Teoría general de momento angular

pp-momento-angular_Wolfram — Operadores de momento angular (imagen de la app momento angular en web Wolfram).

Operador momento angular

Dado un espacio de Hilbert, un operador de momento angular se define como un operador autoadjunto $\vec{J}\equiv (J_1\,,\,J_2\,,\,J_3)$ actuando sobre el espacio y cuyas componentes satisfacen las relaciones de conmutación:
$[J_i\,,\,J_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,J_k\,;\, i,j,k=1,2,3$ ,
o, en notación compacta equivalente:
$\vec{J} \times \vec{J}\,=\,i\hbar \,\vec{J}$ .
-los tres operadores autoadjuntos $J_i\,,\,i=1,2,3$ , se denominan componentes de $\vec{J}$ , y suelen notarse como $\vec{J}\equiv (J_x\,,\,J_y\,,\,J_z)$ , en referencia a un sistema cartesiano OXYZ de ejes en el espacio.
-En efecto:
$\vec{J} \times \vec{J}\,=\, \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\J_x & J_y & J_z \\ J_x & J_y & J_z \end{vmatrix}$
$=\,\hat{i}\,(J_yJ_z-J_zJ_y) \,+\, \hat{j}\,(J_zJ_x-J_xJ_z) \,+\, \hat{k}\,(J_xJ_y-J_yJ_x)$
$=\, i\hbar \, (\hat{i}J_x+\hat{j}J_y+\hat{k}J_z) \,=\, i\hbar \,\vec{J}$
(¡se trata de un operador vectorial en $\mathcal{H}$ , no de un vector en $\mathbb{R}^3$ como lo es el análogo clásico!).
Establecida esta definición, pueden a partir de ella realizarse las siguientes:
1. Un operador $A$ es escalar cuando satisface las siguientes relaciones de conmutación con el operador de momento angular $\vec{J}$ :
$[J_i\,,\,A]=0\,;\, i=1,2,3$ .
2.Un operador $\vec{A}$ es vectorial cuando satisface las siguientes relaciones de conmutación con el operador de momento angular $\vec{J}$ :
$[J_i\,,\,A_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,A_k\,;\, i,j,k=1,2,3$ .
El operador de momento angular $\vec{J}$ es un operador vectorial.
Dado el operador autoadjunto de momento angular $\vec{J} \equiv (J_1\,,\,J_2\,,\,J_3)$ , actuando en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}^{(J)}$ de dimensión finita, los tres operadores autoadjuntos componentes ${J_1\,,\,J_2\,,\,J_3}$ constituyen un conjunto irreducible de operadores en $\mathcal{H}^{(J)}$ , en el sentido de que todo operador lineal actuando en el espacio que conmuta con todos ellos es necesariamente un múltiplo de la identidad (cf. [GAL-89], pp. 247 y 329).
El operador cuadrado del momento angular, operador $\vec{J}^2$ , se define según:
$\vec{J}^2=\sum_i\,J_i^2$ .
-el operador cuadrado del momento angular $\vec{J}^2$ es un operador autoadjunto que satisface las relaciones de conmutación
$[\vec{J}^2\,,\,J_i]=0\,,\,i=1,2,3$ ,
esto es, es un operador escalar.
-Ejercicio:
$[\vec{J}^2,J_z]=[J_x^2 \,+\, J_y^2 \, +\, J_z^2,J_z]=[J_x^2 \,+\, J_y^2 \,,J_z]$
$= J_x[J_x,J_z]+[J_x,J_z]J_x+J_y[J_y,J_z]+[J_y,J_z]J_y$
$= J_x(-i\hbar J_y)+(-i\hbar)J_yJ_x+J_y(i\hbar J_x)+(i\hbar)J_xJ_y=0$
donde se ha hecho uso de la propiedad
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
-el operador cuadrado del momento angular $\vec{J}^2$ es un operador autoadjunto que, en la representación $\vec{J}^2 \,,\, J_i$ , espacio de Hilbert $\mathcal{H}^{(J)}$ , de dimensión finita, admite expresión como múltiplo del operador identidad:
$\vec{J}^2\,=\,\hbar^2 \, J(J+1)\,I$ ,
donde $J$ es el correspondiente número cuántico de momento angular, que por conveniencia se fija $J \ge 0$ .
Nota importante: un tratamiento riguroso de la teoría de momento angular debería comenzar por un estudio de la simetría, y desarrollarse conforme a la teoría de grupos. Considerada en este contexto la simetría «rotación espacial», una transformación finita continua (unitaria), el momento angular va a constituir su generador, ligándose al correspondiente y fundamental principio de conservación. En definitiva, la invariancia de un sistema bajo diversas simetrías geométricas conduce a leyes de conservación de determinados observables del sistema, y el principio de conservación del momento angular, en particular, se deriva a partir de la observación de que, considerado un sistema físico aislado, y asumido que el espacio tridimensional es intrínsecamente isótropo, esto es, en su seno todas las direcciones son equivalentes, la física del sistema debe permanecer invariante bajo rotaciones en ese espacio. Por lo tanto, si el sistema no interacciona con su exterior, su momento angular total, que es el operador generador de las rotaciones espaciales, además de ser independiente del tiempo debe conmutar con el Hamiltoniano del sistema, por lo que se deriva que $\vec{J}$ es una constante del movimiento.
-Sobre la conexión crucial entre la Teoría de Grupos y la Mecánica Cuántica, puede encontrase una introducción en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com. También, consultar la referencia [GAL-89], cap. 5, p. 250: «el conjunto de todas las rotaciones constituye un grupo de Lie conexo cuyos generadores, las componentes de $\vec{J}$ , forman un álgebra de Lie, determinada por dichas relaciones de conmutación e isomorfa a la del grupo $SU(2)$ « .

