La radiación del cuerpo negro

Cuerpo negro: problema teórico en que se encuadra la aparición del concepto revolucionario de “cuantización” o discretización de la magnitud física “energía”.

“Cuerpo que absorbe toda la energía radiante que incide sobre él”

  • La superficie de cualquier cuerpo con temperatura por encima del cero absoluto emite energía en forma de radiación electromagnética. El correspondiente espectro de radiación es continuo, y la distribución espectral depende de la temperatura absoluta T.
  • La emisión va acompañada de absorción: al incidir radiación sobre la superficie de un cuerpo, parte de ella se absorbe (y parte se refleja).

Contexto histórico

  • En 1800 Herschel había descubierto unos “rayos caloríficos” o radiación infrarroja, demostrándose que se podía transportar calor mediante “ondas de luz no visible”.
  • Ámbito teórico inicial: Termodinámica.
  • Mecánica Estadística, a partir de 1870, cuando Boltzmann empieza su desarrollo.
  • En 1873 Maxwell publicó “A Treatise on Electricity and Magnetism”, donde compilaba su teoría del campo electromagnético, con sus famosas ecuaciones, que había empezado a estudiar desde 1861-62. En su teoría se postulan unas “ondas electromagnéticas”, confirmadas experimentalmente por Hertz en 1887-88.

Definiciones:

  • E(\nu,T) : radiancia espectral, coeficiente de emisión, poder emisivo o emitancia espectral, de un cuerpo para una frecuencia \nu = \frac{\omega}{2\pi}  y temperatura absoluta T dadas: función tal que
    E(\nu,T)d\nu representa la cantidad de energía radiante emitida el cuerpo, con frecuencia entre \nu y \nu+d\nu, por unidad de tiempo y de superficie, para unas \nu y T dadas
    (unidades para E:  W\cdot m^{-2} \cdot Hz^{-1}).
  • R(\nu,T) : irradiancia espectral, sobre un cuerpo y para unas \nu y T dadas: función tal que
    R(\nu,T)d\nu representa la cantidad de energía radiante incidente sobre el cuerpo, por unidad de tiempo y de superficie, y con frecuencia entre \nu y \nu+d\nu, para unas \nu y T dadas
    (unidades para R:  W\cdot m^{-2} \cdot Hz^{-1}).
  • A(\nu,T) : coeficiente de absorción o poder absorbente, de un cuerpo y para unas \nu y T dadas: función tal que
    A(\nu,T)d\nu representa la fracción de energía radiante incidente sobre el cuerpo, con frecuencia entre \nu y \nu+d\nu, que éste absorbe, para unas \nu y T dadas.
  • Radiación del cuerpo negro: radiación térmica emitida o absorbida por un cuerpo negro.
  • \rho(\nu,T) : densidad de energía radiante : función tal que
    \rho(\nu,T)d\nu representa la energía de radiación térmica contenida en un medio a temperatura absoluta T, por unidad de volumen, con frecuencia entre \nu y \nu+d\nu
    (unidades para \rho:  J\cdot m^{-3}\cdot Hz^{-1}).

Propiedad: para un cuerpo negro: A(\nu,T)=1 \forall \nu \, , \forall T

Equilibrio térmico: cuando el cuerpo que se mantiene a temperatura constante, por lo tanto emitiendo y absorbiendo la misma cantidad de energía radiante por unidad de tiempo y superficie (supuestos no conducción, no convección):\int_{0}^{\infty}A(\nu,T)R(\nu,T)d\nu=\int_{0}^{\infty}E(\nu,T)d\nu.

Principio del equilibrio o balance detallado: En el equilibrio térmico (T=\text{constante}), las potencias radiada y absorbida por un cuerpo son iguales para cualquier elemento de área particular de dicho cuerpo, y también para cada dirección particular de polarización y para cualquier intervalo de frecuencia.

Radiación térmica: radiación emitida o absorbida por un cuerpo en equilibrio térmico.

