (la probabilidad de determinar su momento situándola en algún punto de todo el espacio de momentos ha de ser la unidad).
  • La relación entre las funciones de onda en cada una de las dos bases la da la matriz del cambio de base, de elementos \left\langle \vec{r} \left|\vec{p}\right.\right\rangle ; una vez determinados se establece que la relación entre las dos funciones de onda, en el espacio de posiciones \Psi(\vec{r};t) y en el espacio de momentos \Phi(\vec{p};t) , viene dada por la transformada de Fourier:
    \Psi(\vec{r};t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{i\vec{p}\cdot \vec{r}/\hbar}\Phi(\vec{p};t)d\vec{p}=\mathscr{F}^{-1}\{\Phi (\vec{p};t) \} ,
    \Phi(\vec{p};t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{-i\vec{p} \cdot \vec{r}/\hbar}\Psi(\vec{r};t)d\vec{r}=\mathscr{F}\{\Psi (\vec{r};t) \} .

Conservación de la probabilidad

  • Según el teorema de Parseval, si la función \phi(p_x)=\Phi(p_x;t=0) está normalizada a la unidad, \int_{-\infty}^{\infty}\left|\phi(p_x)\right|^2dp_x=1 , se implica que la función \psi(x)=\Psi(x;t=0) también lo está, y además permanece normalizada durante su evolución temporal:
    \int_{-\infty}^{\infty}\left|\Psi(x;t)\right|^2dx=1 \; \forall t .
    Este hecho establece la conservación de la probabilidad, que se produce también en el espacio de momentos,
    \int_{-\infty}^{\infty}\left|\Phi(p_x;t)\right|^2dp_x=1 \; \forall t .
  • En efecto, sea por ejemplo el paquete de ondas para una partícula material de masa m \ne 0 , caso monodimensional:
    \Psi(x;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(p_x)e^{i(p_xx-E(p_x) t)/\hbar}dp_x ,
    para el que suponemos que \phi(p_x) está normalizado, de forma que, por el teorema de Parseval, su transformada de Fourier \psi(x)=\Psi(x;t=0) también lo está,
    \int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi(x)\right|^2dx=1.
    -Entonces, permanece normalizada para todo instante t :
    \int_{-\infty}^{\infty}\left|\Psi(x;t)\right|^2dx
    =\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x;t)\Psi(x;t)dx
    =\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i(p^{'}_xx-E(p^{'}_x) t)/\hbar}e^{i(p_xx-E(p_x) t)/\hbar}\phi^{*}(p^{'}_x)\phi(p_x)dp^{'}_xdp_xdx
    =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i(E(p^{'}_x)-E(p_x))t/\hbar}\delta(p_x-p^{'}_x)\phi^{*}(p^{'}_x)\phi(p_x)dp^{'}_xdp_x
    =\int_{-\infty}^{+\infty}\phi^{*}(p_x)\phi(p_x)dp_x=1 ,
    donde ha aparecido la distribución Delta de Dirac,
    \delta(p_xx-p^{'}_xx)=\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i(p^{'}_xx-p_xx)/\hbar}dx (ver apéndice al final de la entrada).
    -Y, finalmente, invocando de nuevo el teorema de Parseval, de la normalización de \Psi(x;t) para todo instante t , se infiere la normalización de \Phi(p_x,t) , para todo instante t .
  • Para el caso tridimensional, de nuevo según el teorema de Parseval, si la función \phi(\vec{p})=\Phi(\vec{p};t=0) está normalizada a la unidad, \int_{\mathbb{R}^3}\left|\phi(\vec{p})\right|^2d\vec{p}=1 , se implica que la función \psi(\vec{r})=\Psi(\vec{r};t=0) también lo está, y además permanece normalizada durante su evolución temporal:
    \int_{\mathbb{R}^3}\left|\Psi(\vec{r};t)\right|^2d\vec{r}=1 \; \forall t .
    Este hecho establece la conservación de la probabilidad, que se produce también en el espacio de momentos,
    \int_{\mathbb{R}^3}\left|\Phi(\vec{p};t)\right|^2d\vec{p}=1 \; \forall t .