Valores propios de los operadores de momento angular

Sea $\vec{J}$ un operador de momento angular, y sean ${J_x,\,J_y,\,J_z}$ sus componentes, es decir, tres operadores autoadjuntos actuando en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}^{(J)}$ , de dimensión finita, que satisfacen las relaciones de conmutación
$[J_i\,,\,J_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,J_k\,;\, i,j,k=1,2,3$ ,
constituyendo un conjunto irreducible de operadores.
Puesto que los operadores $\vec{J}^2$ y $J_i \,,\,i=x,y,z$ , conmutan entre sí, son diagonalizables simultáneamente, esto es, existe una base ortonormal común en el Hilbert $\mathcal{H}^{(J)}$ , de dimensión finita, cuyos vectores integrantes vamos a notar inicialmente como $|a_J,\, a_{J_i} >$ , y que cumplirán:
$\left. \begin{array}{l} \vec{J}^2 \, |a_J,\, a_{J_i}> \,=\, a_J \, |a_J,\, a_{J_i}>\\ J_i \,|a_J,\, a_{J_i}> \,=\, a_{J_i} \, |a_J,\, a_{J_i}> \end{array} \right\}$ .
Es usual elegir el eje $OZ$ para señalar una dirección de cuantización arbitraria en el espacio, en cuyo caso la notación estándar que se adopta es:
$a_J\equiv \hbar^2J(J+1)$ ,
$a_{J_z} \equiv \hbar \, M$
y
$|a_J,\, a_{J_i}\,> \equiv |J\, M\, >$ ,
expresándose en consecuencia las dos ecuaciones de autovalores anteriores en términos de los así introducidos números cuánticos de momento angular, $J$ , y de momento angular de tercera componente, $M$ , como:
$\left. \begin{array}{l} \vec{J}^2 \, |J\, M\, > \,=\,\hbar^2J(J+1) \, |J\, M\, >\\ J_z \,|J\, M\, > \,=\, \hbar \, M \, |J\, M\, > \end{array} \right\}$ .
-La relación general de ortonormalidad entre dos estados de la base se expresaría como:
$\left\langle J',\, M'\, | J,\, M\, \right\rangle$ $=\,\delta_{J,\,J'} \,\delta_{M,\,M'}$ .
A partir del cálculo de la norma en el Hilbert del vector $\vec{J}\,|JM\, >$ se determina:
$|| \vec{J} \, |JM \, > ||^2 \, = \, \left\langle J\, M\, | \, \vec{J}^2 \, | \, J\, \, M \, \right\rangle =\,\hbar^2 J(J+1)$ ,
debiendo tenerse
$a_J=\hbar^2J(J+1)\in \mathbb{R}$ y $a_J=\hbar^2J(J+1)\, \ge \, 0$ .
-Así pues, dado un valor numérico determinado (¡es real!) $a_J=\hbar^2J(J+1) \ge 0$ , se deriva:
$a_J-\hbar^2J(J+1)=0 \Rightarrow J^2 + J - a_J/\hbar^2=0$
$\Rightarrow J=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4\frac{a_J}{\hbar^2}}}{2}=\frac{-1}{2}(1 \pm \sqrt{1+4\frac{a_J}{\hbar^2}})$ , teniéndose dos posibilidades:
-una, tomar la raíz positiva $J=\frac{-1}{2}(1 - \sqrt{1+4\frac{a_J}{\hbar^2}})\ge 0$ ,
