Teoría general de momento angular

pp-momento-angular_Wolfram — Operadores de momento angular (imagen de la app momento angular en web Wolfram).

Operador momento angular

Dado un espacio de Hilbert, un operador de momento angular J se define como un conjunto de tres operadores autoadjuntos definidos sobre el espacio, ${\bf J} \doteq (J_1\,,\,J_2\,,\,J_3)$ , que satisfacen las siguientes relaciones de conmutación:
$[J_i\,,\,J_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,J_k\,;\, i,j,k=1,2,3$ .
-los tres operadores autoadjuntos $J_i\,,\,i=1,2,3$ , se denominan componentes de ${\bf J}$ .
Establecida esta definición, pueden a partir de ella realizarse las de operador escalar y vectorial:
1. Un operador $A$ es escalar cuando satisface las siguientes relaciones de conmutación con el operador de momento angular ${\bf J}$ :
$[J_i\,,\,A]=0\,;\, i=1,2,3$ .
2.Un operador ${\bf A} =(A_1, A_2,A_3)$ es vectorial cuando satisface las siguientes relaciones de conmutación con el operador de momento angular ${\bf J}$ :
$[J_i\,,\,A_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,A_k\,;\, i,j,k=1,2,3$ , notándose entonces como ${\bf A} \doteq \vec{A}$
El operador de momento angular ${\bf J}$ es un operador vectorial: ${\bf J} \doteq \vec{J}$ .
Los tres operadores autoadjuntos $J_i\,,\,i=1,2,3$ , componentes de $\vec{J}$ , suelen notarse con frecuencia como $\vec{J}\equiv (J_x\,,\,J_y\,,\,J_z)$ , en referencia a un sistema cartesiano OXYZ de ejes en el espacio, teniéndose:
$\vec{J} \times \vec{J}\,=\, \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\J_x & J_y & J_z \\ J_x & J_y & J_z \end{vmatrix}$
$=\,\hat{i}\,(J_yJ_z-J_zJ_y) \,+\, \hat{j}\,(J_zJ_x-J_xJ_z) \,+\, \hat{k}\,(J_xJ_y-J_yJ_x)$
$=\, i\hbar \, (\hat{i}J_x+\hat{j}J_y+\hat{k}J_z) \,=\, i\hbar \,\vec{J}$
-Las relaciones de conmutación que definen un operador de momento angular pueden entonces expresarse como:
$\vec{J} \times \vec{J} = i \ \hbar \ \vec{J}$
El operador cuadrado del momento angular, operador $\vec{J}^2$ , se define según:
$\vec{J}^2=\sum_i\,J_i^2$ .
El operador cuadrado del momento angular $\vec{J}^2$ es un operador autoadjunto que satisface las relaciones de conmutación
$[\vec{J}^2\,,\,J_i]=0\,,\,i=1,2,3$ ,
esto es, es un operador escalar.
-Ejercicio:
$[\vec{J}^2,J_z]=[J_x^2 \,+\, J_y^2 \, +\, J_z^2,J_z]=[J_x^2 \,+\, J_y^2 \,,J_z]$
$= J_x[J_x,J_z]+[J_x,J_z]J_x+J_y[J_y,J_z]+[J_y,J_z]J_y$
$= J_x(-i\hbar J_y)+(-i\hbar)J_yJ_x+J_y(i\hbar J_x)+(i\hbar)J_xJ_y=0$
donde se ha hecho uso de la propiedad
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
Nota matemática (cf. [GAL-89], pp. 247 y 329): «Dado el operador autoadjunto de momento angular $\vec{J} \equiv (J_1\,,\,J_2\,,\,J_3)$ , actuando en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}^{(J)}$ de dimensión finita y definido en un dominio denso y estable bajo las tres componentes, de forma que $\vec{J}^2$ es un operador esencialmente autoadjunto sobre dicho dominio común, se demuestra son generadores de una representación unitaria continua de SU(2). Y un famoso teorema de Peter-Weyl afirma que tales representaciones son suma directa de irreducibles finitas, por ser SU(2) compacto. Nos vemos así conducidos a estudiar representaciones irreducibles de las relaciones de conmutación $[J_i\,,\,J_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,J_k\,;\, i,j,k=1,2,3$ en un Hilbert de dimensión finita; la solución general se obtendrá por suma directa de las así halladas».