Ecuación de Schrödinger en el espacio de momentos

  • La ecuación de Schrödinger para una partícula material (no relativista) en el seno de un potencial real V(\vec{r};t) , puede escribirse en el espacio de momentos, actuando sobre la función de ondas en este espacio, \Phi(\vec{p};t) , según:
    i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Phi(\vec{p};t)=H\Phi(\vec{p}\ ;t)=[\frac{\vec{p}^2}{2m}+V(i\hbar \nabla_p\,;t)]\Phi(\vec{p};t)
    (expresión válida siempre que V sea una función analítica, que admita desarrollo en serie de potencias de r_i\;,\;i=x,y,z).
  • La forma general de la ecuación de Schrödinger en el espacio de momentos se obtiene partiendo de la ES en el espacio de configuración (posiciones),
    i\hbar \frac{ \partial \Psi(\vec{r};t)}{ \partial t}=H \Psi(\vec{r};t)= [\frac{ \vec{p}^2}{2m} +V(\vec{r};t)] \Psi(\vec{r};t) ,
    y haciendo uso de la relación entre las funciones de onda \Psi(\vec{r};t) y \Phi(\vec{p};t) , dada por la transformada de Fourier:
    \Psi(\vec{r};t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{i\vec{p}\cdot \vec{r}/\hbar}\Phi(\vec{p};t)d\vec{p}=\mathscr{F}^{-1}\{\Phi (\vec{p};t) \} ,
    \Phi(\vec{p};t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{-i\vec{p} \cdot \vec{r}/\hbar}\Psi(\vec{r};t)d\vec{r}=\mathscr{F}\{\Psi (\vec{r};t) \}
  • Procediendo:
    1. i\hbar \frac{ \partial \Psi(\vec{r};t)}{ \partial t}= [\frac{ \vec{p}^2}{2m} +V(\vec{r};t)] \Psi(\vec{r};t)
    2. i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \int e^{i\vec{p}\ ' \cdot \vec{r} /\hbar}\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '
      =[ \frac{\vec{p}^2}{2m}+V(\vec{r};t)] \int e^{i\vec{p}\ ' \cdot \vec{r} /\hbar}\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '
    3. \int e^{i\vec{p}\ ' \cdot \vec{r} /\hbar}i\hbar\frac{\partial \Phi(\vec{p}\ ';t)}{\partial t} \ d\vec{p}\ '
      =\frac{\vec{p}^2}{2m} \int e^{i\vec{p}\ ' \cdot \vec{r}/\hbar}\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '
      + \int V(\vec{r};t) \ e^{i\vec{p}\ '\cdot \vec{r} /\hbar} \,\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '
    4. A continuación proyectamos sobre e^{-i\vec{p}\ '' \cdot \vec{r}/\hbar} e integramos sobre d\vec{r} :
      \int \int e^{i(\vec{p}\ '-\vec{p}\ '') \cdot \vec{r} /\hbar}\,i\hbar\,\frac{\partial \Phi(\vec{p}\ ';t)}{\partial t} \ d\vec{p}\ '\ d\vec{r}
      =\frac{\vec{p}_{op}^2}{2m} \int \int e^{i(\vec{p}\ '-\vec{p}\ '') \cdot \vec{r}/\hbar}\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '\ d\vec{r}
      + \int \int V(\vec{r};t)\ e^{i(\vec{p}\ '-\vec{p}\ '')\cdot \vec{r} /\hbar} \ \Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '\ d\vec{r}