Ley de Kirchhoff:

  • Se considera un “espacio hueco de Kirchoff”: cavidad o hueco vacío con paredes opacas a la radiación (no atravesables tanto para la incidente desde el exterior como para la proveniente desde el interior, y absorbentes en su cara interior) que se mantienen a temperatura absoluta T constante; alcanzado el equilibrio térmico en el interior, la cantidad de energía radiante emitida por las paredes interiores es igual a la cantidad absorbida, para cualquier elemento de superficie (sean cuáles sean su posición y orientación), por unidad de tiempo.
  • Durante 1859-1860 Kirchoff estableció experimentalmente y vía razonamientos termodinámicos que, en el equilibrio:
    • R(\nu,T) es independiente de la forma de la cavidad y de la naturaleza o material de sus paredes, y constante en toda la cavidad.
    • La igualdad entre energía emitida y absorbida por las paredes internas de la cavidad,  para cualquier elemento de superficie, se cumple para cada intervalo de frecuencia (confirmación del principio del balance detallado).
  • Así pues, alcanzado el equilibrio térmico, se tiene que:
     \frac{E(\nu,T)}{A(\nu,T) }=R(\nu,T) =F(\nu,T), donde F es una función universal, independiente de la naturaleza del cuerpo: para todos los cuerpos, independientemente de su naturaleza, el cociente entre el poder emisivo y el coeficiente de absorción es una misma función universal (ley de Kirchhoff).
  • Es decir: todo cuerpo en equilibrio térmico emite las radiaciones  que absorbe (globalmente y por banda de frecuencia), y viceversa: “buen emisor, buen absorbente; mal emisor, buen reflector” (de  unas \nu dadas, para cada T).
  • Por tanto, el poder emisivo de un cuerpo negro es, para cualquier frecuencia  \nu, mayor que el de cualquier otro tipo de cuerpo (ya que A(\nu,T)=1 \forall \nu \, , \forall T).
  • Nota: si en vez del vacío, en el interior de la cavidad se dispusiese un medio homogéneo e isótropo, de índice de refracción  n(\nu), la ley de Kirchhoff tomaría la expresión:
     \frac{E(\nu,T)}{A(\nu,T) }=n^2(\nu) R(\nu,T).

 Radiación del cuerpo negro: una función universal R(\nu,T)

  • El espacio hueco de Kirchhoff nos provee de un modelo experimental de cuerpo negro, que permite determinar la función universal R(\nu,T): basta realizar un pequeño orificio en la cavidad, tan pequeño que la radiación que por él salga al exterior no perturbe apreciablemente el equilibrio en su interior:
  • El modelo experimental de cuerpo negro así construido en efecto absorbe toda la radiación que incide sobre él: tras múltiples reflexiones en el interior de la cavidad, acaba siendo absorbida en su totalidad.
  • El análisis espectral de esa radiación emitida nos permitirá dibujar la función \pi B(\nu,T) =R(\nu,T) = F(\nu,T)=E(\nu,T), para cada T dada, una función universal conocida como la “radiancia espectral del cuerpo negro”, que ya era conocida a finales del s. XIX, principalmente por los trabajos de O. Lummer y E. Pringsheim durante 1895-1900; primero para altas frecuencias y ya en 1900 también para bajas.
    (unidades para B(\nu,T):   W\cdot m^{-2} \cdot Hz^{-1}\cdot sr^{-1} ; para B_{\lambda}(\lambda,T)=\frac{c}{\lambda^2}B(\nu=\frac{c}{\lambda},T) , las unidades serán  W\cdot m^{-3} \cdot sr^{-1} ):
Fuente: Astrophysique sur Mesure : Observatorio de París U.F.E.

Radiancia espectral

Radiancia espectral del cuerpo negro en función de la frecuencia.
  • Función densidad espectral de energía en la cavidad \rho(\nu,T): función tal que
    \rho(\nu,T)d\nu representa la cantidad de energía radiante en la cavidad (vacía), por unidad de volumen, con frecuencia entre \nu y \nu+d\nu, para una T dada (si la cavidad no está vacía hay que multiplicar por el cuadrado del correspondiente índice de refracción); se tiene la relación:
    \rho(\nu,T) = \frac{4}{c} R(\nu,T)  (vacío)
  • La siguiente figura nos muestra la relación entre temperatura y color para un cuerpo negro:

    Fuente: Observatorio de París, U.F.E.

