El entrelazamiento cuántico

Estados entrelazados, Imagen de https://rdcu.be/c8cJI — Conjuntos y estados entrelazados, imagen de Nature Physics: https://rdcu.be/c8cJI , copyright: Alexey Pavluts, Alamy.

El entrelazamiento o enredo cuántico

La propiedad cuántica del entrelazamiento (entanglement; «Verschränkung» originariamente en alemán) es una propiedad de algunos estados cuánticos que fue señalada por primera vez por Schrödinger en 1935:

Discussion of probability relations between separated systems, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 31 (1935) 555-562.

La función de onda del sistema de dos partículas, que se han separado después de una interacción temporal, no puede expresarse posteriormente como producto de funciones de onda separadas y, por tanto, el conocimiento de $\Psi$ [la función de onda del sistema de dos partículas entrelazadas] no permite adscribir a cada una de las dos partículas una función de onda individual; en otras palabras, el mejor conocimiento de un todo no incluye el mejor conocimiento de sus partes.

Schrödinger consideró esta característica cuántica como profundamente insatisfactoria, pero a la vez también como la característica esencial y más radical del nuevo formalismo:

It is rather discomforting that the theory should allow a system to be steered or piloted into one or the another type of state at the experimenter’s mercy in spite of his having no access to it (ibid).

I would not call [entanglement] one but the characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical lines of thought.

Einstein, Podolsky y Rosen la considerarían como no razonable:

A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Physical Review 47 (1935) 777-780:

This makes the reality of P and Q depend upon the process of measurement carried out on the first system, which does not disturb the second system in any way. No reasonable definition of reality could be expected to permit this.

Entrelazamiento o entanglement (definición de G.G. Alcaine):

G. García Alcaine, «Enredo cuántico«, Revista Española de Física 19 (1), 2000, 17-29:

Propiedad de aquellos estados de un sistema compuesto (calificados como verwickelten en alemán, entangled en inglés, enredados, entrelazados, etc. en español) que contienen correlaciones cuánticas clásicamente inalcanzables.
[…] Si el sistema total se encuentra en un estado puro (es decir, máximamente determinado), el enredo se manifiesta en que el estado total no puede expresarse como producto de estados para cada una de sus partes (desde el punto de vista matemático), y en que ninguna de dichas partes por separado se encuentra en un estado puro (desde el punto de vista físico).
[…] El enredo cuántico es responsable de algunas de las propiedades más llamativas de la Mecánica Cuántica: contradicción con las teorías de Variables Ocultas deterministas Locales, teleportación del estado para variables discretas o continuas, borrado cuántico con elección retardada, interferencia de varias partículas, enredo entre dos cavidades con un sólo fotón, aplicaciones en metrología, espectroscopía, litografía interferométrica, mejora de la relación señal-ruido (en relojes atómicos, detección de ondas gravitacionales, etc.), etc. Mención especial merecen las aplicaciones del enredo en el campo de la información cuántica, incluyendo codificación densa, comunicación cuántica, superaditividad en la comunicación, criptografía cuántica, corrección de errores cuánticos, computación cuántica…

–Pero:

Advertencia: correlaciones cuánticas sin entrelazamiento:

Correlaciones cuánticas clásicamente inalcanzables en sistemas sin entrelazamiento:

Una demostración experimental de la violación de las desigualdades de Kochen y Specker para un único sistema cuántico, un fotón que puede viajar a lo largo de tres caminos posibles donde se realizan diferentes medidas cuyos resultados deben ser compatibles entre sí:

R. Lapkiewicz et al, «Experimental non-classicality of an indivisible quantum system», Nature 474 (2011) 490-493.

En análisis de A. Cabello:

A. Cabello, «»Correlations without parts», Nature 474 (2011) 456-458:

Kochen and Specker noticed that quantum mechanics is in conflict with classical physics even for non-composite systems. This conflict can be converted into experimentally testable violations of classical correlation inequalities and into experiments showing that quantum correlations occur for any quantum state, not necessarily just for entangled ones.

(Lapkiewicz and colleagues´) findings are therefore of fundamental importance, because they confirm that quantum correlations also occur in system in which entanglement, which is supposed to be the most emblematic feature of quantum mechanics, cannot be defined.

It seems that Bell experiments, composite systems and entangled states are not enough to provide a complete understanding of the physical principles behind quantum mechanics: quantum correlations exist without them.

Divulgado en el blog de Francisco R. Villatoro.

Estados puros y estados mezcla; operador densidad

Estado puro: Sea un sistema cuántico y sea $\mathcal{H}$ el correspondiente espacio de Hilbert complejo y separable asociado para su descripción en el formalismo cuántico.