    5. Se introduce la delta de Dirac,
      \delta(\vec{p}\ '-\vec{p}\ '')=\delta(\vec{p}\ ''-\vec{p}\ ')=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3} \int e^{i(\vec{p}\ '-\vec{p}\ '' ) \cdot \vec{r}/\hbar}\ d\vec{r}
      obteniendo
      \int \delta(\vec{p}\ '-\vec{p}\ '')\,i\hbar\,\frac{\partial \Phi(\vec{p}\ ';t)}{\partial t} \ d\vec{p}
      =\frac{\vec{p}^2}{2m} \int \delta(\vec{p}\ '-\vec{p}\ '')\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '
      + \frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int \int V(\vec{r};t)\ e^{i(\vec{p}\ '-\vec{p}\ '')\cdot \vec{r} /\hbar} \ \Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '\ d\vec{r}
    6. Se obtiene pues la expresión:
      i\hbar\,\frac{\partial \Phi(\vec{p}\ '';t)}{\partial t}=\frac{\vec{p}^2}{2m} \ \Phi(\vec{p}\ '';t) \ +\ \int \mathscr{V}(\vec{p}\ ''-\vec{p}\ ')\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '
      donde se ha introducido el operador
      \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ ''-\vec{p}\ '\ ;t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int V(\vec{r};t)\ e^{i(\vec{p}\ ''-\vec{p}\ ')\cdot \vec{r} /\hbar} \,d\vec{r}
    7. Tomando ahora \vec{p}\ ''=\vec{p} (es decir, se considera se ha proyectado precisamente sobre e^{-i\vec{p} \cdot \vec{r}/\hbar} , siendo \vec{p} el valor que aparecía en la ES inicial), se obtiene finalmente la forma general de la ecuación de Schrödinger en el espacio de momentos:
      i\hbar\,\frac{\partial \Phi(\vec{p}\ ;t)}{\partial t}=\frac{\vec{p}^2}{2m} \ \Phi(\vec{p}\ ;t)\ +\ \int \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ -\vec{p}\ '\ ;t)\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '
      donde
      \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ - \vec{p}\ '\ ;t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int V(\vec{r};t)\ e^{-i(\vec{p}\ -\vec{p}\ ')\cdot \vec{r} /\hbar}\,d\vec{r}
  • La forma obtenida, que es la de una ecuación integral, muestra que, en muchos casos, por la presencia de la integral, es más complicado trabajar (analíticamente) en el espacio de momentos que en el de configuración.
  • Forma de la ecuación de Schrödinger en el espacio de momentos análoga a la del espacio de posiciones:
    1. La ecuación de Schrödinger para una partícula material (no relativista), con masa m \ne 0 , en el seno de un potencial real V(\vec{r};t) , puede escribirse también en el espacio de momentos, actuando sobre la función de ondas en este espacio, \Phi(\vec{p};t) , según:
      i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Phi(\vec{p};t)=H\Phi(\vec{p}\ ;t)=[\frac{\vec{p}^2}{2m}+V(i\hbar \nabla_p\,;t)]\Phi(\vec{p};t) ,
      expresión válida para una función real  V(\vec{r};t) analítica (admite un desarrollo en serie de potencias de r_i\;;\;i=x,y,z ).
    2. En efecto, demostrémoslo en el caso monodimensional:
      -Sea V(x;t)=\sum_n a_n(t) x^n ;
      se tiene
      i\hbar\,\frac{\partial \Phi(p_x;t)}{\partial t}=\frac{p_x^2}{2m} \ \Phi(p_x;t) \ +\ \int \mathscr{V}(p_x-p_x'\ ;t)\Phi(p_x'\ ;t)\ dp_x' ,
      donde se ha introducido el operador
      \mathscr{V}_{op}(p_x-p_x'\ ;t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)}\int_{-\infty}^{+\infty} V(x;t)\ e^{-i(p_x-p_x')\ x /\hbar} \,dx
      -Operando:
      \mathscr{V}_{op}(p_x-p_x'\ ;t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)}\int_{-\infty}^{+\infty} \sum_n a_n(t) x^n \ e^{-i(p_x-p_x')\ x /\hbar} \,dx ;
      usamos
      x^n \ e^{-ip_xx/\hbar}=(-\frac{\hbar}{i})^n \frac{d^n}{dp_x^n}e^{-ip_xx/\hbar}
      para obtener vía su sustitución en el anterior integrando:
      \mathscr{V}_{op}(p_x-p_x'\ ;t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)}\int_{-\infty}^{+\infty} \sum_n a_n(t) (-\frac{\hbar}{i})^n\ \frac{d^n}{dp_x^n} e^{-i(p_x-p_x')\ x /\hbar} \,dx
      =\frac{1}{(2\pi \hbar)} \sum_n a_n(t) (-\frac{\hbar}{i})^n\ \frac{d^n}{dp_x^n} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i(p_x-p_x')\ x /\hbar} \,dx
      -Sustituyendo a continuación la anterior expresión en el término integral que contiene la forma general de la ecuación de Schrödinger en el espacio de momentos:
      \int \mathscr{V}(p_x-p_x'\ ;t)\Phi(p_x'\ ;t)\ dp_x'
      =\frac{1}{(2\pi \hbar)}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\sum_n a_n(t) (-\frac{\hbar}{i})^n\ \frac{d^n}{dp_x^n} e^{-i(p_x-p_x')\ x /\hbar} \Phi(p_x'\ ;t)\ dp_x' \,dx
      =\frac{1}{(2\pi \hbar)}\sum_n a_n (-\frac{\hbar}{i})^n\ \frac{d^n}{dp_x^n}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i(p_x-p_x')\ x /\hbar} \Phi(p_x'\ ;t)\ dp_x' \,dx
      =\sum_n a_n(t) (-\frac{\hbar}{i})^n\ \frac{d^n}{dp_x^n}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(p_x-p_x') \Phi(p_x'\ ;t)\ dp_x'
      -Haciendo uso de la propiedad de la distribución delta de Dirac,
      \delta(p_x-p_x')=\frac{1}{(2\pi \hbar)}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i(p_x-p_x')\ x /\hbar} \,dx
      se llega finalmente al resultado buscado:
      \int \mathscr{V}(p_x-p_x'\ ;t)\Phi(p_x'\ ;t)\ dp_x'=\sum_n a_n(t) (-\frac{\hbar}{i})^n\ \frac{d^n}{dp_x^n} \Phi(p_x\ ;t)
      = V(i\hbar \frac{\partial}{\partial p_x}) \Phi(p_x\ ;t)