Por tanto, matemáticamente, el problema es determinar tres operadores autoadjuntos $\vec{J}$ , definidos en un Hilbert de dimensión finita, que satisfagan las exigidas relaciones de conmutación entre ellos de forma irreducible. Según hemos probado, el operador cuadrado del momento angular $\vec{J}^2$ es un operador autoadjunto que conmuta con $\vec{J}$ , por lo que, en la correspondiente representación irreducible, $\vec{J}^2$ debe ser múltiplo de la identidad, $\vec{J}^2\,=\,\hbar^2 \, J(J+1)\, I$ , donde $J$ es el correspondiente número cuántico de momento angular, que por conveniencia y sin pérdida de generalidad puede tomarse como $J \ge 0$ (cf. [GAL-89], vol. I, p. 247).
-Nota 1: un conjunto de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert H se define
como conjunto irreducible si no existe ningún subespacio cerrado propio de H, distinto del subespacio nulo, que sea invariante bajo todos los operadores del conjunto. En otras palabras, H es el único subespacio cerrado no nulo que contiene a todos los subespacios invariantes bajo un conjunto irreducible de operadores.
-Nota 2: lema de Shur: un conjunto de operadores es irreducible si y sólo si su conjunto conmutante (el conjunto de todos los operadores que conmutan con todos los elementos del conjunto irreducible) consiste únicamente en múltiplos escalares de la identidad.
Moraleja y/o nota derivada: un tratamiento riguroso de la teoría de momento angular debería comenzar por un estudio de la simetría, y desarrollarse conforme a la teoría de grupos. Considerada en este contexto la simetría «rotación espacial», una transformación finita continua (unitaria), el momento angular va a constituir su generador, ligándose al correspondiente y fundamental principio de conservación. En definitiva, la invariancia de un sistema bajo diversas simetrías geométricas conduce a leyes de conservación de determinados observables del sistema, y el principio de conservación del momento angular, en particular, se deriva a partir de la observación de que, considerado un sistema físico aislado, y asumido que el espacio tridimensional es intrínsecamente isótropo, esto es, en su seno todas las direcciones son equivalentes, la física del sistema debe permanecer invariante bajo rotaciones en ese espacio. Por lo tanto, si el sistema no interacciona con su exterior, su momento angular total, que es el operador generador de las rotaciones espaciales, además de ser independiente del tiempo debe conmutar con el Hamiltoniano del sistema, por lo que se deriva que $\vec{J}$ es una constante del movimiento.
-Sobre la conexión crucial entre la Teoría de Grupos y la Mecánica Cuántica, puede encontrase una introducción en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com. También, consultar la referencia [GAL-89], vol. I, cap. 5, p. 250: «el conjunto de todas las rotaciones constituye un grupo de Lie conexo cuyos generadores, las componentes de $\vec{J}$ , forman un álgebra de Lie, determinada por dichas relaciones de conmutación e isomorfa a la del grupo $SU(2)$ « .