-dos, tomar la raíz negativa $J=\frac{-1}{2}(1 + \sqrt{1+4\frac{a_J}{\hbar^2}})\le -1$
(la suma de raíces es -1 y su producto $-\frac{a_J}{\hbar^2}$ ).
Es convencional elegir valores positivos para el número cuántico de momento angular $J$ , a fin de evitar redundancia:
$J \ge 0$ ,
ya que para cada valor $J \ge 0$ existe otro valor $J' < -1$ tal que $J(J+1)=J'(J'+1)$ .
En otras palabras: puesto que $\vec{J}\equiv (J_1\,,\,J_2\,,\,J_3)$ constituye un conjunto irreducible y se satisface la conmutación $[\vec{J}^2\,,\,\vec{J}]$ , se tiene que
$\vec{J}^2\,=\,\hbar^2 \, J(J+1)\,I$ ,
pudiendo tomar $J \ge 0$ sin pérdida de generalidad, puesto que $\vec{J}^2$ es un operador positivo (o nulo).
A continuación, se definen los operadores escalón $J_{\pm}$ :
$\left. \begin{array}{l} J_+=J_x + iJ_y \\ J_-=J_x - iJ_y \end{array} \right\}$ $\left. \begin{array}{l} J_x=\frac{1}{2}(J_+ + J_-) \\ J_y=\frac{1}{2i}(J_+ - J_-) \end{array} \right\}$ ;
pudiendo escribir las primeras dos ecuaciones de la siguiente forma compacta:
$J_{\pm}=J_x\,\pm\,i\, J_y$ .
-Estos operadores satisfacen:
1. Los operadores $J_+$ y $J_-$ no son autoadjuntos: $(J_{\pm})^+=J_{\mp}$
2. $\vec{J}^2\,=\, \frac{1}{2}\, (J_+J_- \,+\, J_-J_+)\,+\,J_z^2$
3. $J_-J_+\,=\,\vec{J}^2\,-\,J_z\,(J_z\,+\,\hbar)$
4. $J_+J_-\,=\,\vec{J}^2\,-\,J_z\,(J_z\,-\,\hbar)$
5. $J_{\pm} \ J_{\mp} \,=\,\vec{J}^2 - J_z^2 \pm \hbar \, J_{z} \,=\,\vec{J}^2 - J_z\,( J_z \mp \hbar)$
6. $[J_+\,,\,J_{-}]\,=\, 2\hbar J_{z}$
7. $[ \vec{J}^2\,,\,J_{\pm}]\,=\, 0$
8. $[J_z\,,\,J_{\pm}]\,=\, \pm \hbar J_{\pm}$
Usando las expresiones anteriores, se establecen las ecuaciones de autovalores para los productos de los dos operadores escalón:
$\left. \begin{array}{r} J_-J_+ \,|J\, M\, > \,=\, \hbar^2 \,[J(J+1)-M(M+1)] \, |J\, M\, >\\ =\, \hbar^2 \,(J-M)(J+M+1)\, |J\, M\, > \end{array} \right.$
y
$\left. \begin{array}{r} J_+J_- \,|J\, M\, > \,=\, \hbar^2 \,[J(J+1)-M(M-1)] \, |J\, M\, >\\ =\, \hbar^2 \,(J+M)(J-M+1)\, |J\, M\, > \end{array} \right.$ ,
de las cuales se deriva:
$|| J_{\pm} \, |JM \, > ||^2 \, = \,\hbar^2 \,(J \mp M)(J \pm M +1)\, \ge \, 0$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -J \, \le \, M \, \le +J \\ J_+ \, |J\, M\, > \,=\,0 \, \Leftrightarrow M=+J\\ J_- \, |J\, M\, > \,=\,0 \, \Leftrightarrow M=-J \end{array} \right.$ .
Propiedades:
1. $\vec{J}^2 (J_{\pm} \,|J\, M\, >) \,=\, \hbar^2 \,J(J+1)(J_{\pm} \, |J\, M\, >)$
2. $J_z (J_{\pm} \,|J\, M\, >) \,=\,(J_{\pm} J_z \pm \hbar J_{\pm})\,|J\, M\, > \,=\,\hbar \,(M \pm 1)(J_{\pm} \, |J\, M\,>)$
