El pozo cuadrado infinito

El pozo cuadrado infinito

  • Función potencial V(x) :
    pozo-infinito physics-stackexchange.com
    Pozo infinito (caja de paredes impenetrables); simétrico en torno al origen.

    V(x) = \left \{ \begin{matrix} V_o & \mbox{si } |x| < a\;:\; zona \;\; I  \\ +\infty & \mbox{si } |x| \ge a\;: \; zona \;\; II \; \end{matrix}\right.
    donde V_o es un número real, con dimensiones de energía y que puede ser positivo o negativo.
    -Se trata de una función con discontinuidades de segunda especie en los puntos x=\pm a\; \; ,\;a\in \mathbb{R}\;,\; a > 0 , puntos en los que se sitúan sendas barreras impenetrables de potencial; por lo tanto, en ellos se debe imponer la condición de frontera de anulación de la función de onda \psi(x) : se produce el confinamiento o ligadura de la partícula en el interior del intervalo (-a,a) de la recta real, de longitud L=2a .

  • Problema de autovalores de energía:
    \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0 ,
    y buscamos soluciones \psi(x) que sean funciones continuas y con derivada primera \psi'(x) también continua allí donde V(x) es finito: en el intervalo (-a,a) ; las funciones \psi(x) tendrán sendos nodos en los puntos extremos x=\pm a : \psi(\pm a)=0 (donde \psi'(x) presentará una discontinuidad de primera especie).
  • La solución general de una EDO
    \frac{d^2\psi}{dx^2}\mp k^2\psi=0 ,
    donde k>0 , k \in \mathbb{R} , tiene la expresión:
    -Signo (-) : \psi(x)=C_1 \ e^{kx} + C_2\ e^{-kx}
    con C_1,C_2 escalares arbitrarios.
    -Signo (+) : \psi(x)=C_1 \ e^{+ikx} + C_2\ e^{-ikx}=C'_1 \ cos\ kx + C'_2\ sen \ kx
    con C_1,C_2,C'_1,C'_2 escalares arbitrarios.
  • En la región espacial considerada I, |x|<a , la forma concreta de la EDO planteada es:
    Zona I : \quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V_{o}]\psi(x)=0
  • Cuantización de la energía:
    1. E< V_o :
      1. Zona I: |x|<a: \psi_{I}(x)=A \ e^{kx} + B\ e^{-kx} con k=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0 y A,B escalares arbitrarios. Zona II: |x| \ge a: \psi_{II}(x)=0 \; , \, \forall x .
      2. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
        -Anulación x=-a \Rightarrow 0=A \ e^{-ka} + B\ e^{+ka}
        -Anulación x=+a \Rightarrow 0=A \ e^{ka} + B\ e^{-ka}
        -Puesto que este conjunto de condiciones conduce a la solución trivial, la conclusión es que no existen soluciones físicamente aceptables del problema de autovalores de energía para valores del parámetro de separación E<V_o .
    2. E>V_o :
      1. Expresión de la función de onda:
        Zona I : \psi(x)=A' \ e^{+ikx} + B'\ e^{-ikx}=A \ cos\ kx + B\ sen \ kx
        con k=\frac{+\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}>0
        y A,B,A',B' escalares arbitrarios.
        Zona II: |x| \ge a: \psi_{II}(x)=0 \; \forall x
      2. Imponiendo las condiciones de contorno:
        -Anulación x=-a \Rightarrow 0=A \ cos(ka) - B \ sen(ka)
        -Anulación x=+a \Rightarrow 0=A \ cos(ka) + B \ sen(ka)
        -De las dos ecuaciones anteriores se llega al par equivalente:
        \Rightarrow 0=A \ cos(ka) \quad ; \quad B \ sen(ka)=0
        \Rightarrow \left \{ \begin{array} {l} A=0 \Rightarrow senka=0 \Rightarrow k_la=l\pi \Rightarrow k_l=\frac{l\pi}{a} \;,\;l=1,2\ldots \Rightarrow k_n=\frac{n\pi}{L} \;,\;n=2l=2,4\ldots \;,\;L=2a .  \\ B=0 \Rightarrow coska=0 \Rightarrow ka=n\frac{\pi}{2}\;,\;n=1,3\ldots \Rightarrow k_n=\frac{n\pi}{2a}=\frac{n\pi}{L} \;,\;n=1,3\ldots \end{array}\right.
        Nota: n=0 \; \Rightarrow \; E=0 se excluye pues conduce a la solución trivial.