Desarrollo teórico (semi-empírico):

  • 1879: ley de Stefan-Boltzmann: propuesta como extrapolación verosímil de resultados experimentales por Stefan y justificada teóricamente por Boltzman en 1884, mediante razonamientos puramente termodinámicos: R(T)=\int_{0}^{\infty}R(\nu,T)d\nu=\sigma T^{4} \; ; \sigma=5.67\times10^{-8}W \cdot m^{-2} \cdot k^{-4}.
  • 1893: fórmula y ley del desplazamiento de Wien:  R(\nu,T) = \frac{c}{4} \nu^{3}f(\frac{\nu}{T}), fórmula en la que no se especificaba la función f(\frac{\nu}{T}) y que se acompañaba de la conocida como ley del desplazamiento:  \lambda _{max} \cdot T = \text{constante} = 2.898 \times 10^{-3} m \cdot K
Astrophysique sur Mesure: Observatorio de París, U.F.E.
  • En 1896, Wien propuso, aplicando la fórmula de Maxwell para la distribución de velocidades en un gas perfecto, o ley de distribuciones de Maxwell-Boltzmann, la fórmula (semi-empírica) R(\nu,T) = \alpha \nu^3 e^{ -\frac{\beta \nu}{ k_B T}}, con \alpha y \beta constantes a ajustar empíricamente. La fórmula reproducía bien los datos experimentales en la zona de altas frecuencias, pero fallará para bajas frecuencias.
  • En 1900, la fórmula de Planck, obtenida primero semi-empíricamente, realizando interpolaciones, en las que aparecía una “constante h de ayuda”; luego, arduamente tratada de justificar relacionando la energía de un oscilador con su entropía, mediante argumentos termodinámicos y estadísticos; finalmente, deducible suponiendo que la energía total del sistema se forma a partir de un número grande pero finito de “elementos de energía” de tamaño h\nu, de modo que lo que se discretiza es el proceso de intercambio de energía de los osciladores, limitado a valores de la energía múltiplos de elemento h\nu, es decir, E_N=Nh\nu, N=0,1,2\ldots Esta discretización consigue, por fin, ajustar los datos experimentales: R(\nu,T) = \frac{2 \pi \nu^2}{c^2} \frac{h \nu}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}-1} (o, en términos de \lambda, R(\lambda,T) = \frac{2 \pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}), donde aparece por primera vez la constante h, denominada por Planck como “constante auxiliar”,  que interviene en la subdivisión de la energía en “elementos”. Esta fórmula permitía, además, la deducción de la ley del desplazamiento de Wien (basta buscar el máximo de la función para una T dada); de la ley de Wien (basta tomar aproximar considerando h\nu \gg K_B T) y de la ley de Stefan-Boltzmann (integrando la intensidad emitida sobre el rango de frecuencias).
  • Desarrollada durante 1900-1905, la fórmula teórica de Rayleigh-Jeans (al parecer ya también esbozada por Lorentz en 1903) resumía la predicción clásica aplicando el teorema de equipartición de la energía de la Teoría Cinética y la teoría electromagnética: R(\nu,T) = \frac{2 \pi }{c^2} \nu^2 k_B T. Esta ley clásica concuerda con los resultados experimentales en la región de muy bajas frecuencias, h\nu \ll k_B T (a diferencia de la fórmula de Wien), pero presenta el problema denominado como “catástrofe ultravioleta“: presenta integral divergente sobre el rango global de frecuencias. La fórmula se deriva de la de Planck en el límite h \rightarrow 0, y es que “la finitud” de h imposibilita la aplicación del teorema de equipartición de la energía clásico, que establece \bar{E}=K_BT. En 1910 Ehrenfest probó la imposibilidad de derivar la fórmula de Planck, esto es, la única fórmula teórica que ajustaba perfectamente los datos experimentales, sin introducir una hipótesis de discontinuidad.
  • La siguiente figura nos muestra una comparativa entre estas fórmulas:
Comparativa entre distintas fórmulas para la radiancia espectral del cuerpo negro.