-estas dos expresiones nos indican que al aplicar bien $J_+$ , bien $J_+$ , a cada estado $|J\, M\, >$ , con $M \ne J$ o $M \ne -J$ , respectivamente, se obtienen sendos estados que, una vez normalizados, conservan el número cuántico de momento angular $J$ pero han aumentado/disminuido el número cuántico de tercera componente $M$ en una unidad:
$J_{\pm} \,|J\, M\, > \,=\,C \, |J\, M\pm 1\, >$ ,
resultado que justifica su denominación como «operadores escalón».
Actuación de los operadores escalón sobre los estados de la base:
Sea $J_{\pm} \, |JM \, > \, = \, C \, |J\, M\pm 1 \, > \, \ne 0 \,,\, C \in \mathbb{C}$ ,
(esto es, $M \ne \pm \, J$ en la ecuación respectiva):
-puesto que
$|| J_{\pm} \, |JM \, > ||^2 =\, |C|^2 \,|| ( |J\, M\pm 1 \, >)||^2\, =\, |C|^2 \, = \,\hbar^2 \,(J \mp M)(J \pm M +1)$
$\Rightarrow |C|\,=\,|| J_{\pm}(|J M \, >) ||$ ,
ya que la base ${|JM \, > }$ es ortonormal, por lo que finalmente se deriva:
$J_{\pm} \, |JM \, > \, = \, e^{i\gamma}\, \hbar \,[(J \mp M)(J \pm M +1)]^{\frac{1}{2}} \, |J\, M\pm 1 > \,, \, \gamma \in \mathbb{R}$ ,
donde $\gamma$ representa una fase sin fijar.
Convenio de Condon-Shortley:
La fase $\gamma$ se fija como parte de este convenio imponiendo $e^{i\gamma}=+1$ ( $\gamma=2n\pi \,,\,n=0,2,4\ldots$ ).
-se elige pues como nula la fase relativa entre los estados $J_{\pm} \, |JM >$ y $|J\,M\pm 1 >$ , una elección que garantiza:
1.Todos los elementos de matriz de los operadores $J_{\pm}$ , $\vec{J}^2$ y $J_x$ son no-negativos:
$\left\langle J\, M\, | \, J_{\pm} | \, J\, \, M' \, \right\rangle \ge \,0$ , y lo mismo para $\vec{J}^2$ y $J_x$ .
2. La matriz del operador $J_z$ es real:
$\left\langle J\, M\, | \, J_{z} | \, J\, \, M' \, \right\rangle \in \, \mathbb{R}$ .
3. La matriz del operador $J_y$ es imaginaria pura:
$\left\langle J\, M\, | \, J_{y} | \, J\, \, M' \, \right\rangle = i\beta \,,\, \beta \ge 0 \,,\, \beta \in \, \mathbb{R}$ .
A continuación, a partir del estado $| \, J\, M \,>$ aplicamos repetidamente cada operador escalón, obteniendo la correspondiente secuencia de estados:
-para $J_+$ : $\; | J\, M >$ , $| J\, M+1 >$ , $| J\, M+2 > \, \ldots$
-para $J_-$ : $\; | J\, M >$ , $| J\, M-1 >$ , $| J\, M-2 > \, \ldots$
cadenas que alcanzan su fin cuando se incumpla la condición $-J \le M \le J$ (¡recuérdese que $J \ge 0$ !), de tal modo que los estados finales respectivos en las anteriores secuencias son los $| J\, M=J >$ y $| J\, M=-J >$ .