-Cuando sobre ese sistema se tiene información maximal, entonces el sistema se encuentra en un estado descrito matemáticamente por el vector de estado o ket $|\Psi(t)> \in \mathcal{H}$ , autoestado simultáneo de un C.C.O.C. (conjunto completo de observables compatibles, existiendo en el Hilbert una base ortonormal numerable común a todos ellos, esto es, en la que todos admiten expresión diagonal). En este caso, se dice que el sistema se halla en un estado puro, representado por el correspondiente ket del Hilbert.

Operador densidad para un estado puro:

-El operador densidad para un estado puro $|\Psi(t)>$ se define como el producto externo o ket-bra:

$\rho_{\Psi}(t)\equiv \rho =|\Psi(t)><\Psi(t)| \equiv P_{\Psi}$ ,

que representa, en este caso, el proyector $P_{\Psi}$ sobre el espacio monodimensional del correspondiente ket.

-La matriz densidad $\rho_{nm}$ se define como la matriz cuadrada de elementos $<\phi_n | \rho | \phi_m >$ , donde $\{|\phi_n>\}$ representa una base ortonormal dada del correspondiente espacio de Hilbert.

En términos del operador densidad para el estado puro $\Psi$ , $\rho \equiv \rho_{\Psi}$ , se escriben:

-El valor esperado $<A>_{\Psi}$ de un observable $A$ sobre el estado puro normalizado $|\Psi>$ :

$<A>_{\Psi}=<\Psi | A | \Psi>=Tr(\rho A)$ ,

donde $Tr$ simboliza la operación matemática «traza».

-La probabilidad $p(A;a)$ de obtener como resultado de su medida sobre dicho estado el autovalor $a$ (supuesto por simplicidad perteneciente a su espectro puntual y no degenerado), correspondiente a la autofunción $|\psi_a>$ , $A|\psi_a>=a|\psi_a>$ , viene dada por:

$p(A;a)=||\ P_{\psi_a}|\Psi> ||^2$ $=||\ |\psi_a><\psi_a|\Psi> ||^2$
$=|<\Psi | P_{\psi_a} | \Psi>|=|<\Psi | \psi_a>|^2=Tr(\rho P_{\psi_a})$

donde $P_{\psi_a}$ representa el correspondiente proyector.

-El nuevo estado $\Psi'$ del sistema tras la medida de A con resultado $a$ (no degenerado):

$\rho'=\frac{P_{\psi_a}\rho P_{\psi_a}}{Tr(\rho P_{\psi_a})}$

-La ecuación de Schrödinger (un postulado cuántico) adquiere la forma de la ecuación de von Neumann (el «análogo cuántico» a la ecuación de Liouville clásica):

$i\hbar \frac{\partial \rho}{\partial t}=[H,\rho]$

Un estado puro es la herramienta matemática que proporciona las distribuciones de probabilidad para los resultados de las medidas de todos los observables del sistema preparado en ese estado.

Estado mezcla: es la descripción matemática de un sistema cuántico que se halla en un estado sobre el que no existe información maximal, esto es, el sistema se encuentra en una mezcla estadística de estados puros,

$\{ |\Psi_1>,|\Psi_2>,\ldots ,|\Psi_n>\}$

(normalizados pero no necesariamente ortogonales entre sí),

con probabilidades normalizadas respectivas

$\{p_1,p_2,\ldots ,p_n \}\; ,\; 0\le p_i\le 1\;;\; \sum_{i=1}^{n}p_i=1$ ;

en este caso, la descripción matemática del estado del sistema en el formalismo cuántico se corresponde con un operador densidad general.

Operador densidad para un estado mezcla:

-Un estado mezcla se describe matemáticamente en el formalismo mecano-cuántico como el siguiente operador densidad $\rho$ general:

$\rho=\sum_k |\Psi_k> p_k<\Psi_k|$ ,

para el que, supuesto que las probabilidades están normalizadas, se tiene que $Tr \rho =\sum_k p_k=1$ (en general, cada estado $|\Psi_k>$ no tiene por qué ser autoestado de $\rho$ ).

-El valor esperado $<A>_{\rho}$ de un observable $A$ sobre el estado mezcla del sistema representado por el operador densidad $\rho$ viene dado:

$<A>_{\rho}=Tr(\rho A)=\sum_{k} p_{k} <\Psi_k | A | \Psi_k>$

Un estado puro $|\Psi>$ es un caso particular de estado mezcla en que todas las probabilidades $p_i$ son nulas excepto la que corresponde precisamente al estado puro en cuestión, que es la unidad; el operador densidad entonces, para un estado puro, satisface $\rho^2=\rho$ (es idempotente).

Propiedades generales del operador densidad:

Es acotado, autoadjunto, positivo, con traza unidad y cumpliendo $\rho \ge \rho^2$ (por lo tanto, compacto, de modo que su espectro es puramente puntual y discreto, salvo, a lo sumo y en su caso, con el cero como punto de acumulación).