Valores propios de los operadores de momento angular

Sea $\vec{J}$ un operador de momento angular, y sean ${J_x,\,J_y,\,J_z}$ sus componentes, es decir, tres operadores autoadjuntos actuando en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}^{(J)}$ , de dimensión finita, que satisfacen las relaciones de conmutación
$[J_i\,,\,J_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,J_k\,;\, i,j,k=1,2,3$ ,
constituyendo un conjunto irreducible de operadores.
Puesto que los operadores $\vec{J}^2$ y $J_i \,,\,i=x,y,z$ , conmutan entre sí, son diagonalizables simultáneamente, esto es, existe una base ortonormal común en el Hilbert $\mathcal{H}^{(J)}$ , de dimensión finita, cuyos vectores integrantes vamos a notar inicialmente como $|a_J,\, a_{J_i} >$ , y que cumplirán:
$\left. \begin{array}{l} \vec{J}^2 \, |a_J,\, a_{J_i}> \,=\, a_J \, |a_J,\, a_{J_i}>\\ J_i \,|a_J,\, a_{J_i}> \,=\, a_{J_i} \, |a_J,\, a_{J_i}> \end{array} \right\}$ .
Es usual elegir el eje $OZ$ para señalar una dirección de cuantización arbitraria en el espacio, en cuyo caso la notación estándar que se adopta es:
$a_J\equiv \hbar^2J(J+1)$ ,
$a_{J_z} \equiv \hbar \, M$
y
$|a_J,\, a_{J_i}\,> \equiv |J\, M\, >$ ,
expresándose en consecuencia las dos ecuaciones de autovalores anteriores en términos de los así introducidos números cuánticos de momento angular, $J$ , y de momento angular de tercera componente, $M$ , como:
$\left. \begin{array}{l} \vec{J}^2 \, |J\, M\, > \,=\,\hbar^2J(J+1) \, |J\, M\, >\\ J_z \,|J\, M\, > \,=\, \hbar \, M \, |J\, M\, > \end{array} \right\}$ .
-La relación general de ortonormalidad entre dos estados de la base se expresaría como:
$\left\langle J',\, M'\, | J,\, M\, \right\rangle$ $=\,\delta_{J,\,J'} \,\delta_{M,\,M'}$ .
-Nota: la anterior notación se debe considerar como generalizada, en el sentido de que, mientras no se demuestre (como se hará) que el espectro de los operadores $\vec{J}^2$ y $J_z$ es puramente discreto, la expresión debería interpretarse, en cuanto al símbolo $\delta$ , como capaz de, en su caso, incluir una hipotética parte continua.
A partir del cálculo de la norma en el Hilbert del vector $\vec{J}\,|JM\, >$ se determina:
$|| \vec{J} \, |JM \, > ||^2 \, = \, \left\langle J\, M\, | \, \vec{J}^2 \, | \, J\, \, M \, \right\rangle =\,\hbar^2 J(J+1)$ ,
debiendo tenerse
$a_J=\hbar^2J(J+1)\in \mathbb{R}$ y $a_J=\hbar^2J(J+1)\, \ge \, 0$ .
-Así pues, dado un valor numérico determinado (¡es real!) $a_J=\hbar^2J(J+1) \ge 0$ , se deriva:
$a_J-\hbar^2J(J+1)=0 \Rightarrow J^2 + J - a_J/\hbar^2=0$
$\Rightarrow J=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4\frac{a_J}{\hbar^2}}}{2}=\frac{-1}{2}(1 \pm \sqrt{1+4\frac{a_J}{\hbar^2}})$ , teniéndose dos posibilidades:
-una, tomar la raíz positiva $J=\frac{-1}{2}(1 - \sqrt{1+4\frac{a_J}{\hbar^2}})\ge 0$ ,
-dos, tomar la raíz negativa $J=\frac{-1}{2}(1 + \sqrt{1+4\frac{a_J}{\hbar^2}})\le -1$
(la suma de raíces es -1 y su producto $-\frac{a_J}{\hbar^2}$ ).
Es convencional elegir valores positivos para el número cuántico de momento angular $J$ , a fin de evitar redundancia:
$J \ge 0$ ,
ya que para cada valor $J \ge 0$ existe otro valor $J' < -1$ tal que $J(J+1)=J'(J'+1)$ .
En otras palabras: puesto que $\vec{J}\equiv (J_1\,,\,J_2\,,\,J_3)$ constituye un conjunto irreducible y se satisface la conmutación $[\vec{J}^2\,,\,\vec{J}]$ , se tiene que
$\vec{J}^2\,=\,\hbar^2 \, J(J+1)\,I$ ,
pudiendo tomar $J \ge 0$ sin pérdida de generalidad ( $\vec{J}^2$ es un operador positivo, o nulo).
A continuación, se definen los operadores escalón $J_{\pm}$ :
$\left. \begin{array}{l} J_+=J_x + iJ_y \\ J_-=J_x - iJ_y \end{array} \right\}$ $\left. \begin{array}{l} J_x=\frac{1}{2}(J_+ + J_-) \\ J_y=\frac{1}{2i}(J_+ - J_-) \end{array} \right\}$ ;