Por lo tanto, como $M$ debe tomar necesariamente los dos valores $-J$ y $J$ , se implica que $J$ debe ser un real entero o semi-impar, siempre no-negativo:
-para $J_+$ : $M=-J\,,\, M=-J+1\,,\,\ldots \,, \, -J+n=+J \, \Rightarrow \, n=2J\,,\, J=\frac{n}{2}\,,\, n=1,2\dots$ .
-para $J_-$ : $M=J\,,\, M=J-1\,,\,\ldots \,, \, J-n=-J \, \Rightarrow \, n=2J\,,\, J=\frac{n}{2}\,,\, n=1,2\dots$ ,
siendo $n$ el número natural que da cuenta del número de veces que se debe aplicar el operador $J_+$ para, partiendo del estado $| J\, M=-J >$ , obtener el $| J\, M=J >$ .
Es decir:
$J\,=0\,,\,\frac{1}{2}\,,1\,,\frac{3}{2}\,,2\,,\frac{5}{2}\,\ldots$ ,
y, para cada valor $J$ , el número cuántico de tercera componente $M$ toma los valores reales
$M\,=\,-J\,,\,-J+1\,,\,-J+2\,,\,\ldots \,, \,J$ ,
positivos o negativos.
Por tanto, la dimensión del subespacio de Hilbert generado por el correspondiente conjunto de autovectores simultáneos de los dos operadores $\vec{J}^2$ y $J_z$ ,
$\{| J\, M > \}_{M=-J,M=-J+1,\ldots,J}$ , para cada valor fijo de $J$ , ha resultado ser:
$dim(\mathcal{H}^{(J)})=2J+1$ .
-este subespacio $\mathcal{H}^{(J)}$ es invariante bajo los operadores $\vec{J}^2$ , $J_z$ , y también bajo $J_+$ , $J_-$ , $J_x$ y $J_y$ , de manera que estos operadores no conectan estados pertenecientes a subespacios con distinto valor del número cuántico $J$ .
Nota (cf. [GAL-89], p. 251): Dado un sistema físico y su Hilbert asociado, la representación de momento angular (rotaciones) no es, en general, irreducible, sino que se suele poder descomponer en suma directa de representaciones irreducibles. En consecuencia, $\vec{J}^2$ y $J_z$ no bastarán para especificar un estado, haciéndose preciso incorporar nuevos observables para formar un C.C.O.C., algo que siempre será posible realizar.
-Es decir, el formalismo garantiza que existen C.C.O.C. que contienen unos operadores de momento angular $\vec{J}^2$ y $J_z$ , de modo que la base en el espacio estará integrada por estados que deben notarse como $|J\, M\, \alpha >$ , donde el tercer índice representa el conjunto adicional de números cuánticos requeridos en cada caso particular. Para cada conjunto determinado de valores de los integrantes de $\alpha$ , ese subconjunto de vectores genera el correspondiente subespacio $\mathcal{H}^{(J)}$ , de dimensión $2J+1$ .
-Por ejemplo, para una partícula sin espín, para la que su momento angular total $\vec{J}$ va a coincidir con su momento angular orbital $\vec{L}$ , un posible C.C.O.C. es el ${\vec{L}^2\,,\, L_z \,,\,\frac{\vec{p}^2}{2m}}$ .