El cuadrado de un operador densidad tiene la expresión:

$\rho^2= \rho \otimes \rho=\sum_k p_k | \Psi_k><\Psi_k| \sum_{k'} p_{k'}|\Psi_k'><\Psi_k'|$

$=\sum_{k,k'} p_k p_{k'} \, | \Psi_k> < \Psi_k | \Psi_k'> < \Psi_k' |$

$=\sum_{k} p_k^2 |\Psi_k> <\Psi_k |$ .

Para un estado puro, el operador densidad es idempotente, esto es, $\rho^2=\rho$ .

Sea, en particular, la expresión de un operador densidad en términos de la base ortonormal $\{\psi_j\}$ del Hilbert asociada al operador compacto densidad $\rho$ , esto es, su base propia, en la que su expresión es diagonal:

$\rho=\sum_j q_j |\psi_j><\psi_j|$

con

$\rho |\psi_j>=q_j |\psi_j>\;;\; Tr \rho=\sum_j q_j=1$

(análoga a la definición anterior pero integrada ahora sí por proyectores ortogonales dos a dos); su expresión en otra segunda base ortonormal $\{\phi_i\}$ del Hilbert sería (cf. [GAL-89], pp. 88ss.):

$|\phi_i>=\sum_j c_{ji}|\psi_j>$

donde la transformación entre las dos bases es unitaria, esto es, se cumple

$\sum_k c_{ik}c_{jk}^*=\sum_k c_{ki}c_{kj}^*=\delta_{ij}$

$\Rightarrow |\psi_i>=\sum_j c_{ij}^*|\phi_j>$

$\Rightarrow \rho=\sum_{i,j}|\phi_i>\rho_{ij}<\phi_j|$

donde

$\rho_{ij}=\sum_k c_{ki}^* q_kc_{kj}=<\phi_i| \rho | \phi_j>$

(¡matriz no diagonal!)

-Supuestas las dos bases como integradas por estados físicamente realizables, se tiene que:

$\bullet$ El elemento diagonal de la matriz densidad en la base, $\rho_{ii}$ , representa la probabilidad de hallar al sistema en el estado $\phi_i$ de la base, denominándose población de dicho estado $\phi_i$ .

$\bullet$ El término no diagonal de la matriz densidad, $\rho_{ij}$ con $i\ne j$ , da cuenta de las interferencias entre los estados $\phi_i$ y $\phi_j$ que surgen al expresar $\psi_k$ en la nueva base $\{\phi_i\}$ , cumpliéndose que $|\rho_{ij}|^2 \le \rho_{ii}\rho_{jj}$ ; asimismo, $\rho_{ii}=0$ implica $\rho_{ij}=0 \; \forall j$ .

$\bullet$ Los escalares complejos $\rho_{ij}$ con $i\ne j$ se denominan como coherencias, representando la coherencia residual en $\rho$ de los vectores $\phi_i$ y $\phi_j$ tras el promedio estadístico; en un estado puro, se cumple la condición de coherencia máxima: $\rho_{ij}\rho_{ji}=|\rho_{ij}|^2=\rho_{ii}\rho_{jj}$ para todo par de índices ${i,j}$ .

$\bullet$ Cuando en un estado mezcla al menos un par de elementos no diagonales $\rho_{ij}$ de la matriz densidad (o coherencias) cumple $0<\rho_{ij}\rho_{ji}<\rho_{ii}\rho_{jj}$ , se dice que el estado mezcla está sólo parcialmente mezclado.

$\bullet$ Cuando en un estado mezcla todo los elementos no diagonales de la matriz densidad son nulos y $\rho_{ii}=\rho_{jj} \forall i,j$ , se dice que el estado mezcla está totalmente mezclado. La matriz densidad, en este caso, presenta coherencia nula entre cada dos estados poblados.

Una medida fundamental utilizada en mecánica cuántica para cuantificar la «mezcla» o la impureza de un estado cuántico, representado por una matriz densidad $\rho$ , es la denominada
entropía de von Neumann, transcripción directa de la entropía de Shannon (tomando la constante de Boltzman como la unidad). Esta entropía se define en términos del logaritmo neperiano del operador densidad:
$S_V \ = \ -Tr(\rho ln \rho) \ = \ - \sum_i \lambda_ i ln \lambda_i$ ,
donde los $\lambda_i$ son los valores propios del operador densidad. Es invariante bajo transformaciones unitarias. Su valor es cero para estados puros y $ln (d)$ nats en un estado máximamente mezclado, siendo $d$ la dimensión del espacio (las entropías se miden en las unidades de información nat o bit, según se tomen logaritmos neperianos o en base 2; 1 bit=0.693 nats).

