Pozo infinito con barrera delta

El pozo cuadrado infinito con barrera delta

  • Función potencial V(x) :
    V(x) = \left \{ \begin{matrix} \lambda \delta(x-\frac{L}{2}) & \mbox{si } 0 < x < L \; , \;\lambda=l\cdot V_o > 0 \, , \; zonas \; \; I \, \mbox{y} \, II  \\ +\infty & \mbox{si } x \le 0\; ,\; x \ge L \; , \; zona \; \; III \; \end{matrix}\right.
    -Se trata de una función con discontinuidades de segunda especie en los puntos x=0 y x=L , puntos en los que se sitúan sendas barreras impenetrables de potencial; por lo tanto, en ellos se debe imponer la condición de frontera de anulación de la función de onda \psi(x) : se produce el confinamiento o ligadura de la partícula en el interior del intervalo (0,L) de la recta real.
    -Además, la presencia de la delta en x=\frac{L}{2} provoca que, mientras la función de onda es continua en ese punto, la derivada primera presenta un salto finito o discontinuidad de primera especie.
  • Problema de autovalores de energía:
    \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0 ,
    y buscamos soluciones \psi(x) que sean funciones continuas y con derivada primera \psi'(x) también continua allí donde V(x) es finito: en los intervalos (0,\frac{L}{2}) y (\frac{L}{2},L) .
    -Las funciones \psi(x) tendrán sendos nodos en los puntos extremos x=0 y x=L :  \psi(0)=\psi(L)=0 ,
    en los que \psi'(x) presentará una discontinuidad de primera especie, al igual que en x=\frac{L}{2} .
  • La solución general de una EDO
    \frac{d^2\psi}{dx^2}\mp k^2\psi=0 ,
    donde k>0 , k \in \mathbb{R} , tiene la expresión:
    -Signo (-) : \psi(x)=C_1 \ e^{kx} + C_2\ e^{-kx}
    con C_1,C_2 escalares arbitrarios.
    -Signo (+) : \psi(x)=C_1 \ e^{+ikx} + C_2\ e^{-ikx}=C'_1 \ cos\ kx + C'_2\ sen \ kx
    con C_1,C_2,C'_1,C'_2 escalares arbitrarios.
  • Dividimos la región espacial 0<x<L en las dos subzonas izquierda I y derecha II:
    Zona I: 0<x< \frac{L}{2}
    Zona II: \frac{L}{2} <x < L
    -En ambas zonas I y II la forma concreta de la EDO planteada es:
    \quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E]\psi(x)=0 .
  • Cuantización de la energía:
    1. E< 0 :
      1. -Zona I: 0<x< \frac{L}{2} :
        \psi_{I}(x)=A \ e^{kx} + B\ e^{-kx} ,
        -Zona II: \frac{L}{2} <x < L :
        \psi_{II}(x)=C \ e^{kx} + D\ e^{-kx} ,
        con k=\frac{+\sqrt{2m(-E)}}{\hbar}>0 y A,B,C,D escalares arbitrarios.
        -Zona III: x\le 0 y x \ge L : \psi_{III}(x)=0 \, , \; \forall x .
      2. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
        -Anulación x=0 \Rightarrow 0=A+B
        -Anulación x=L \Rightarrow 0=C \ e^{+kL} + D\ e^{-kL}
        -Continuidad en \frac{L}{2} : A\ e^{+k\frac{L}{2}} + B\ e^{-k\frac{L}{2}} = C\ e^{+k\frac{L}{2}} + D\ e^{-k\frac{L}{2}}
        -Salto de la derivada primera \psi' en x=\frac{L}{2} :
        \psi'(\frac{L}{2}^+)-\psi'(\frac{L}{2}^-)=\lambda_1 \psi(\frac{L}{2}) =\frac{2m}{\hbar^2}\lambda \psi(\frac{L}{2})
      3. Puesto que el anterior conjunto de condiciones conduce a la solución trivial, la conclusión es que no existen soluciones físicamente aceptables del problema de autovalores de energía para valores del parámetro de separación E<0 .
    2. E> 0 :
      1. Expresión de la función de onda:
        -Zona I : \psi_I(x)=A' \ e^{+ikx} + B'\ e^{-ikx}=A \ cos\ kx + B\ sen \ kx
        -Zona II : \psi_{II}(x)=C' \ e^{+ikx} + D'\ e^{-ikx}=C \ cos\ kx + D\ sen \ kx ,