pudiendo escribir las primeras dos ecuaciones de la siguiente forma compacta:
$J_{\pm}=J_x\,\pm\,i\, J_y$ .
-Estos operadores satisfacen:
1. Los operadores $J_+$ y $J_-$ no son autoadjuntos: $(J_{\pm})^+=J_{\mp}$
2. $\vec{J}^2\,=\, \frac{1}{2}\, (J_+J_- \,+\, J_-J_+)\,+\,J_z^2$
3. $J_-J_+\,=\,\vec{J}^2\,-\,J_z\,(J_z\,+\,\hbar)$
4. $J_+J_-\,=\,\vec{J}^2\,-\,J_z\,(J_z\,-\,\hbar)$
5. $J_{\pm} \ J_{\mp} \,=\,\vec{J}^2 - J_z^2 \pm \hbar \, J_{z} \,=\,\vec{J}^2 - J_z\,( J_z \mp \hbar)$
6. $[J_+\,,\,J_{-}]\,=\, 2\hbar J_{z}$
7. $[ \vec{J}^2\,,\,J_{\pm}]\,=\, 0$
8. $[J_z\,,\,J_{\pm}] \,=\, J_z \ J_{\pm} \ - \ J_{\pm} \ J_z \,=\, \pm \hbar J_{\pm}$
9. $\vec{J}^2 (J_{\pm} \,|J\, M\, >) \,=\, \hbar^2 \,J(J+1)(J_{\pm} \, |J\, M\, >)$
10. $J_z (J_{\pm} \,|J\, M\, >) \,=\,(J_{\pm} J_z \pm \hbar J_{\pm})\,|J\, M\, > \,=\,\hbar \,(M \pm 1)(J_{\pm} \, |J\, M\,>)$
-estas dos últimas expresiones nos indican que al aplicar bien $J_+$ , bien $J_-$ , a cada estado $|J\, M\, >$ , se obtienen sendos estados que, una vez normalizados, conservan el número cuántico de momento angular $J$ pero han aumentado/disminuido el número cuántico de tercera componente $M$ en una unidad (salvo anulación):
$J_{\pm} \,|J\, M\, > \,=\,C \, |J\, M\pm 1\, >$ ,
donde $C$ es un escalar por determinar. Este resultado justifica su denominación como «operadores escalón». Obsérvese que esta última ecuación ¡no es una ecuación de autovalores!
A continuación, vamos a establecer el carácter puramente discreto del espectro de los operadores $\vec{J}^2$ y $J_z$ , así como sus autovalores (que han de ser reales, no así los de los operadores escalón, que no son autoadjuntos). Para ello partimos del par de ecuaciones de autovalores:
$\left. \begin{array}{l} \vec{J}^2 \, |J\, M\, > \,=\,\hbar^2J(J+1) \, |J\, M\, >\\ J_z \,|J\, M\, > \,=\, \hbar \, M \, |J\, M\, > \end{array} \right\} \Rightarrow$
$\left\langle J\, M\, | \, \vec{J}^2 - J_z^2 | \, J\, \, M \, \right\rangle = \, \hbar^2 J(J+1) - \hbar^2 M^2 \ge \, 0$
$\Rightarrow \hbar^2 J(J+1) \, \ge \, \hbar^2 M^2$ ,
ya que el operador $\vec{J}^2 - J_z^2=J_x^2 + J_y^2$ es definido positivo.
-Sea $M_{mx}$ el máximo valor posible para el número cuántico $M$ , para cada valor de $J$ , que ha de existir porque, si no, se violaría la desigualdad antes establecida; para este valor, a partir de la actuación del operador , se cumple:
$J_{+} \, |J \, M_{mx} \, > \, = \, 0$ ,
de donde se deriva que
$J_{-}J_{+} \, |J\, M_{mx} \, > \, = \, (\vec{J}^2 -J_z^2 - \hbar J_{z}) \, |JM_{mx} \, > \,$
$=\, \hbar^2 [J(J+1) -M_{mx}^2 - M_{mx}] \, |JM_{mx} \, > \,\, =0$
$\Rightarrow [J(J+1) -M_{mx}^2 - M_{mx}]=0$
$\Rightarrow J(J+1)=M_{mx} (M_{mx} +1)$
-De forma análoga, para no violar la desigualdad previa, ha de existir un $M_{mn}$ que sea el mínimo posible para el número cuántico $M$ , para cada valor de $J$ . Y para este valor mínimo, se cumple
$J_{-} \, |J \, M_{mn} \, > \, = \, 0$ ,
de donde se deriva que
$J_{+}J_{-} \, |J\, M_{mn} \, > \, = \, (\vec{J}^2 -J_z^2 + \hbar J_{z}) \, |JM_{mn} \, > \,$
$=\, \hbar^2 [J(J+1) -M_{mn}^2 + M_{mn}] \, |JM_{mn} \, > \,\, =0$
$\Rightarrow [J(J+1) -M_{mn}^2 + M_{mn}]=0$
$\Rightarrow J(J+1)=M_{mn} (M_{mn} -1)$
-Reuniendo los dos resultados previos, se obtiene la igualdad:
$M_{mx} \, = \, -M_{mn}$
-Por otra parte, siendo $n$ un entero positivo, o cero, se tiene:
$(J_-)^n \, |J\, M_{mx}\, > \,=\,C_n^{M_{mx}} \, |J\, (M_{mx}-n)\, >$ ,
donde $C_0^{M_{mx}}$ es un escalar, teniéndose $C_0^{M_{mx}}\, = \, 1$ .
-Sea ahora $n_{mx}=M_{mx}-M_{mn}$ el valor máximo de $n$ , o valor para el que se alcanza el valor mínimo $M_{mn}=M_{mx}-n_{mx}$ cuando se va disminuyendo de uno en uno el valor de $M_{mx}$ , de modo que:
$(J_-)^{n_{mx}} \,|J\, M_{mx}\, > \,=\,C_{n_{mx}}^{M_{mx}} \, |J\, M_{mn}=M_{mx}-n_{mx}\, >$ ,
y se cumple que