-El estado de mezcla máxima es el que corresponde a una mezcla uniforme (con iguales coeficientes) para todos los estados de la base intervinientes. Es el estado que representa la máxima incertidumbre o falta de información sobre el sistema, ya que todas las configuraciones posibles son equiprobables.

Ejemplos: sean los siguientes operadores densidad, dados también en su representación matricial, en el espacio de espín $\frac{1}{2}$ :

$\bullet$ Ejemplo 1:

$\rho=|\uparrow><\uparrow| \quad , \; \rho_{ij} =\left( \begin{matrix} 1&0 \\ 0&0 \end{matrix}\right)$

-Representa el estado puro $|\uparrow>$ , cumpliéndose
$0<\rho_{12}\rho_{21}=0=\rho_{11}\rho_{22}$ .

$\bullet$ Ejemplo 2:

$\rho=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow>+|\downarrow>)\frac{1}{\sqrt{2}}(<\uparrow|+<\downarrow|)$

$=\frac{1}{2}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{2}|\uparrow><\downarrow| +\frac{1}{2}|\downarrow><\uparrow| +\frac{1}{2}|\downarrow><\downarrow|$

$\rho_{ij} =\left(\begin{matrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)$

-Representa el estado puro $|\Psi>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow>+|\downarrow>)$ , cumpliéndose

$0<\rho_{12}\rho_{21}=\frac{1}{4}=\rho_{11}\rho_{22}$ .

$\bullet$ Ejemplo 3:

$\rho=\frac{3}{4}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{4}|\uparrow><\downarrow| +\frac{1}{4}|\downarrow><\uparrow| +\frac{1}{4}|\downarrow><\downarrow|$

$\rho_{ij} =\left(\begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{matrix}\right)$

-Representa un estado mezcla, parcialmente mezclado, ya que se cumple $0<\rho_{12}\rho_{21}=\frac{1}{16}<\rho_{11}\rho_{22}=\frac{3}{16}$ .

-Esto es, no existe ningún $\Psi \in \mathcal{H}$ tal que $\rho_{\Psi} =|\Psi><\Psi| = P_{\Psi}$ .

$\bullet$ Ejemplo 4:

$\rho_{ij}=\frac{3}{4}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{4}|\downarrow><\downarrow|$

$\rho_{ij} =\left(\begin{matrix} \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right)$

-Representa un estado parcialmente mezclado, ya que:

$\rho_{12}=\rho_{21}=0$ , pero $\rho_{11} \ne \rho_{22}$ .

$\bullet$ Ejemplo 5: el estado totalmente mezclado en dimensión 2 es:

$\rho_{ij}=\frac{1}{2}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{2}|\downarrow><\downarrow|$

$\rho_{ij} =\left(\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right) \ = \ \frac{1}{2} \ I_{d=2}$

Trazas

La traza de un operador densidad $\rho$ ,

$Tr \rho=\sum_{k}<\psi_k | \rho | \psi_k>$

es independiente de la base $\{|\psi_k>\}$ elegida en el Hilbert para su cálculo, y satisface las siguientes propiedades:

-Es igual a la unidad si el operador densidad representa un estado puro normalizado:

$|\Psi>=\sum_{i} \alpha_i |\psi_i> \;;\; \sum_i |\alpha_i|^2=1$

$\Rightarrow Tr \rho=Tr(|\Psi ><\Psi |)$

$=\sum_i <\psi_i | (\sum_j \alpha_j |\psi_j >)(\sum_k \alpha_k^*<\psi_k |)|\psi_i>$

$=\sum_{i,j,k} \alpha_j \alpha_k^* <\psi_i | \psi_j><\psi_k | \psi_i>=\sum_i |\alpha_i|^2=1$

-Es igual a la unidad si el operador densidad representa un estado mezcla (siempre que todos los estados puros de la mezcla estadística y sus probabilidades estén normalizados):

$Tr \rho = \sum_i < \psi_i | (\sum_k | \Psi_k> p_k < \Psi_k | ) | \psi_i >$

$=\sum_k p_k Tr(|\Psi_k> <\Psi_k|)=\sum_k p_k=1$

La traza es una operación que convierte operadores (matrices) en escalares del cuerpo ( $\mathbb{C}$ ):

$\bullet$ $Tr(|\Psi> <\Psi|)=<\Psi | \Psi>=1$

$\bullet$ $Tr(|\Psi> <\Phi|)=<\Phi | \Psi > \in \mathbb{C}$

La traza del cuadrado de un operador densidad tiene un valor diferente para estados puros y estados mezcla:

$Tr \rho^2=\sum_i <\psi_i | \rho^2 | \psi_i>$

$=\sum_i <\psi_i | (\sum_{k} p_k^2 |\Psi_k> <\Psi_k |) | \psi_i>$

$=\sum_k p_k^2 Tr(|\Psi_k> <\Psi_k |)$

$=\sum_k p_k^2\le 1$ ,

por lo que:

-para un estado puro: $\rho^2=\rho$ y $Tr \rho^2=\sum_k p_k^2=1$

-para un estado mezcla: $\rho^2 > \rho$ y $Tr \rho^2=\sum_k p_k^2<1$

El valor de la traza del cuadrado del operador densidad, $Tr \rho^2$ , con rango $1/d \ \le Tr \rho^2 \ \le \ 1$ , donde $d$ representa la dimensión del espacio, permite cuantificar de otra manera el grado de mezcla de un estado cuántico, o pureza del estado:

1. Estado Puro: $Tr \rho^2=1$ : total coherencia: Pureza máxima=1.

2. Estado mezcla o mixto: Pureza $=Tr \rho^2<1$ , esto es, pureza inferior a la máxima, y cuanto más pequeño sea el valor, más mezclado se considera el estado.

3. Estado total o máximamente mezclado (¡único en cada espacio!): $\rho^2=\frac{1}{d} I \ \Rightarrow \ Tr \rho^2=\frac{1}{d}$ . Por ejemplo, el estado mezcla de un qubit individual totalmente despolarizado.

-Se puede introducir ahora una escala distinta a la que se manejó antes (entropía de von Neumann) para establecer una medida del grado de mezcla o impureza de un estado cuántico. En esta nueva métrica, basada en la traza de la matriz $\rho^2$ , cuantificamos como «pureza» de un estado el valor $Tr \rho^2$ , correspondiendo a un estado puro el valor máximo, pureza=1, y definimos el grado de mezcla como el valor 1-pureza , función denominada también como la entropía lineal del estado:

Grado de mezcla: $S_L(\rho) = 1 - Tr \rho^2$ ,

de forma que cuanto más cerca esté este valor a 1, mayor será el grado de mezcla o impureza del estado, alcanzando el máximo posible en cada espacio de dimensión $d$ en el valor $1-\frac{1}{d}=\frac{d-1}{d}$ .

-Para un estado de máxima mezcla este valor satura en el máximo posible, o sea, el valor $\frac{1}{d}$ (adimensional), donde $d$ simboliza la dimensión del Hilbert, lo que sucederá para una matriz $\rho^2$ tal que:

a) todos los elementos no diagonales sean nulos, y

b) todos los elementos de la diagonal valgan $\frac{1}{d}$ .

Es decir: el estado totalmente mezclado, o más impuro, es el que se corresponde con el operador densidad de expresión:

$\rho^2=\frac{1}{d} I_{d}$ .

-Ambas medidas del grado de mezcla, la entropía de von Neumann y la entropía lineal, alcanzan el valor mínimo de cero para estados puros, y maximizan en el mismo estado. Son medidas relacionadas, pero no son idénticas. Parece que en sistemas de baja densidad, con fermiones, la entropía lineal puede fallar en predecir correctamente el comportamiento del entrelazamiento, mientras que la entropía de von Neumann lo hace bien. En general, se suele considerar la entropía lineal como una aproximación de primer orden a la de von Neumann, buena sobre todo en estados no muy mezclados.

-Retomemos los ejemplos anteriores, en el espacio de espín $\frac{1}{2}$ :

$\bullet$ Ejemplo 1:

$\rho=|\uparrow><\uparrow| \quad , \; \rho_{ij} =\left( \begin{matrix} 1&0 \\ 0&0 \end{matrix}\right)$

$\rho^2=\left( \begin{matrix} 1&0 \\ 0&0 \end{matrix}\right)\quad \Rightarrow Tr \rho^2 \ = \ = \ 1$

-Representa el estado puro $|\uparrow>$ , cumpliéndose
$0<\rho_{12}\rho_{21}=0=\rho_{11}\rho_{22}$ .

$\bullet$ Ejemplo 2:

$\rho=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow>+|\downarrow>)\frac{1}{\sqrt{2}}(<\uparrow|+<\downarrow|)$

$\rho_{ij}^2 =\left(\begin{matrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right) \quad \Rightarrow Tr \rho^2 \ = \ 2 \cdot \frac{1}{2} \ = \ 1$

-Representa el estado puro $|\Psi>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow>+|\downarrow>)$ , cumpliéndose

$0<\rho_{12}\rho_{21}=\frac{1}{4}=\rho_{11}\rho_{22}$ .

