Teoremas de Bell y Clauser-Horne-Shimony-Holt

J.S. Bell, imagen del CERN — J.S. Bell (imagen del CERN).

El realismo local y los teoremas tipo Bell

En este apartado discutiremos la desigualdad de Bell o, más generalmente, los denominados teoremas tipo Bell (por su autor, el gran físico John S. Bell). Son resultados teóricos rotundos que establecen, en definitiva, la imposibilidad de que ninguna teoría de variables ocultas (V.O.) locales pueda ser predictivamente equivalente a la mecánica cuántica.

Teorema de Bell: la apelación al experimento

Los trabajos de D. Bohm, con su reformulación del teorema EPR en 1951, [BOH-79]; pp. 611-623, y el subsiguiente desarrollo de su teoría de V.O., revitalizaron (aunque no demasiado) el interés sobre estos temas que, tras la ebullición inicial provocada por la publicación del artículo EPR (1935) y la respuesta de Bohr (1935), habían caído en el olvido casi absoluto.

En 1966 Bell publicó su crítica a los teoremas de imposibilidad de V.O., hasta ese momento tenidos por universales e invulnerables:

«On the problem of hidden variables in quantum mechanics», Reviews of Modern Physics 38 (1966) 447-452; trad. en [BEL-90], pp. 25-40; reproducido en [WHE-83], pp. 396-402; véase también el archivo de Mermin sobre el tema: Mermin-Bellvo.pdf.

El siguiente trabajo de Bell sería su famoso artículo sobre «la paradoja EPR»:

J.S. Bell, J.S., «On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox», Physics 1 (1964) 195-200, trad. en [BEL-90], pp. 41-50; publicado antes que el anterior pero finalizado después.

En este trabajo Bell lleva a cabo un análisis preciso y certero del papel que desempeña la no separabilidad en una teoría de V.O. para permitirle ser estadísticamente análoga a la M.C., deduciendo las denominadas «desigualdades de Bell», Estas desigualdades no son sino tests numéricos relativos a ciertas situaciones experimentales que permiten, si se realizan los experimentos adecuados, discernir entre la M.C. y cualquier teoría de V.O. local, pues las correspondientes predicciones son distintas.
La cuestión fundamental respecto a las desigualdades de Bell, o teoremas tipo Bell, es que si, hasta su formulación, el debate entre los partidarios de la postura EPR, de un lado, y los partidarios de la interpretación de Bohr, u ortodoxos en general, de otro, era un debate metafísico, a partir del trabajo de Bell se demuestra que puede resolverse en el laboratorio:

Existen situaciones experimentales en que realismo local y M.C. son inconsistentes, esto es, conducen a predicciones distintas para los resultados

La elección entre EPR versus Bohr, o, equivalentemente, realismo local y M.C. incompleta frente a realidad NO separable y M.C. completa, deja de ser cuestión filosófica para convertirse en cuestión experimental.

En resumen:

Hasta 1964	Desde 1964
A elegir por razones metafísicas entre dos posiciones: 1. SÍ al realismo local y NO a la compleción de la M.C. 2. SÍ a la M.C. completa con una realidad NO separable.	A elegir por razones empíricas entre dos posiciones: 1. SÍ al realismo local y NO a la validez de la M.C. 2. SÍ a la M.C. completa con una realidad NO separable; NO a la validez del realismo local.

Hasta 1964

Desde 1964

A elegir por razones metafísicas entre dos posiciones:

1. SÍ al realismo local y NO a la compleción de la M.C.

2. SÍ a la M.C. completa con una realidad NO separable.

A elegir por razones empíricas entre dos posiciones:

1. SÍ al realismo local y NO a la validez de la M.C.

2. SÍ a la M.C. completa con una realidad NO separable; NO a la validez del realismo local.

La desigualdad de Bell (correlación perfecta)

Esta desigualdad es la formulada originalmente por Bell:

J.S. Bell, J.S., «On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox», Physics 1 (1964) 195-200, trad. en [BEL-90], pp. 41-50.