Representación matricial de los operadores de momento angular

Sea una representación en la que ambos operadores $\vec{J}^2$ y $J_z$ son diagonalizables simultáneamente, siendo el subespacio $\mathcal{H}^{(J)}$ invariante bajo ellos; sea $| J\, M >$ un estado de la base ortonormal en dicha representación, esto es, un común autoestado común a ambos operadores:
$\left. \begin{array}{l} \vec{J}^2 \, |J\, M\, > \,=\,\hbar^2J(J+1) \, |J\, M\, >\\ J_z \,|J\, M\, > \,=\, \hbar \, M \, |J\, M\, > \end{array} \right\}$ ,
donde:
$J \in \mathbb{R}\,,\, M \in \mathbb{R}\,,\,J \ge 0$ ,
$J\,=0\,,\,\frac{1}{2}\,,1\,,\frac{3}{2}\,,2\,,\frac{5}{2}\,\ldots$ ,
y, para cada valor $J$ , el número cuántico de tercera componente $M$ toma los valores reales
$M\,=\,-J\,,\,-J+1\,,\,-J+2\,,\,\ldots \,, \,J$ ,
positivos o negativos.
El subespacio de Hilbert $\mathcal{H}^{(J)}$ generado por el conjunto de autovectores simultáneos de $\vec{J}^2$ y $J_z$ , para cada valor fijo de $J$ ,
$\{| J\, M > \}_{M=-J,-J+1,\ldots,J}$
es de dimensión finita $2J+1$ , y es invariante bajo los operadores $\vec{J}^2$ , $J_z$ , y también bajo $J_+$ , $J_-$ , $J_x$ y $J_y$ , de manera que estos operadores no conectan estados pertenecientes a subespacios con distinto valor del número cuántico $J$ . Por tanto, la representación matricial de todos ellos tendrá la forma de una matriz cuadrada, cuyos únicos elementos no nulos vienen dados, para cada operador $J_{\bigodot}$ y asumido el convenio de Condon-Shortley, por:
$\left\langle J\, M\, | \, \vec{J}^2 | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\,\delta_{MM'}\, \hbar^2 \, J(J+1) \, = \, \alpha_2$ , con $\alpha_2 \in \mathbb{R} \, ,\, \alpha_2 \ge 0$
$\left\langle J\, M\, | \, J_{z} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\,\delta_{MM'}\, \hbar \, M \, = \, \alpha_z$ , con $\alpha_z \in \mathbb{R}$
$\left\langle J\, M\, | \, J_{x} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\, \frac{\hbar}{2}\, (\delta_{M,M'+1} + \delta_{M,M'-1}) \, [J(J+1)- MM']^{\frac{1}{2}} \, = \, \alpha_x$ , con $\alpha_x \in \mathbb{R} \, ,\, \alpha_x \ge 0$
$\left\langle J\, M\, | \, J_{y} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\, \frac{\hbar}{2i}\, (\delta_{M,M'+1} -\delta_{M,M'-1}) \, [J(J+1)- MM']^{\frac{1}{2}} \, = \, i\alpha_y$ , con $\alpha_y \in \mathbb{R}$
$\left\langle J\, M\, | \, J_{+} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\, \delta_{M,M'+1} \, \hbar \,[J(J+1)- MM']^{\frac{1}{2}} \, = \, \alpha_+$ , con $\alpha_+ \in \mathbb{R} \, ,\, \alpha_+ \ge 0$
$\left\langle J\, M\, | \, J_{-} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\, \delta_{M,M'-1} \, \hbar \,[J(J+1)- MM']^{\frac{1}{2}} \, = \, \alpha_-$ , con $\alpha_- \in \mathbb{R} \, ,\, \alpha_- \ge 0$
Por ejemplo, si ordenamos los estados de la base del Hilbert
$\{| J\, M > \}_{M=-J,M=-J+1,\ldots,J}\,,\, J\,=0\,,\,\frac{1}{2}\,,1\,,\frac{3}{2}\,,2\,,\frac{5}{2}\,\ldots$
en orden creciente de $J$ y, para cada $J$ , en orden decreciente de $M$ , resulta que la matriz representativa de cadas uno de estos operadores
$J_{\bigodot} \equiv \vec{J}^2 \,,\, J_z\,,\, J_+ \,,\, J_-\,,\,J_x\,,\,J_y$
es una matriz compuesta de muchos bloques con todos sus elementos nulos, excepto algunos de áquellos que corresponden a bloques con igual valor de $J$ en fila y columna:
$J_{\bigodot} \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & x & x & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & x & x & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
-Por ejemplo:
$J^2 \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & 3 \frac{\hbar^2}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & 0 & 3 \frac{\hbar^2}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & 2 \hbar^2 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \hbar^2 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \hbar^2 & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{15}{4}\hbar^2 &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
$J_z \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & \hbar & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\hbar & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3\frac{\hbar}{2} &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
$J_+ \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & 0 & \hbar & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \hbar & 0 & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \hbar & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
$J_- \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & \hbar & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \hbar & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \hbar & 0 & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
Debido a su peculiar estructura en bloques, es frecuente trabajar considerando por separado cada subespacio $\mathcal{H}^{(J)}$ , esto es, para cada valor fijo de $J$ . En estos subespacios, las matrices representativas de los primeros valores del número cuántico de momento angular $J$ resultan ser (¡índices fila y columna en orden creciente de $J$ y decreciente de $M$ !):