$(J_{-})^{(n_{mx} +1)}\, |J\, M_{mx}\, > \,=\,J_- \, |J \, M_{mn} \, > \,=\,0$
-Del par de ecuaciones anteriores, $M_{mx}=-M_{mn}$ y $M_{mx} \, = \, M_{mn}+n_{mx}$ , se deriva directamente el resultado:
$\Rightarrow \, -M_{mn} \, = \, M_{mx} \, = \, \frac{n_{mx}}{2}$ .
-Se abren así sólo dos posibilidades:
1. Si $n_{mx}$ es cero o un entero positivo par: en este caso, para ese valor considerado de $J$ , el valor de $M_{mx}$ ha de pertenecer al conjunto de valores $\{0,1,2,3 \ldots \}$ .
2. Si $n_{mx}$ es un entero positivo impar: en este caso, para ese valor considerado de $J$ , el valor de $M_{mx}$ ha de pertenecer al conjunto de valores «semi-impares» $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2},\ldots$ .
-Reuniendo resultados:
$\left. \begin{array}{l} \mbox{Tomado (por convenio) } J \ge 0 \; \mbox{:} \\ n_{mx} \in \{ 0, \mathbb{Z^+} \} \\ J(J+1) \, = \, M_{mx}(M_{mx}+1) \\ M_{mx} \,=\,-M_{mn}\, = \, \frac{n_{mx}}{2} \end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l} J \in \{ 0,\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2 , \frac{5}{2}, 3 , \frac{7}{2} \cdots \} \\ \mbox{Dado un valor de J:} \\ M_{mn} \, = \, -J \, ; \, M_{mx} \, = \, J \\ -J \, \le M \, \le \, J \\ M \in \{ -J, -J+1,-J+2,\ldots , J-1 , J \} \end{array} \right\}$
En resumen:
1. $\vec{J}^2$ y $J_z$ tienen sendos espectros puramente discretos.
2. Dado un valor del número cuántico de momento angular $J$ , que por convenio será $J \ge 0$ , los correspondientes valores del número cuántico de tercera componente de momento angular, $M$ , son los $(2J+1)$ valores $\{ -J, -J+1,-J+2,\ldots , J-1 , J \}$ .
3. En consecuencia, en la relación de ortonormalización
$\left\langle J',\, M'\, | J,\, M\, \right\rangle$ $=\,\delta_{J,\,J'} \,\delta_{M,\,M'}$ ,
el símbolo $\delta$ representa siempre una delta de Kronecker.
Ecuaciones de autovalores para los productos de los dos operadores escalón:
$\left. \begin{array}{r} J_-J_+ \,|J\, M\, > \,=\, \hbar^2 \,[J(J+1)-M(M+1)] \, |J\, M\, >\\ =\, \hbar^2 \,(J-M)(J+M+1)\, |J\, M\, > \end{array} \right.$
y
$\left. \begin{array}{r} J_+J_- \,|J\, M\, > \,=\, \hbar^2 \,[J(J+1)-M(M-1)] \, |J\, M\, >\\ =\, \hbar^2 \,(J+M)(J-M+1)\, |J\, M\, > \end{array} \right.$ ,
de las cuales se ha derivado:
$|| J_{\pm} \, |JM \, > ||^2 \, = \,\hbar^2 \,(J \mp M)(J \pm M +1)\, \ge \, 0$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -J \, \le \, M \, \le +J \\ J_+ \, |J\, M\, > \,=\,0 \, \Leftrightarrow M=+J\\ J_- \, |J\, M\, > \,=\,0 \, \Leftrightarrow M=-J \end{array} \right.$ .
Actuación de los operadores escalón sobre los estados de la base:
Sea $J_{\pm} \, |JM \, > \, = \, C \, |J\, M\pm 1 \, > \, \ne 0 \,,\, C \in \mathbb{C}$ ,
(esto es, $M \ne \pm \, J$ en la ecuación respectiva).
-Puesto que
$|| J_{\pm} \, |JM \, > ||^2 =\, |C|^2 \,|| ( |J\, M\pm 1 \, >)||^2\, =\, |C|^2 \, = \,\hbar^2 \,(J \mp M)(J \pm M +1)$
$\Rightarrow |C|\,=\,|| J_{\pm}(|J M \, >) ||$ ,
ya que la base ${|JM \, > }$ es ortonormal, obteniéndose pues:
$J_{\pm} \, |JM \, > \, = \, e^{i\gamma}\, \hbar \,[(J \mp M)(J \pm M +1)]^{\frac{1}{2}} \, |J\, M\pm 1 >$
$= \, e^{i\gamma}\, \hbar \,[J (J +1)-M(M \pm 1)]^{\frac{1}{2}} \, |J\, M\pm 1 >$ ,
$\gamma \in \mathbb{R}$ , donde $\gamma$ representa una fase sin fijar.
Convenio de Condon-Shortley:
La fase $\gamma$ se fija como parte de este convenio imponiendo $e^{i\gamma}=+1$ ( $\gamma=2n\pi \,,\,n=0,2,4\ldots$ ).
-En particular, se elige como nula la fase relativa $\gamma$ entre los estados $J_{\pm} \, |JM >$ y $|J\,M\pm 1 >$ , una elección que garantiza:
1.Todos los elementos de matriz de los operadores $J_{\pm}$ , $\vec{J}^2$ y $J_x$ son no-negativos:
$\left\langle J\, M\, | \, J_{\pm} | \, J\, \, M' \, \right\rangle \ge \,0$ , y lo mismo para $\vec{J}^2$ y $J_x$ .