$\bullet$ Ejemplo 3:

$\rho=\frac{3}{4}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{4}|\uparrow><\downarrow| +\frac{1}{4}|\downarrow><\uparrow| +\frac{1}{4}|\downarrow><\downarrow|$

$\rho_{ij} =\left(\begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{matrix}\right)$

$\rho_{ij}^2 = \left(\begin{matrix} \frac{5}{8} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \end{matrix}\right) \quad \Rightarrow Tr \rho^2 \ = \ \frac{6}{8} \ = \ 0.75$

-Representa un estado mezcla, parcialmente mezclado, ya que se cumple $0<\rho_{12}\rho_{21}=\frac{1}{16}<\rho_{11}\rho_{22}=\frac{3}{16}$ .

-Esto es, no existe ningún $\Psi \in \mathcal{H}$ tal que $\rho_{\Psi} =|\Psi><\Psi| = P_{\Psi}$ .

$\bullet$ Ejemplo 4:

$\rho_{ij}=\frac{3}{4}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{4}|\downarrow><\downarrow|$

$\rho_{ij} =\left(\begin{matrix} \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right)$

$\rho_{ij}^2 =\left(\begin{matrix} \frac{9}{16} & 0 \\ 0 & \frac{1}{16}\end{matrix}\right) \quad \Rightarrow Tr \rho^2 \ = \ \frac{5}{8} \ = \ 0.625$

-Representa un estado mezcla totalmente mezclado.

$\bullet$ Ejemplo 5: el estado totalmente mezclado en dimensión 2 es:

$\rho_{ij}=\frac{1}{2}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{2}|\downarrow><\downarrow|$

$\rho_{ij} =\left(\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right) \ = \ \frac{1}{2} \ I_{d=2}$

$\rho_{ij}^2 =\left(\begin{matrix} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right) \quad \Rightarrow Tr \rho^2 \ = \ \frac{1}{2} \ = \ 0.5 =1/d$

-Obsérvese de nuevo que el estado de mezcla máxima es el que corresponde a una mezcla uniforme (con iguales coeficientes) para todos los estados de la base intervinientes. Es el estado que representa la máxima incertidumbre o falta de información sobre el sistema, ya que todas las configuraciones posibles son equiprobables.

Sistemas compuestos

Si un sistema cuántico está compuesto por $n$ subsistemas idénticos, cuyos respectivos espacios de Hilbert (complejos y separables) asociados para sus sendas descripciones en el formalismo cuántico son $\mathcal{H}_1,\ldots ,\mathcal{H}_n$ , el espacio de Hilbert para el sistema compuesto es el producto tensorial $\mathcal{H}= \otimes_{i=1}^{n} \mathcal{H}_n$ , de dimensión $dim \mathcal{H}= \Pi_{i=1}^{n} dim \mathcal{H}_i$ .

Por ejemplo, en el caso de un sistema cuántico compuesto por dos subsistemas idénticos A y B con sendos Hilberts asociados de dimensión 2 (por ejemplo: un sistema de 2 qubits), el espacio de Hilbert para el sistema compuesto es el producto tensorial $\mathcal{H}=\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ , de dimensión 4, cuya base general suele representarse como:

$\{ |00>,|01>,|10>|11> \}$

El cubit o qubit o qbit : en información cuántica, se denomina así a la superposición general
$|\Psi> = \alpha | 0 > + \beta |1 >$ ,
donde $| 0 >$ y $|1 >$ son los dos estados cuánticos de una base ortonormal en un Hilbert de dimensión 2, los análogos de los bits clásicos; los $\alpha$ y $\beta$ son escalares (complejos) arbitrarios.

Traza parcial

Sea un sistema bipartito compuesto por dos partes A y B.

Por ejemplo, puede ser el caso de dos átomos, cada uno de los cuales se asocia con sendos Hilberts $\mathcal{H}_i$ , de dimensiones respectivas 2 y 3, de forma que el Hilbert del sistema que componen sería $\mathcal{H}=\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ , de dimensión 6 .

-Notando los vectores de los sendos espacios de Hilbert como

$\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\ \right)\in \mathcal{H}_1$ ,

$\left( \begin{matrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{matrix}\right)\in \mathcal{H}_2$ ,

un vector general del Hilbert del sistema compuesto sería

$\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right) \otimes \left( \begin{matrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{matrix}\right) \doteq \left( \begin{matrix} a \alpha \\ a \beta \\ a\gamma \\ b\alpha \\ b\beta \\ b\gamma \end{matrix}\right) \in \mathcal{H}$

-Los operadores C y D, actuando sobre $\mathcal{H}$ y refiriendo sólo respectivamente a cada subsistema A y B, serán de la forma $C\otimes I_B$ y $I_A\otimes D$ , con expresión matricial:

$C\otimes I_B=\left(\begin{matrix} C_{11}&C_{12}\\ C_{21}&C_{22}\end{matrix}\right) \otimes \left(\begin{matrix} 1&0&0 \\0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} C_{11} & 0 & 0 & C_{12} &0&0\\0&C_{11}& 0 & 0& C_{12} &0\\ 0& 0&C_{11}&0 &0& C_{12}\\ C_{21} &0&0 &C_{22}&0 &0\\ 0& C_{21} &0&0&C_{22}&0\\ 0&0& C_{21} &0&0&C_{22} \end{matrix}\right)$

$I_A\otimes D=\left(\begin{matrix} 1&0 \\0&1\end{matrix}\right) \otimes\left(\begin{matrix} D_{11}&D_{12}&D_{13} \\ D_{21}&D_{22}&D_{23}\\ D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} D_{11} & D_{12} & D_{13} & 0&0&0\\D_{21}&D_{22}& D_{23} & 0&0&0\\ D_{31}& D_{32}&D_{33}&0 &0&0\\ 0&0&0&D_{11} &D_{12} &D_{13}\\ 0&0&0&D_{21}&D_{22}&D_{23}\\ 0&0&0&D_{31}&D_{32}&D_{33} \end{matrix}\right)$

La traza parcial de un operador $E=C\otimes D$ , actuando sobre $\mathcal{H}$ , se define entonces según:

$Tr_A(E)=Tr_A(C\otimes D)\equiv D\ Tr C$

$Tr_B(E)=Tr_B(C\otimes D)\equiv C\ Tr D$

expresiones que proporcionan sendos operadores (¡no escalares!) actuando sólo sobre $\mathcal{H}_B$ y $\mathcal{H}_A$ .
-al «tracear» un subsistema sobre el estado de un sistema compuesto, es como si lo elimináramos.

En el ejemplo, serían:

$E=C\otimes D=\left(\begin{matrix} C_{11}&C_{12} \\ C_{21}&C_{22}\end{matrix}\right) \otimes\left(\begin{matrix} D_{11}&D_{12}&D_{13} \\ D_{21}&D_{22}&D_{23}\\ D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{matrix}\right)$

$=\left(\begin{matrix} C_{11}D_{11}&C_{11}D_{12} &C_{11}D_{13} &C_{12}D_{11} &C_{12}D_{12}&C_{12}D_{13} \\ C_{11}D_{21}&C_{11}D_{22} &C_{11}D_{23} &C_{12}D_{21}&C_{12}D_{22}&C_{12}D_{23} \\ C_{11}D_{31} &C_{11}D_{32}&C_{11}D_{33}&C_{12}D_{31}&C_{12}D_{32}& C_{12}D_{33}\\ C_{21}D_{11} &C_{21}D_{12} &C_{21}D_{13} &C_{22}D_{11} & C_{22}D_{12}&C_{22}D_{13} \\ C_{21}D_{21} &C_{21}D_{22} &C_{21}D_{23} & C_{22}D_{21} &C_{22}D_{22}&C_{22}D_{23}\\ C_{21}D_{31} & C_{21}D_{32} &C_{21}D_{33} &C_{22}D_{31} &C_{22}D_{32}&C_{22}D_{33}\end{matrix}\right)$ ;

$Tr_A E=\left( \begin{matrix} C_{11}+C_{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} D_{11}&D_{12}&D_{13} \\ D_{21}&D_{22}&D_{23}\\ D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{matrix}\right)$ ,

donde el primer paréntesis representa un escalar y el segundo un operador, de forma que $Tr_A E$ representa un operador que actúa sobre $\mathcal{H}_B$ , cumpliéndose:

$Tr(Tr_A E)=(C_{11}+C_{22})(D_{11}+D_{22}+D_{33})=Tr E$

De manera que la traza parcial convierte el operador original sobre $\mathcal{H}$ en un operador sobre el correspondiente espacio no traceado del subsistema implicado.

Todo operador actuando sobre el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ asociado a un sistema compuesto puede escribirse como combinación lineal de operadores actuando sólo sobre cada uno de los subsistemas componentes. Por ejemplo, para un sistema bipartito A-B:
$\rho = \sum_{i,j} \alpha_{i,j} (\rho^{\mathcal{H}_A}_i \otimes I_B + I_A \otimes \rho^{\mathcal{H}_B}_j)$ ,

de forma que las definiciones de traza parcial pueden extenderse por linealidad a todos los operadores actuando en el Hilbert del sistema compuesto.

-Por ejemplo: dado el operador

$E=C_1\otimes D_1 +C_2\otimes D_2$ ,
se tiene:

$Tr_A E=Tr_A(C_1\otimes D_1 +C_2\otimes D_2)$

$=Tr_A(C_1\otimes D_1)+Tr_A(C_2\otimes D_2)$

$=D_1TrC_1 + D_2TrC_2$

de forma que el resultado es un operador actuando sólo sobre $\mathcal{H}_B$ .