$J=0 \; : \; J_{\bigodot}=(0)\, , \, J_{\bigodot} \, \equiv \,\vec{J}^2 \,,\, J_z\,,\, J_+ \,,\, J_-\,,\,J_x\,,\,J_y$
$J=\frac{1}{2}$ :
$\vec{J}^2\, = \, \frac{3}{4}\hbar^2 \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad\ J_z\, = \, \frac{1}{2}\hbar \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$J_+\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_x\, = \, \frac{1}{2}\hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$J_-\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_y\, = \, \frac{1}{2}\hbar \, \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$
-Puesto que las componentes del vector unitario $\hat{n}$ en la dirección especificada por los ángulos polares $(\theta \, , \, \varphi )$ se expresan como:
$\hat{n}=(\sin \theta\cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)$ ,
se implica la siguiente expresión matricial para la proyección del operador sobre la dirección $\hat{n}$ :
$J_n=J_x \, \sin \theta\cos \varphi \,+\, J_y \, \sin \theta \sin \varphi \,+\, J_z \, \cos \theta$ ,
luego, para $J=\frac{1}{2}$ :
$J_n=\, \frac{\hbar}{2} \, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\, \sin \theta\cos \varphi \,+\,\frac{\hbar}{2} \, \begin{pmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\,\sin \theta \sin \varphi \,+\,\frac{\hbar}{2} \, \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\,\, \cos \theta$
$\; =\, \frac{\hbar}{2} \, \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta e^{-i\varphi} \\ \sin \theta e^{i\varphi} & -\cos \theta \end{pmatrix}$
$J=1$ :
$\vec{J}^2\, = \, 2\hbar^2 \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad\ J_z\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$J_+\, = \, \frac{2}{\sqrt{2}}\hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_x\, = \, \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ $J_-\, = \, \frac{2}{\sqrt{2}}\hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_y\, = \, \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \, \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$
$J=\frac{3}{2}$ :
$\vec{J}^2\, = \, \frac{15}{4}\hbar^2 \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad\ J_z\, = \, \frac{1}{2} \hbar \, \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ $J_+\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\sqrt{3} \\0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_x\, = \, \frac{1}{2} \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & \sqrt{3}& 0 \end{pmatrix}$ $J_-\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{4} & 0 & 0 \\0 & 0 & \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_y\, = \, \frac{1}{2} \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & -i \sqrt{3} & 0 & 0 \\ i \sqrt{3} & 0 & -2i & 0 \\ 0 & 2i & 0 & -i \sqrt{3} \\ 0 & 0 & i \sqrt{3}& 0 \end{pmatrix}$

Referencias

[BAL-98] Ballentine, L.E.; “Quantum Mechanics: A Modern Development”; World Scientific; Singapore, 1998.

[BOH-79] Bohm, D.; “Quantum Theory”; Dover; New York, 1979.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; «Mecánica Cuántica», Eudema, 1989.

[NEU-91] Neumann, J. von; «Fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica», CSIC, Raycar, Madrid, 1991.

[SCH-68] Shiff, L.I. ; Quantum Mechanics, 3º ed; McGraw-Hill, 1968.

Páginas complementarias

–Momento angular en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com: parte I.

–Momento angular en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com: parte II.

–Momento angular en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com: parte III.

-momento angular cuántico en la Wikipedia

-momento angular en mecánica cuántica: archivo de A. Prados, Universidad de Sevilla: https://personal.us.es/prados/Cuantica-1819/Tema-momento-angular.pdf (en caché: https://web.archive.org/web/20240207094520/https://personal.us.es/prados/Cuantica-1819/Tema-momento-angular.pdf).

-Sobre la conexión crucial entre la Teoría de Grupos y la Mecánica Cuántica: blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com.

-suma de momentos angulares:
https://galileo.phys.virginia.edu/classes/752.mf1i.spring03/AddingAngularMomenta.htm

APPS

Física cuántica en la red

Un sitio para adentrarse en la física cuántica

Teoría general de momento angular

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