2. La matriz del operador $J_z$ es real:
$\left\langle J\, M\, | \, J_{z} | \, J\, \, M' \, \right\rangle \in \, \mathbb{R}$ .
3. La matriz del operador $J_y$ es imaginaria pura:
$\left\langle J\, M\, | \, J_{y} | \, J\, \, M' \, \right\rangle = i\beta \,,\, \beta \ge 0 \,,\, \beta \in \, \mathbb{R}$ .
Nota: ¡el que la matriz de $J_y$ contenga elementos imaginarios puros no impide que sus valores propios sean todos reales, lo que viene impuesto por su carácter de operador autoadjunto!
Obsérvese que, si a partir del estado $| \, J\, M \,>$ aplicamos repetidamente cada operador escalón, obteniendo la correspondientes secuencia de estados:
-para $J_+$ : $\; | J\, M >$ , $| J\, M+1 >$ , $| J\, M+2 > \, \ldots$
-para $J_-$ : $\; | J\, M >$ , $| J\, M-1 >$ , $| J\, M-2 > \, \ldots$ ,
estas cadenas alcanzarán su fin cuando se incumpla la condición $-J \le M \le J$ (¡recuérdese que $J \ge 0$ !), de tal modo que, según quedó antes establecido:
1. Los estados finales respectivos en las anteriores secuencias son los $| J\, M=M_{mx}=J >$ y $| J\, M=M_{mn}=-J >$ .
2. Y, como $M$ debe tomar necesariamente los dos valores $-J$ y $J$ , se implica de nuevo que $J$ debe ser un real entero o semi-impar, siempre no-negativo:
a) para $J_+$ : $M=-J\,,\, M=-J+1\,,\,\ldots \,, \, -J+n=+J \, \Rightarrow \, n=2J\,,\, J=\frac{n}{2}\,,\, n=1,2\dots$
b) para $J_-$ : $M=J\,,\, M=J-1\,,\,\ldots \,, \, J-n=-J \, \Rightarrow \, n=2J\,,\, J=\frac{n}{2}\,,\, n=1,2\dots$
siendo $n$ el número natural que da cuenta del número de veces que se debe aplicar el operador $J_+$ para, partiendo del estado $| J\, M=-J >$ , obtener el $| J\, M=J >$ .
-Recopilando:
$J\,=0\,,\,\frac{1}{2}\,,1\,,\frac{3}{2}\,,2\,,\frac{5}{2}\,\ldots$ ,
y, para cada valor $J$ , el número cuántico de tercera componente $M$ toma los valores reales
$M\,=\,-J\,,\,-J+1\,,\,-J+2\,,\,\ldots \,, \,J$ ,
positivos o negativos.
Por tanto, la dimensión del subespacio de Hilbert generado por el correspondiente conjunto de autovectores simultáneos de los dos operadores $\vec{J}^2$ y $J_z$ ,
$\{| J\, M > \}_{M=-J,M=-J+1,\ldots,J}$ , para cada valor fijo de $J$ , ha resultado ser:
$dim(\mathcal{H}^{(J)})=2J+1$ .
-Este subespacio $\mathcal{H}^{(J)}$ es invariante bajo los operadores $\vec{J}^2$ , $J_z$ , y también bajo $J_+$ , $J_-$ , $J_x$ y $J_y$ , de manera que estos operadores no conectan estados pertenecientes a subespacios con distinto valor del número cuántico $J$ .
Nota (cf. [GAL-89], p. 251): Dado un sistema físico y su Hilbert asociado, la representación de momento angular (rotaciones) no es, en general, irreducible, sino que se suele descomponer en suma directa de representaciones irreducibles. En consecuencia, $\vec{J}^2$ y $J_z$ no bastarán para especificar un estado, haciéndose preciso incorporar nuevos observables para formar un C.C.O.C., algo que siempre será posible realizar.
-Es decir, el formalismo garantiza que existen C.C.O.C. que contienen unos operadores de momento angular $\vec{J}^2$ y $J_z$ , de modo que la base en el espacio estará integrada por estados que deben notarse como $|J\, M\, \alpha >$ , donde el tercer índice representa el conjunto adicional de números cuánticos requeridos en cada caso particular, y que especificarán los respectivos autovalores de los operadores adicionales que haya que incorporar para constituir, junto con $\vec{J}^2$ y $J_z$ , un C.C.O.C.
Para cada conjunto determinado de valores de los integrantes de $\alpha$ , ese subconjunto de vectores genera el correspondiente subespacio $\mathcal{H}^{(J)}$ , de dimensión $2J+1$ .
-Por ejemplo, para una partícula sin espín, para la que su momento angular total $\vec{J}$ va a coincidir con su momento angular orbital $\vec{L}$ , un posible C.C.O.C. es el ${\vec{L}^2\,,\, L_z \,,\,\frac{\vec{p}^2}{2m}}$ .