      3. Aparece pues el fenómeno de cuantización de la energía, ya que sólo hay solución físicamente aceptable del problema de autovalores para los valores discretos de energía
        E_n=\frac{\hbar^2k_{n}^2}{2m}+V_o=\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{8ma^2}+V_o
        asociados respectiva y alternadamente a los dos tipos de soluciones:
        \psi_n^+(x)=Acos(\frac{n\pi}{2a}x)\;,\;n=1,3\ldots
        \psi_n^-(x)=Bsen(\frac{n\pi}{2a}x)\;,\;n=2,4\ldots
        -Normalizadas,
        \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi_n^{\pm}(x)|^2dx=1 \Rightarrow |A|^2=\frac{1}{a} \Rightarrow |A|=\frac{1}{\sqrt{a}}
        las autofunciones normalizadas se expresan:
        \psi_n^+(x)=\frac{1}{\sqrt{a}} cos(\frac{n\pi}{2a}x)\;,\;n=1,3\ldots
        \psi_n^-(x)=\frac{1}{\sqrt{a}} sen(\frac{n\pi}{2a}x)\;,\;n=2,4\ldots
        en la zona I; fuera de esta zona siempre \psi_n^{\pm}(x)=0 .
        -El conjunto de autofunciones \{ \psi_n^{\pm} \}_{n=1}^{+\infty} constituye un conjunto ortonormal.
        -Como corresponde a las autofunciones ligadas de un potencial unidimensional simétrico, V(x)=V(-x) , todas las autofunciones tienen paridad definida: cada \psi_n^{+} es par, cada \psi_n^{-} es impar.
      4. En términos de la longitud de onda de de Broglie, las autofunciones se corresponden con los números de onda k_{n} tales que un número entero o semientero de longitudes de onda caben en la anchura L=2a del pozo:
        L=2a=\frac{n}{2}\lambda_n\;,\; \lambda_n=\frac{2\pi}{k_{n}}=\frac{4a}{n}\ ; \ n=1,2,3\ldots .
      5. El estado fundamental posee una energía:
        E_{GS}=E_1+V_o=\frac{\hbar^2k_{1}^2}{2m}+ V_o =\frac{\hbar^2 \pi^2}{8ma^2}+V_o \ne V_o ,
        denominada energía del punto cero; se satisface el principio de indeterminación:
        \Delta x \approx 2a \;,\; \Delta x \cdot \Delta p_x \gtrsim \hbar \Rightarrow \Delta p_x \gtrsim \frac{\hbar}{2a} \Rightarrow \Delta E_{cin}(p_x) \gtrsim \frac{\hbar^2}{8ma^2}
        -Le corresponde la autofunción:
        \psi_{GS}^+(x)=\frac{1}{\sqrt{a}}cos(\frac{\pi}{2a}x) .
      6. La forma general característica que presentan las funciones y densidades de probabilidad para la partícula confinada en la caja de potencial se representa en las siguientes figuras:
        potencial pozo infinite square well animation
        Trajectories of a particle in a box (also called an infinite square well) in classical mechanics (A) and quantum mechanics (B-F). In (A), the particle moves at constant velocity, bouncing back and forth. In (B-F), wavefunction solutions to the Time-Dependent Schrodinger Equation are shown for the same geometry and potential. The horizontal axis is position, the vertical axis is the real part (blue) or imaginary part (red) of the wavefunction. (B,C,D) are stationary states (energy eigenstates), which come from solutions to the Time-Independent Schrodinger Equation. (E,F) are non-stationary states, solutions to the Time-Dependent but not Time-Independent Schrodinger Equation. Both (E) and (F) are randomly-generated superpositions of the four lowest-energy eigenstates, (B-D) plus a fourth not shown (imagen y texto de la Wikipedia, por Sbyrnes321).

        potencial-pozo_electron-in-infinite-well
        Densidades de probabilidad (imagen de: http://www.amarketplaceofideas.com/category/science/physics/quantum-mechanics).
  • En el problema estudiado, Hamiltoniano del pozo cuadrado infinito, o caja de paredes impenetrables, resulta por tanto: \sigma(H)=\sigma_p(H)\subset(V_o\, ,+\infty) : infinitos estados ligados, con paridad definida y sin degeneración; se satisface el teorema de oscilación.