El postulado de cuantización de la energía para un oscilador

  • Postulado de Planck: Para todo ente físico con un grado de libertad mecánico, cuya coordenada generalizada realice un movimiento armónico simple, la energía sólo puede tener un conjunto discreto de valores, especificados por la relación de Planck: E=Nh\nu, donde \nu es la frecuencia de la oscilación, h es la constante de Planck y N=0,1,2\ldots (la mecánica cuántica excluirá después el valor nulo, añadiendo una constante a la expresión).
  • Fue Einstein quien en 1906 expresó con rigor que la energía de los osciladores estaba cuantizada según el anterior postulado.
  • Planck sólo concibió discretizar el proceso de radiación de los osciladores, pero no la radiación misma. Esta revolución la haría Einstein.
  • Sólo a partir de 1909 Planck aceptaría en público la cuantización de la energía.

Ejemplo

The solar spectrum is the WRC spectrum provided by M. Iqbal: An Introduction to Solar Radiation, Academic Press 1983, Table C1. The black body spectral irradiance has been computed from a black-body spectrum for T equal 5777 K and assuming a solid angle of 6.8e-5 steradian for the source (the solar disk). Imagen “EffectiveTemperature, 300dpi”, autor: eSch.; under CC BY-SA 3.0 Wikimedia Commons.

El fondo de radiación cósmica (CMB)

  • “El Fondo de Radiación Cósmico (CMB) fue descubierto por casualidad en 1965. Consiste en radiación de fondo isotrópica con un espectro de cuerpo negro de temperatura 2.725 K”; de origen astrofísico,”fue descubierto accidentalmente en 1965 por Penzias y Wilson, de Bell Laboratories, usando una radio antena en 7.35 cm. Al apuntar la antena al cielo encontraron una señal más alta de lo esperado, isotrópica y correspondiente a una temperatura de 3.5 K (Penzias & Wilson, ApJ, 1965, 142, 419)”…
    -Continuar leyendo en: mhamuy; Universidad de Chile; cap. 10.
  • Esta radiación se considera una prueba a favor del modelo del Big Bang.

Nota histórica: sobre la radiación infrarroja (Fuente: la Wikipedia)

  • La radiación infrarroja, o radiación IR, es un tipo de radiación electromagnética (térmica), de mayor longitud de onda que la luz visible, pero menor que la de las microondas. Consecuentemente, tiene menor frecuencia que la luz visible y mayor que las microondas. Su rango de longitudes de onda va desde unos 0,7 hasta los 1000 micrómetros. La radiación infrarroja es emitida por cualquier cuerpo cuya temperatura sea mayor que 0 Kelvin, es decir, sobre ?273,15 grados Celsius (cero absoluto).
  • Los infrarrojos fueron descubiertos en 1800 por W. Herschel, un astrónomo inglés de origen alemán, quien colocó un termómetro de mercurio en el espectro obtenido por un prisma de cristal con el fin de medir el calor emitido por cada color. Descubrió que el calor era más intenso al lado del rojo del espectro y observó que allí no había luz; es la primera experiencia que muestra que el calor puede transmitirse por una forma invisible de luz (recuérdese que el concepto de onda electromagnética apareció en Física  sobre 1865). Herschel denominó a esta radiación “rayos calóricos“, denominación que fue bastante popular a lo largo del siglo XIX, hasta la publicación de la teoría electromagnética de Maxwell.
  • La materia emite radiación. En general, la longitud de onda donde un cuerpo emite el máximo de radiación es inversamente proporcional a la temperatura de éste (ley de Wien). De esta forma, la mayoría de los objetos a temperaturas cotidianas tienen su máximo de emisión en el infrarrojo.

Páginas complementarias:

Apuntes de R. Zamora: Radiación del cuerpo negro (pdf)

Apuntes de J.I. Fernández Palop:  Radiación del cuerpo negro (pdf)

Enlaces útiles:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/bbcon.html#c1

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/radiacion/radiacion.htm

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/299003/contenidoexe/Contenido_exe/Modulo_Fisica_Moderna/radiacin_del_cuerpo_negro.html

 APPS:

http://www.uruguayeduca.edu.uy/UserFiles/P0001/File/cuerpo_negro.swf

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/56-cuerponegro

http://demonstrations.wolfram.com/SpectralDistributionOfTotalEnergyEmittedByABlackBodyVersusTe/

http://demonstrations.wolfram.com/StefanBoltzmannLaw/

 

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