Representación matricial de los operadores de momento angular

Sea una representación en la que ambos operadores $\vec{J}^2$ y $J_z$ son diagonalizables simultáneamente, siendo el subespacio $\mathcal{H}^{(J)}$ invariante bajo ellos; sea $| J\, M >$ un estado de la base ortonormal en dicha representación, elegida según el convenio de Condon-Shortley e integrada por autoestados comunes a ambos operadores:
$\left. \begin{array}{l} \vec{J}^2 \, |J\, M\, > \,=\,\hbar^2J(J+1) \, |J\, M\, >\\ J_z \,|J\, M\, > \,=\, \hbar \, M \, |J\, M\, > \end{array} \right\}$ ,
donde:
$J \in \mathbb{R}\,,\, M \in \mathbb{R}\,,\,J \ge 0$ ,
$J\,=0\,,\,\frac{1}{2}\,,1\,,\frac{3}{2}\,,2\,,\frac{5}{2}\,\ldots$ ,
y, para cada valor $J$ , el número cuántico de tercera componente $M$ toma los valores reales
$M\,=\,-J\,,\,-J+1\,,\,-J+2\,,\,\ldots \,, \,J$ ,
positivos o negativos.
El subespacio de Hilbert $\mathcal{H}^{(J)}$ generado por el conjunto de autovectores simultáneos de $\vec{J}^2$ y $J_z$ , para cada valor fijo del número cuántico $J$ , esto es, el conjunto
$\{| J\, M > \}_{M=-J,-J+1,\ldots,J}$ ,
es de dimensión finita $2J+1$ , y es invariante bajo los operadores $\vec{J}^2$ , $J_z$ , y también bajo $J_+$ , $J_-$ , $J_x$ y $J_y$ , de manera que estos operadores no conectan estados pertenecientes a subespacios con distinto valor del número cuántico $J$ . Por tanto, la representación matricial de todos ellos tendrá la forma de una matriz cuadrada cuyos únicos elementos no nulos vienen dados, para cada operador $J_{\bigodot}$ y asumido el convenio de Condon-Shortley, por:
$\left\langle J\, M\, | \, \vec{J}^2 | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\,\delta_{MM'}\, \hbar^2 \, J(J+1) \, = \, \alpha_2$ , con $\alpha_2 \in \mathbb{R} \, ,\, \alpha_2 \ge 0$ ,
$\left\langle J\, M\, | \, J_{z} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\,\delta_{MM'}\, \hbar \, M \, = \, \alpha_z$ , con $\alpha_z \in \mathbb{R}$ ,
$\left\langle J\, M\, | \, J_{x} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\, \frac{\hbar}{2}\, (\delta_{M,M'+1} + \delta_{M,M'-1}) \, [J(J+1)- MM']^{\frac{1}{2}} \, = \, \alpha_x$ , con $\alpha_x \in \mathbb{R} \, ,\, \alpha_x \ge 0$ ,
$\left\langle J\, M\, | \, J_{y} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\, \frac{\hbar}{2i}\, (\delta_{M,M'+1} -\delta_{M,M'-1}) \, [J(J+1)- MM']^{\frac{1}{2}} \, = \, i\alpha_y$ , con $\alpha_y \in \mathbb{R}$ ,
$\left\langle J\, M\, | \, J_{+} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\, \delta_{M,M'+1} \, \hbar \,[J(J+1)- MM']^{\frac{1}{2}} \, = \, \alpha_+$ , con $\alpha_+ \in \mathbb{R} \, ,\, \alpha_+ \ge 0$ ,
$\left\langle J\, M\, | \, J_{-} | \, J'\, \, M' \, \right\rangle \,= \, \delta_{JJ'}\, \delta_{M,M'-1} \, \hbar \,[J(J+1)- MM']^{\frac{1}{2}} \, = \, \alpha_-$ , con $\alpha_- \in \mathbb{R} \, ,\, \alpha_- \ge 0$ .
Por ejemplo, si ordenamos los estados de la base del Hilbert
$\{| J\, M > \}_{M=-J,M=-J+1,\ldots,J}\,,\, J\,=0\,,\,\frac{1}{2}\,,1\,,\frac{3}{2}\,,2\,,\frac{5}{2}\,\ldots$
en orden creciente de $J$ y, para cada $J$ , en orden decreciente de $M$ , resulta que la matriz representativa de cadas uno de estos operadores
$J_{\bigodot} \equiv \vec{J}^2 \,,\, J_z\,,\, J_+ \,,\, J_-\,,\,J_x\,,\,J_y$
es una matriz compuesta de muchos bloques con todos sus elementos nulos, excepto algunos de áquellos que corresponden a bloques con igual valor de $J$ en fila y columna:
$J_{\bigodot} \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & x & x & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & x & x & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
-Por ejemplo:
$J^2 \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & 3 \frac{\hbar^2}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & 0 & 3 \frac{\hbar^2}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & 2 \hbar^2 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \hbar^2 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \hbar^2 & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{15}{4}\hbar^2 &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
$J_z \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & \hbar & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\hbar & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3\frac{\hbar}{2} &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
$J_+ \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & 0 & \hbar & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \hbar & 0 & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \hbar & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
$J_- \doteq \begin{pmatrix} J,M & 0,0 & \frac{1}{2},\frac{1}{2}& \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 1,+1 & 1,0 & 1,-1 & \frac{3}{2},\frac{3}{2} & \cdots \\ 0,0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},+\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} & 0 & \hbar & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,+1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \hbar & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ 1,-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \hbar & 0 & 0 &\cdots \\ \frac{3}{2},+\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix}$
Debido a su peculiar estructura en bloques, es frecuente trabajar considerando por separado cada subespacio $\mathcal{H}^{(J)}$ , esto es, para cada valor fijo de $J$ . En estos subespacios, las matrices representativas de los primeros valores del número cuántico de momento angular $J$ resultan ser (¡en estos apuntes se toman los índices fila y columna en orden decreciente de $M$ !):