Se considera un par de partículas 1 y 2 de espín $\frac{1}{2}$ , creadas en el estado singlete de espín, $S = 0$ , que se mueven libremente según direcciones opuestas, de forma que las proyecciones sobre una dirección cualquiera de sus espines están estrictamente (anti-)correlacionadas.
Bell demuestra entonces que las predicciones de cualquier teoría de V.O. locales lleva a la siguiente desigualdad:

Desigualdad de Bell:

$P_{\pm}(a,b) + P_{\pm}(b,c) \ge P_{\pm}(a,c)$ ,
donde:
$P_{\pm}(a, b)$ representa la probabilidad de encontrar como resultado de una medida de $S_a$ sobre la partícula 1 el resultado $\uparrow$ y, en la misma medida conjunta (no local), obtener $\downarrow$ como resultado de una medida de $S_b$ sobre la partícula 2; $a$ , $b$ y $c$ representan tres direcciones cualesquiera en el espacio (es decir, las orientaciones con que se fijan los correspondientes aparatos de medida).
La demostración de Bell asume la hipótesis de correlación estricta o perfecta, es decir:
$P_{+\ +}(a, a) = P_{-\ -} (a, a) = 0$ y $P_{+\ -}(a, a) = P_{-\ +}(a, a) = \frac{1}{2}$ .
Por otra parte, si calculamos la misma expresión en M.C. obtenemos el siguiente resultado:
-por ejemplo, para pares de fotones correlacionados y con la elección $a=0^{\circ}$ , $b=22,5^{\circ}$ y $c=45^{\circ}$ , se obtiene

$0.1464 \ge 0.2500$

(para el cálculo: véase [BAG-92], pp. 134-135).

La M.C. viola la desigualdad de Bell

Ejercicio: Obtener la expresión para la desigualdad de Bell.
(ayuda: ver [BAG-92], pp. 125ss.).

Referencias para demostraciones de las desigualdades de Bell:

En 1981 J.S. Bell publicó un famoso artículo explicando su desigualdad:
«Bertlmann’s socks and the nature of reality», Journal de Physique, Colloque C2, 42,3 (1981) C2, 41-61; trad. como «Los calcetines de Bertlman y la naturaleza de la realidad», [BEL-90], pp. 197-220.
Una divulgación española sobre calcetines y cuántica (no exactamente el teorema de Bell): blog Naukas.
Un artículo que resume tanto el argumento EPR como el contenido del teorema de Bell, escrito por M. Ferrero (un defensor español del realismo local) con anterioridad a los primeros experimentos que empezaron a considerarse como definitivos, es el siguiente:
«La hipótesis del realismo y las desigualdades de Bell».
Es también muy recomendable la deducción que presenta d’Espagnat del teorema de Bell en su artículo:
«Teoría cuántica y realidad», [INV-97], pp. 13-27.
-El artículo puede encontrarse asimismo en:
archivo espagnattc.pdf (ver también el enlace d’Espagnat).
Por último, puede leerse la presentación que hizo D. Mermin del teorema de Bell, en su artículo:
«Bringing home the atomic world: Quantum mysteries for anybody», archivo Quantum mysteries, artículo que actualizaría en 1990: «Quantum mysteries revisited», también disponible en http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/09qm/lec21-22-BellInequalities/Mermin1990a.pdf
Artículo divulgativo con una «demostración fácil» del teorema de Bell:
Lorenzo Maccone, Simplest proof of Bell’s inequality
El teorema de Bell con matemáticas fáciles:
http://drchinese.com/David/Bell_Theorem_Easy_Math.htm
El teorema de Bell como un caso de Sherlock Homes:
Kurt Jacobs y Howard M. Wiseman, An Entangled Web of Crime: Bell’s Theorem as a Short Story

Nota (sobre EPR y fotones):
-Como veremos en el siguiente apartado, los experimentos más recientes sobre tests de los teoremas de Bell se realizan con fotones. En una situación EPR con fotones, las componentes de espín se sustituyen por las polarizaciones, que para un par correlacionado habrán de ser circular a izquierda/derecha, lo que, tras el correspondiente cambio de base, se convierte en horizontal/horizontal o vertical/vertical (ver [BAG-92], pp. 60-67).

La desigualdad de Clauser-Horne-Shimony-Holt (correlación imperfecta)

La desigualdad de Clauser-Horne-Shimony-Holt es es el teorema de Bell a que se llega, entre otras cosas, sin aplicar la hipótesis de correlación perfecta, que se sustituye por la de correlación imperfecta:

$P_{+\ -}(a, a) + P_{-\ +}(a, a) = 1 - \delta \; , \; 0 \le \delta \le 1$ .