        que por conveniencia práctica elegimos sustituir por la forma equivalente
        \psi_{II}(x)=F\ sen \ k(x-c) ,
        con k=\frac{+\sqrt{2m(E)}}{\hbar}>0
        y A,B,A',B',C,D,C',D',F y c representando escalares arbitrarios.
      2. Imponiendo las condiciones de contorno en x=0 y x=L :
        -Anulación en x=0 :
        \Rightarrow A\cdot 1 + B \cdot 0=0 \Rightarrow A=0 \Rightarrow \psi_I(x)=B\ sen \ kx
        -Anulación x=L :
        \psi_{II}(L)=0=F \ sen\ k(L-c)=F(sen\ kL\ cos \ kc - cos\ kL\ sen\ kc)
        \Rightarrow \frac{sen\ kL}{cos\ kL}=\frac{sen\ k c}{cos\ k c} ;
        elegimos c=L y tomando la forma general para la función de onda en la región II como
        \psi_{II}(x)=F\ sen \ k(x-L)
        conseguimos incorporar de partida en la función de onda la condición de contorno \psi(L)=0 .
      3. Imposición de las condiciones de contorno en x=\frac{L}{2} :
        -Continuidad de la función de onda en x=\frac{L}{2} :
        B\ sen\ k\frac{L}{2}=F\ sen\ k(\frac{L}{2}-L)=F\ sen\ (k(-\frac{L}{2}))=-F\ sen\ (k\frac{L}{2}) ,
        de donde se implica una disyuntiva:
        O bien B=-F ,
        o bien (¡de forma alternativa!) sen\ (k\frac{L}{2})=0 .
        -Discontinuidad de la primera derivada de la función de onda en x=\frac{L}{2} :
        \psi'(\frac{L}{2}^+)-\psi'(\frac{L}{2}^-)=\frac{2m\lambda}{\hbar^2} \psi(\frac{L}{2})
        \Rightarrow \psi'_{II}(\frac{L}{2}) - \psi'_{I}(\frac{L}{2})=\frac{2m\lambda}{\hbar^2} \psi (\frac{L}{2})
        \Rightarrow Fk\ cos\ (k(\frac{L}{2}-L))-Bk\ cos\ k(\frac{L}{2})=\frac{2m}{\hbar^2}\lambda  B\ sen\ k(\frac{L}{2})
        \Rightarrow k(F-B)\ cos\ k(\frac{L}{2})=\frac{2m}{\hbar^2}\lambda B\ sen\ k(\frac{L}{2})
      4. Se obtienen pues dos tipos de soluciones:
        1. Autovalores de energía obtenibles de forma analítica: corresponden al caso en que B=F .
          -En efecto, en este caso se deriva que
          B=F \Rightarrow sen\ (k\frac{L}{2})=0 \Rightarrow k_n\frac{L}{2}= n \pi \, , n=1,2\ldots ,
          de manera que se obtienen los autovalores discretos
          E_{n}=\frac{\hbar^2 k_n^2}{2m}=\frac{\hbar^2 \pi^2 (2n)^2}{2mL^2}=\frac{\hbar^2 \pi^2 2n^2}{mL^2} ,
          que coinciden con los autovalores del pozo infinito sin delta correspondientes a los estados excitados con número cuántico par (primer estado excitado, tercer estado excitado, etc.). Algo que es lógico y esperable, ya que estos estados se anulan en x=\frac{L}{2} , por lo que “no sienten” la delta.
          -Representaremos estos estados como \psi_n , y sus correspondientes estados como E_n , con n=1 (primer estado excitado), n=2 (tercer estado excitado), etc.
        2. Autovalores de energía obtenibles de forma gráfica o numérica: corresponden al caso en que B=-F .
          -En este caso se obtiene la ecuación de autovalores o condición de cuantización:
          B=-F \Rightarrow -Bk\ cos\ (k(\frac{L}{2}-L))-Bk\ cos\ k(\frac{L}{2})=\frac{2m}{\hbar^2}\lambda B\ sen\ k(\frac{L}{2})
          \Rightarrow -2Bk\ cos\ k(\frac{L}{2})=\frac{2m}{\hbar^2}\lambda B\ sen\ k(\frac{L}{2})
          \Rightarrow tan\ k(\frac{L}{2})=-\frac{\hbar^2k}{m\lambda}
          -Esta ecuación admite resolución gráfica; puede consultarse en el siguiente enlace (en el artículo se traslada el potencial para hacerlo simétrico, colocando la delta en el origen, lo que por supuesto no afecta a la forma de las soluciones, sólo las desplaza también; además, la anchura del pozo se toma como 2a , de forma que nuestra L se reemplaza por L=2a):