Estados estacionarios en el espacio de momentos

  • Retomemos la ecuación de Schrödinger general en el espacio de momentos en la forma obtenida antes:
    i\hbar\,\frac{\partial \Phi(\vec{p}\ ;t)}{\partial t}=\frac{\vec{p}^2}{2m} \ \Phi(\vec{p}\ ;t)\ +\ \int \mathscr{V}(\vec{p}\ -\vec{p}\ '\ ;t)\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '
    donde
    \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ - \vec{p}\ '\ ;t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int V(\vec{r};t)\ e^{-i(\vec{p}\ -\vec{p}\ ')\cdot \vec{r} /\hbar}\,d\vec{r} .
  • En el caso particular de un potencial V independiente del tiempo, las ecuaciones anteriores se convierten en:
    i\hbar\,\frac{\partial \Phi(\vec{p}\ ;t)}{\partial t}=\frac{\vec{p}^2}{2m} \ \Phi(\vec{p}\ ;t)\ +\ \int \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ -\vec{p}\ ')\Phi(\vec{p}\ ';t)\ d\vec{p}\ '
    con
    \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ - \vec{p}\ ')=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int V(\vec{r})\ e^{-i(\vec{p}\ -\vec{p}\ ')\cdot \vec{r} /\hbar}\,d\vec{r} ,
    que admite soluciones particulares de la forma separada
    \Phi(\vec{p}\ ;t)=C\,e^{-iEt/\hbar}\ \phi(\vec{p}) ,
    denominadas como estados estacionarios de energía en el espacio de momentos,
    donde C representa una constante arbitraria.
  • En efecto:
    1. Sea \Phi(\vec{p}\ ;t)=\phi(\vec{p})\tau(t)
    2. Sustituimos en la ES:
      i\hbar\,\phi(\vec{p}) \ \frac{d \tau(t)}{d t}=\frac{\vec{p}^2}{2m} \ \phi(\vec{p})\tau(t)\ +\ \int \mathscr{V}(\vec{p}\ -\vec{p}\ ')\phi(\vec{p}\ ')\tau(t)\ d\vec{p}\ '
      i\hbar\,\frac{1}{\tau(t)}\frac{d \tau(t)}{d t}=\frac{\vec{p}^2}{2m} \ +\ \frac{1}{\phi(\vec{p})} \int \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ -\vec{p}\ ')\phi(\vec{p}\ ')\ d\vec{p}\ ' =E ,
      donde E es la correspondiente constante de separación, con dimensiones de energía.
    3. La ecuación diferencial en la variable t es una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogénea, de primer orden en el tiempo t, cuya solución general tiene la forma: \tau(t)=C\,e^{-iEt/\hbar} , donde C representa una constante arbitraria.
    4. Para la función \phi(\vec{p}) se deriva la siguiente ecuación integral:
      \frac{\vec{p}^2}{2m}\phi(\vec{p}) + \int \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ -\vec{p}\ ')\phi(\vec{p}\ ')\ d\vec{p}\ ' =E\phi(\vec{p}) .
  • La ecuación integral
    \frac{\vec{p}^2}{2m} \ \phi(\vec{p}) + \int \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ -\vec{p}\ ')\ \phi(\vec{p}\ ')\ d\vec{p}\ ' =E\ \phi(\vec{p}) ,
    donde
    \mathscr{V}_{op}(\vec{p}\ - \vec{p}\ ')=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int V(\vec{r})\ e^{-i(\vec{p}\ -\vec{p}\ ')\cdot \vec{r} /\hbar}\,d\vec{r}
    constituye la ecuación de Schrödinger para los estados estacionarios de energía en el espacio de momentos, a menudo denominada también como ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en el espacio de momentos.
  • La relación entre los estados estacionarios en los espacios de momento y posiciones viene dada obviamente por la establecida (transformadas de Fourier):
    \Phi_E(\vec{p};t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{-i\vec{p} \cdot \vec{r}/\hbar}\Psi_E(\vec{r};t)d\vec{r}=\mathscr{F}\{\Psi_E (\vec{r};t) \}
    \Psi_E(\vec{r};t)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{i\vec{p}\cdot \vec{r}/\hbar}\Phi_E(\vec{p};t)d\vec{p}=\mathscr{F}^{-1}\{\Phi_E (\vec{p};t) \} ,
    y también:
    \phi_E(\vec{p})=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{-i\vec{p} \cdot \vec{r}/\hbar}\psi_E(\vec{r})d\vec{r}=\mathscr{F}\{\psi_E (\vec{r}) \}
    \psi_E(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}e^{i\vec{p}\cdot \vec{r}/\hbar}\phi_E(\vec{p})d\vec{p}=\mathscr{F}^{-1}\{\phi_E (\vec{p}) \} ,

Apéndice: Delta de Dirac

  • La distribución Delta de Dirac:
    \delta(p_xx-p^{'}_xx)=\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i(p^{'}_xx-p_xx)/\hbar}dx
  • Propiedad:
    \int_a^bf(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0) cuando a<x_0<b , cero en otro caso.

Referencias

[BOH-89] Bohm, D.;  “Quantum Theory”; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; “Quantum Mechanics”; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; “Mecánica Cuántica”, Eudema, 1989.

Páginas complementarias
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2010/07/el-espacio-posicion-y-el-espacio.html

APPS

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/77-gauss

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/76-representacion-de-momentos

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