$J=0 \; : \; J_{\bigodot}=(0)\, , \, J_{\bigodot} \, \equiv \,\vec{J}^2 \,,\, J_z\,,\, J_+ \,,\, J_-\,,\,J_x\,,\,J_y$
$J=\frac{1}{2}$ :
$\vec{J}^2\, = \, \frac{3}{4}\hbar^2 \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad\ J_z\, = \, \frac{1}{2}\hbar \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$J_+\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_x\, = \, \frac{1}{2}\hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$J_-\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_y\, = \, \frac{1}{2}\hbar \, \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$
-Puesto que las componentes del vector unitario $\hat{n}$ en la dirección especificada por los ángulos polares $(\theta \, , \, \varphi )$ se expresan como:
$\hat{n}=(\sin \theta\cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)$ ,
se implica la siguiente expresión matricial para la proyección del operador sobre la dirección $\hat{n}$ :
$J_n=J_x \, \sin \theta\cos \varphi \,+\, J_y \, \sin \theta \sin \varphi \,+\, J_z \, \cos \theta$ ,
luego, para $J=\frac{1}{2}$ :
$J_n=\, \frac{\hbar}{2} \, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\, \sin \theta\cos \varphi \,+\,\frac{\hbar}{2} \, \begin{pmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\,\sin \theta \sin \varphi \,+\,\frac{\hbar}{2} \, \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\,\, \cos \theta$
$\; =\, \frac{\hbar}{2} \, \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta e^{-i\varphi} \\ \sin \theta e^{i\varphi} & -\cos \theta \end{pmatrix}$
$J=1$ :
$\vec{J}^2\, = \, 2\hbar^2 \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad\ J_z\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$J_+\, = \, \frac{2}{\sqrt{2}}\hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_x\, = \, \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ $J_-\, = \, \frac{2}{\sqrt{2}}\hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_y\, = \, \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \, \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$
$J=\frac{3}{2}$ :
$\vec{J}^2\, = \, \frac{15}{4}\hbar^2 \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad\ J_z\, = \, \frac{1}{2} \hbar \, \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ $J_+\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\sqrt{3} \\0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_x\, = \, \frac{1}{2} \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & \sqrt{3}& 0 \end{pmatrix}$ $J_-\, = \, \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{4} & 0 & 0 \\0 & 0 & \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix} \qquad\ J_y\, = \, \frac{1}{2} \hbar \, \begin{pmatrix} 0 & -i \sqrt{3} & 0 & 0 \\ i \sqrt{3} & 0 & -2i & 0 \\ 0 & 2i & 0 & -i \sqrt{3} \\ 0 & 0 & i \sqrt{3}& 0 \end{pmatrix}$

Referencias

[BAL-98] Ballentine, L.E.; “Quantum Mechanics: A Modern Development”; World Scientific; Singapore, 1998.

[BOH-79] Bohm, D.; “Quantum Theory”; Dover; New York, 1979.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; «Mecánica Cuántica», Eudema, 1989.

[NEU-91] Neumann, J. von; «Fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica», CSIC, Raycar, Madrid, 1991.

[SCH-68] Shiff, L.I. ; Quantum Mechanics, 3º ed; McGraw-Hill, 1968.

Páginas complementarias

–Momento angular en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com: parte I.

–Momento angular en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com: parte II.

–Momento angular en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com: parte III.

-momento angular cuántico en la Wikipedia

-momento angular en mecánica cuántica: archivo de A. Prados, Universidad de Sevilla: https://personal.us.es/prados/Cuantica-1819/Tema-momento-angular.pdf (en caché: https://web.archive.org/web/20240207094520/https://personal.us.es/prados/Cuantica-1819/Tema-momento-angular.pdf).

-Sobre la conexión crucial entre la Teoría de Grupos y la Mecánica Cuántica: blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com.

-suma de momentos angulares:
https://galileo.phys.virginia.edu/classes/752.mf1i.spring03/AddingAngularMomenta.htm

APPS

Física cuántica en la red

Un sitio para adentrarse en la física cuántica

Teoría general de momento angular

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