          http://physicspages.com/pdf/Griffiths%20QM/Griffiths%20Problems%2002.44.pdf
          -Representaremos estos estados como \psi_{n'} , y sus correspondientes estados como E_{n'} , con n'=1 (estado fundamental, la raíz más pequeña de la condición de cuantización anterior), n'=2 (segundo estado excitado), etc.
      5. Como se muestra en este enlace, los primeros estados excitados tienen la forma (notación y figura del anterior artículo, la delta ha pasado al origen):
      6. Aparece pues el fenómeno de cuantización de la energía, ya que sólo hay solución físicamente aceptable del problema de autovalores para algunos valores discretos de energía. Las autofunciones correspondientes a estos estados ligados tienen la forma:
        -Autofunciones que no se anulan en x=\frac{L}{2} , correspondientes al estado fundamental (autovalor más pequeño) y a los estados excitados segundo, cuarto, etc.:
        \psi_{n'}(x) = \left \{ \begin{matrix} B_{n'}\ sen\ k_{n'} x & \mbox{si } 0 < x < \frac{L}{2} \; , \; zona \; \; I \\  -B_{n'}\ sen\ k_{n'} (x-L) & \mbox{si } \frac{L}{2} < x < L \; , \; zona \; \; II \\  0 & \mbox{si } x \le 0\; ,\; x \ge L \; \; zona \; \; III \; \end{matrix}\right. ,
        donde los valores k_{n'}=\frac{+\sqrt{2m(E_{n'})}}{\hbar} vienen dados a partir de los autovalores E_{n'} o raíces de la condición de cuantización
        tan\ k_{n'}(\frac{L}{2})=-\frac{\hbar^2k_{n'}}{m\lambda}
        y la constante B_{n'} se ha de determinar por normalización de la función de onda \psi_{n'}(x) .
        -Autofunciones que se anulan en x=\frac{L}{2} , correspondientes a los estados excitados primero, n=1 ; tercero, n=2 , etc., cuyas energías correspondientes son E_n=\frac{\hbar^2 k_n^2}{2m}=\frac{\hbar^2 \pi^2 2n^2}{mL^2} , k_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n)}}{\hbar}=\frac{2\pi n}{L} :
        \psi_n(x) = \left \{ \begin{matrix} B_n\ sen\ k_n x & \mbox{si } 0 < x < \frac{L}{2} \; , \; zona \; \; I \\  B_n\ sen\ k_n (x-L) & \mbox{si } \frac{L}{2} < x < L \; , \; zona \; \; II \\  0 & \mbox{si } x \le 0\; ,\; x \ge L \; \; zona \; \; III \; \end{matrix}\right. ,
        donde la constante B_n se ha de determinar por normalización de la función de onda \psi_n(x) .
  • En el problema estudiado, Hamiltoniano del pozo cuadrado infinito con barrera delta, o caja de paredes impenetrables con delta de Dirac en su mitad, resulta por tanto:
    \sigma(H)=\sigma_p(H)\subset(0\, ,+\infty) : infinitos estados ligados, sin degeneración; se satisface el teorema de oscilación.


Referencias

[BOH-89] Bohm, D.;  “Quantum Theory”; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; “Quantum Mechanics”; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; “Mecánica Cuántica”; Eudema; 1989.

[GRI-05] Griffiths, D.J.; “Introduction to Quantum Mechanics”; 2º ed.; Pearson Educ.; 2005.

[SCH-68] Schiff,L.I.; “Quantum Mechanics”; 3º ed.; McGraw; 1968.

Páginas complementarias

http://physics.unm.edu/Courses/Fields/Phys491/Notes/TISEDelta.pdf

http://www.physicspages.com/pdf/Griffiths%20QM/Delta-function%20well%20-%20bound%20state.pdf

http://physicspages.com/pdf/Griffiths%20QM/Griffiths%20Problems%2002.44.pdf

http://physicspages.com/pdf/Griffiths%20QM/Griffiths%20Problems%2010.08.pdf

http://www.personal.psu.edu/rq9/Robinett/Physics_Reports_QM_Belloni_and_Robinett.pdf

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