El pozo cuadrado infinito (bis)

  • Función potencial V(x) :
    pozo-0-l-infinite_potential_well-en_wikipedia
    Imagen de la Wikipedia.

    V(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{si } 0 < x < L \; , \; zona \; \; I  \\ +\infty & \mbox{si } x \le 0\; ,\; x \ge L \; , \; zona \; \; II \; \end{matrix}\right.
    -Se trata de una función con discontinuidades de segunda especie en los puntos x=0 y x=L , puntos en los que se sitúan sendas barreras impenetrables de potencial; por lo tanto, en ellos se debe imponer la condición de frontera de anulación de la función de onda \psi(x) : se produce el confinamiento o ligadura de la partícula en el interior del intervalo (0,L) de la recta real.

  • Problema de autovalores de energía:
    \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0 ,
    y buscamos soluciones \psi(x) que sean funciones continuas y con derivada primera \psi'(x) también continua allí donde V(x) es finito: en el intervalo (0,L) ; las funciones \psi(x) tendrán sendos nodos en los puntos extremos x=0 y x=L :  \psi(0)=\psi(L)=0 (donde \psi'(x) presentará una discontinuidad de primera especie).
  • La solución general de una EDO
    \frac{d^2\psi}{dx^2}\mp k^2\psi=0 ,
    donde k>0 , k \in \mathbb{R} , tiene la expresión:
    -Signo (-) : \psi(x)=C_1 \ e^{kx} + C_2\ e^{-kx}
    con C_1,C_2 escalares arbitrarios.
    -Signo (+) : \psi(x)=C_1 \ e^{+ikx} + C_2\ e^{-ikx}=C'_1 \ cos\ kx + C'_2\ sen \ kx
    con C_1,C_2,C'_1,C'_2 escalares arbitrarios.
  • En la región espacial considerada I, 0<x<L , la forma concreta de la EDO planteada es:
    Zona I : \quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E]\psi(x)=0
  • Cuantización de la energía:
    1. E< 0 :
      1. Zona I: 0<x<L :
        \psi_I(x)=A \ e^{kx} + B\ e^{-kx}
        con k=\frac{+\sqrt{2m(-E)}}{\hbar}>0 y A,B escalares arbitrarios.
        Zona II: x\le 0 y x \ge L : \psi_{II}(x)=0 \, , \; \forall x .
      2. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
        -Anulación x=0 \Rightarrow 0=A+B
        -Anulación x=L \Rightarrow 0=A \ e^{+kL} + B\ e^{-kL}
        -Puesto que este conjunto de condiciones conduce a la solución trivial, la conclusión es que no existen soluciones físicamente aceptables del problema de autovalores de energía para valores del parámetro de separación E<0 .
    2. E> 0 :
      1. Expresión de la función de onda:
        Zona I : \psi(x)=A' \ e^{+ikx} + B'\ e^{-ikx}=A \ cos\ kx + B\ sen \ kx
        con k=\frac{+\sqrt{2m(E)}}{\hbar}>0
        y A,B,A',B' escalares arbitrarios.
      2. Imponiendo las condiciones de contorno:
        -Anulación x=0 \Rightarrow A=0
        -Anulación x=L \Rightarrow 0=B\ sen(kL)
        \Rightarrow sen kL=0 \Rightarrow k_nL=n\pi \Rightarrow k_n=\frac{n\pi}{L} \;,\; n=1,2\ldots
      3. Aparece pues el fenómeno de cuantización de la energía, ya que sólo hay solución físicamente aceptable del problema de autovalores para los valores discretos de energía
        E_n=\frac{\hbar^2 k_n^2}{2m}=\frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2}\;,\; n=1,2\ldots
        cuyas autofunciones asociadas tienen la expresión
        \psi_n(x)=B\ sen k_nx=B\ sen \frac{n\pi }{L}x .
        -Una vez normalizadas,
        \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi_n(x)|^2dx=1 \Rightarrow |B|^2=2/L \Rightarrow |B|=\sqrt{2/L} ,
        las autofunciones se expresan:
        \psi_n(x) = \left \{ \begin{matrix} \sqrt{\frac{2}{L}} sen \frac{n\pi }{L}x & \mbox{si } 0 < x < L \; , \; zona \; \; I  \\ 0 & \mbox{si } x \le 0\; ,\; x \ge L \; \; zona \; \; II \; \end{matrix}\right.
        -El conjunto de autofunciones \{ \psi_n\}_{n=1}^{+\infty} constituye un conjunto ortonormal.
      4. En términos de la longitud de onda de de Broglie, las autofunciones se corresponden con los números de onda k_{n} tales que un número entero o semientero de longitudes de onda caben en la anchura L del pozo:
        L=\frac{n}{2}\lambda_n\;,\; \lambda_n=\frac{2\pi}{k_{n}}=\frac{2L}{n}\; , \; n=1,2,3\ldots .
      5. El estado fundamental posee una energía:
        E_{GS}=E_1=\frac{\hbar^2k_{1}^2}{2m} =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} \ne 0 ,
        denominada energía del punto cero; se satisface el principio de indeterminación:
        \Delta x \approx L \;,\; \Delta x \cdot \Delta p_x \gtrsim \hbar \Rightarrow \Delta p_x \gtrsim \frac{\hbar}{L} \Rightarrow \Delta E_{cin}(p_x) \gtrsim \frac{\hbar^2}{2mL^2} .
        -Le corresponde la autofunción:
        \psi_{GS}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sen(\frac{\pi}{L}x) .
      6. La forma general característica que presentan las funciones y densidades de probabilidad para la partícula confinada en la caja de potencial se representa en las siguientes figuras:
        potencial-pozo_infinitesquarewellanimation
        Trajectories of a particle in a box (also called an infinite square well) in classical mechanics (A) and quantum mechanics (B-F). In (A), the particle moves at constant velocity, bouncing back and forth. In (B-F), wavefunction solutions to the Time-Dependent Schrodinger Equation are shown for the same geometry and potential. The horizontal axis is position, the vertical axis is the real part (blue) or imaginary part (red) of the wavefunction. (B,C,D) are stationary states (energy eigenstates), which come from solutions to the Time-Independent Schrodinger Equation. (E,F) are non-stationary states, solutions to the Time-Dependent but not Time-Independent Schrodinger Equation. Both (E) and (F) are randomly-generated superpositions of the four lowest-energy eigenstates, (B-D) plus a fourth not shown (imagen y texto de la Wikipedia, por Sbyrnes321).

