Física matemática

FÍSICA MATEMÁTICA

Introducción

  • Las Matemáticas son “el lenguaje de la ciencia”, un lenguaje que es esencialmente de naturaleza relacional: sus objetos son símbolos abstractos que se agrupan en conjuntos y se relacionan. Es fundamental, pues, el estudio de las diversas estructuras:
    • Algebraicas (y su composición).
    • Analíticas: como las analíticas (concepto básico: el entorno) y medibles (concepto básico: la extensión).
    • Ejemplo: dado \mathbb{R} , podemos considerarlo:
      • estructura algebraica: espacio lineal conmutativo, con división de primer orden…
      • estructura topológica: espacio métrico completo, separable, local y simplemente conectado, localmente compacto…(1-espacio euclídeo).
      • estructura con medida: espacio medible completo, totalmente σ-finito….
  • Disponemos de posibilidades variadas de combinación de los distintos tipos de estructuras:
    • componer algebraicamente estructuras topológicas: Topologías algebraicas.
    • superponer estructuras topológica y/o de medida a un sistema algebraico: Álgebras topológicas ( Análisis Funcional).
  • Lo que haremos: superponer una estructura topológica a un sistema algebraico, estudiando:
    • El Álgebra topológica o Análisis Funcional.
    • Las aplicaciones (maps) sobre espacios con estructuras algebraicas y analíticas combinadas: Teoría de Operadores.
  • La siguiente figura nos presenta las interrelaciones entre los temas que vamos a estudiar:diagrama1_mht

Espacios de Hilbert

  1. Introducción

  2. Espacios topológicos y métricos. Espacios lineales normados. Espacios de Banach.

    • Espacios topológicos y métricos.
    • Norma y espacio lineal normado.
    • Operadores lineales continuos. Norma de un operador.
    • Espacio de Banach.

  3. Espacios euclídeos y de Hilbert.

    • Producto escalar.
    • Ortogonalidad y ortonormalidad.
    • Separabilidad.
    • Espacios de Hilbert:
      • Teorema de proyección ortogonal. Aproximación óptima.
      • Teorema de Riesz-Fisher.
      • Separabilidad.

  4. Espacios funcionales.

  5. Operadores lineales.

    • Operadores continuos; cerrados.
    • Funcionales.
    • Topologías.
    • Adjunto de un operador.
    • Proyectores.
    • Operadores positivos; normales; compactos.

  6. Funcionales y Distribuciones.

  7. Teoría espectral. Mecánica Cuántica.

Bibliografía

  • L. Abellanas y A. Galindo, Espacios de Hilbert, Eudema, 1987.
  • S. K. Berberian, Introducción al espacio de Hilbert, Teide, 1977.
  • P. García González, J. E. Alvarellos Bermejo y J. J. García Sanz, Introducción al formalismo de la mecánica cuántica, U.N.E.D., Madrid, 2001.
  • G. Helmberg, Introduction to spectral theory in Hilbert space, North Holland, 1969.
  • R. P. Kanwall, Generalized functions (theory and technique), Academic Press, 1983.
  • N. Kolmogórov y S,V, Fomín, Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional, M.I.R., 1975.
  • E. Romera Gutiérrez, M. C. Boscá Díaz-Pintado, F. Arias de Saavedra Alías, F. J. Gálvez Cifuentes, J. I. Porras Sánchez; Métodos Matemáticos: Problemas de Espacios de Hilbert, Operadores lineales y Espectros; Paraninfo; 2013.
  • R.D. Richtmyer, Principles of Advanced Mathematical Physics, vol. 1, Springer-Verlag, 1978.
  • Roman, Some modern mathematics for physicists and other outsiders, vol. 2, Pergamon, 1975.
  • A. Vera López y P. Alegría Ezquerra, Un curso de Análisis Funcional. Teoría y problemas, AVL, 1997.

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