- La razón para esta corrección es evidente: debido a las limitaciones de la tecnología experimental de los analizadores de polarización de fotones, es imposible alcanzar el valor teórico correspondiente a la correlación perfecta. De forma que los primeros tests realizados, en que se ponía a prueba la formulación original de Bell, resultaban inconcluyentes.
- En efecto: los analizadores de polarización reales, empleados en los laboratorios, no son ideales o perfectos:
  1. 1. Para comenzar, tienen una eficiencia limitada, de forma que producen señales medibles sólo para una parte de los fotones producidos.
    2. Además: son de tamaño finito, limitado; funcionan mejor para unas orientaciones que para otras…
    3. En resumen: en el laboratorio, factores experimentales de variada índole limitan el número de pares de fotones sobre los que se realiza una detección válida.
- Clauser et al generalizaron por ello la desigualdad de Bell, incorporando la correlación imperfecta:
  Clauser, J.F., Horne, M.A., Shimony, A. and Holt, R.A.; «Proposed experiment to test local hidden-variable theories», Physical Review Letters 23 (1969) 23.
- La expresión que derivaron es:
  $| P_{+\ -}(a,b) - P_{+\ -} (a,c) | + | P_{+\ -}(d,b) + P_{+\ -}(d,c) | \le 2$ ,
  para toda teoría de V.O. local (aplicable por tanto a casos no ideales, esto es, en el laboratorio).
- Forma equivalente: [BAG-92], apéndice B, pp. 216-217:
  $S = |E (a,b) - E(a,d)| + |E(c,b) + E(c,d)| \le 2$ ,
  donde
  $E(a,b) = < \sigma_a(1) \cdot \sigma_b(2) > _{\Psi}$ .
- Calculada en M.C., se obtiene el resultado:
  $S=2\sqrt{2} = 2.828 > 2$
La M.C. viola la desigualdad de Clauser-Horne-Shimony-Holt

Comentarios:
1. 1. Desigualdades de Bell «fuertes» y «débiles»:
    -Se habla de «desigualdad de Bell fuerte» cuando se trata de una desigualdad deducida sólo bajo la hipótesis del realismo local, esto es, en el marco general de una teoría de V.O. local. Esta desigualdad es violada por la M.C. en el caso de instrumentos de medidas ideales, o sea, supuesta la correlación perfecta para un par de fotones.
    -Se habla de «desigualdad de Bell débil» cuando se trata de una desigualdad deducida bajo la hipótesis del realismo local más una serie de suposiciones ‘ad hoc’. Esta desigualdad es violada por la M.C. en el caso de instrumentos de medidas reales. Un ejemplo de este tipo de suposiciones lo proporciona la denominada «hipótesis ad hoc de Clauser»:
    Hipótesis CHSH: Given that a pair of photons emerges from two regions of space where two polarizers can be located, the probability of their joint detection from two photomultipliers is independent of the presence and of the orientation of the polarizers» (una hipótesis de no contextualidad).
  2. Existen teoremas de Bell sin desigualdad: expresiones para las que la M.C. y cualquier teoría de V.O. local predicen resultados distintos. Ejemplos: teoremas Greenberger-Horne-Zeilinger o teoremas GHZ: [FER-96], [SEL-88].
  3. Sobre la derivación de las desigualdades para correlación imperfecta::
    http://www.fact-index.com/c/ch/chsh_inequality.html
    Compendio de resultados teóricos sobre las desigualdades de Bell (G. Abal, 2007).
  4. A. Cabello: El teorema de Bell con y sin desigualdades.
  5. Otras desigualdades:
    A. Cabello (Tesis doctoral): Pruebas algebraicas de imposibilidad de variables ocultas
    en mecánica cuántica.
  6. La siguiente figura ilustra la diferencia de predicciones entre la Mecánica Cuántica y una teoría realista local:
  7. Una entrevista con J.F. Clauser, Premio Nobel de Física en 2022 junto con A. Aspect y A. Zeilinger:
    First Experimental Proof That Quantum Entanglement Is Real
Bibliografía

[BAG-92] Baggot, J.; The meaning of quantum theory, Oxford Univ., Oxford, 1992.

[BEL-90] Bell, J.S.; Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica, Alianza Univ., 1990.

[FER-96] Ferrero, M., Fernández-Rañada, A., Sáchez-Gómez, J.L. y Santos, E.; Fundamentos de Física Cuántica. Curso de verano de El Escorial, Complutense, Madrid, 1996.

[INV-97] V.V.A.A.; Misterios de la Física Cuántica, Investigación y Ciencia, Temas 10, 1997.

[SEL-88] Selleri, F., ed.; Quantum Mechanics Versus Local Realism. The Einstein-Podolsky-Rosen Paradox, Plenum, New York, 1988.

Bell’s Theorem: An Overview with Lotsa Links, by David R. Schneider:
www.DrChinese.com

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