        potencial-pozo_electron-in-infinite-well
        Densidades de probabilidad (imagen de: http://www.amarketplaceofideas.com/category/science/physics/quantum-mechanics).
      7. Un ejemplo de valores numéricos de las energías de los estados ligados:

        pozo_infinito-valorese_la-mecanica-cuantica-blogspot-com
        Imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/; tomada también de http://en.wikibooks.org/wiki/Materials_in_Electronics/Confined_Particles/1D_Finite_Wells; los números se corresponden con la elección [latex]V_o=0 [/latex] .
  • En el problema estudiado, Hamiltoniano del pozo cuadrado infinito, o caja de paredes impenetrables, resulta por tanto: \sigma(H)=\sigma_p(H)\subset(0\, ,+\infty) : infinitos estados ligados, sin degeneración; se satisface el teorema de oscilación.

Referencias

[BOH-89] Bohm, D.;  “Quantum Theory”; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; “Quantum Mechanics”; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; “Mecánica Cuántica”, Eudema, 1989.

[SCH-68] Schiff,L.I.; “Quantum Mechanics”; 3º ed., McGraw; 1968.

Páginas complementarias

http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_in_a_box

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/334-fc0303

http://eltamiz.com/2008/05/15/cuantica-sin-formulas-el-pozo-de-potencial-infinito/

APPS

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/pozo/caja.htm

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/70-pozo-infinito

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/71-paquete-pozo-infinito

http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/embed_item_3.php?anim_id=24&file_sys=index_phys

Probability Density in an Infinite Square Well from the Wolfram Demonstrations Project by Carlos Anton Solanas

Quantum Particles in an Infinite Square Potential Well from the Wolfram Demonstrations Project by Jeff Bryant

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