La traza parcial de un operador densidad $\rho$ , en el caso de un sistema bipartito A y B , define los denominados operadores densidad reducidos:

$\rho_A\equiv Tr_B \rho$
$\rho_B\equiv Tr_A \rho$

que son sendos operadores sobre los espacios de Hilbert $\mathcal{H}_A$ y $\mathcal{H}_B$ .

Sea un sistema bipartito A-B que se halla en el estado representado por el operador densidad
$\rho=|\Psi_{A}\phi_B> <\Phi_{A}\mu_B|$
$=(|\Psi_{A}> \otimes | \phi_B>) (<\Phi_{A} | \otimes <\mu_B |)$
$=(|\Psi_{A}> < \Phi_A |) \otimes (| \phi_B> < \mu_B |)$ ,

donde $\{|\Psi_{A}> \, , \,|\Phi_{A}>\}$ son dos kets arbitrarios del espacio de Hilbert $\mathcal{H}_A$ y $\{|\phi_{B}> \, , \,|\mu_{B}>\}$ dos kets arbitrarios del espacio de Hilbert $\mathcal{H}_B$ . Entonces, el correspondiente operador reducido obtenido traceando sobre B tendrá la expresión:
$\rho_A = Tr_B \rho=|\Psi_{A}> < \Phi_A| < \mu_B | \phi_B >$ ,
donde
$< \mu_B | \phi_B > =Tr(| \phi_B> < \mu_B |)$

y $\rho_A$ es un operador actuando en $\mathcal{H}_A$ .

Propiedades:

-la traza parcial $Tr_B$ convierte el producto externo de $\mathcal{H}_B$ , $| \phi_B> < \mu_B |$ , en producto interno, $< \mu_B | \phi_B >$ , que no es, en general, igual a la unidad (y análogamente para $Tr_A$ ).

-puede demostrarse que:
$\rho_A = Tr_B \rho = \sum_i \alpha_i^{(\rho)} | i_A > < i_A |$
$\rho_B = Tr_A \rho = \sum_j \beta_j^{(\rho)} | j_B > < j_B |$ ,
donde $\{ | i_A >\}$ y $\{ | j_B > \}$ representan, respectivamente, un conjunto de estados de los espacios de Hilbert de los subsistemas A y B.

-el coeficiente constante $< \mu_B | \phi_B >$ , el solapamiento entre $| \phi_B >$ y $| \mu_B >$ , representa el peso específico con que la matriz $|\Psi_{A}> < \Phi_A |$ aparecerá en el resultado final, tras la suma.

-y, como el coeficiente $< \mu_B | \phi_B >$ es una constante, la traza parcial $\rho_A =Tr_B \rho$ ( $\rho_B =Tr_A \rho$ ) es un algoritmo que elimina toda referencia al sistema B (A): «tracea», anula, todas las amplitudes pertenecientes al subsistema traceado, proporcionado la estadística de resultados de la medida de los observables sobre el subsistema A (B) y cuantificando la ignorancia o ausencia de información sobre el subsistema traceado B (A):

La operación de traza parcial sobre un subsistema es una operación que reduce el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ del sistema compuesto al espacio de Hilbert del subsistema no traceado: proyecta los estados del sistema compuesto sobre los estados del correspondiente subsistema no traceado.

Los operadores densidad reducidos encierran toda la información contenida en el operador densidad $\rho$ relativa sólo al correspondiente subsistema.

-Por ejemplo, sea el operador $C_A$ , relativo sólo al subsistema A. Entonces, una extensión trivial suya al Hilbert $\mathcal{H}$ viene dada por el operador $C=C_A\otimes I_B$ y su valor esperado en el estado del sistema compuesto representado por el operador densidad $\rho$ es:

$<C_A>_{\rho}=Tr(\rho (C_A\otimes I_B))=<C_A>_{\rho_A}=Tr( \rho_A C_A)$

-es decir: es posible calcular el valor esperado de un operador que actúa solamente sobre el subsistema A como si estuviese aislado y descrito por $\rho_A$ : el operador $\rho_A$ , obtenido traceando el subsistema B, describe el estado del subsistema A.

Por lo tanto: La operación de traza parcial sobre uno de los subsistemas que componen un sistema compuesto reduce el espacio de Hilbert global al espacio de Hilbert correspondiente al subsistema concreto: se ignoran las otras partes del sistema, anulando las correspondientes amplitudes de probabilidad.

A partir de las dos matrices densidad reducidas del sistema bipartito A-B, en el estado $\rho$ , puede definirse el operador $\rho_{AB}=\rho_A \otimes \rho_B$ , que en general no coincide con $\rho$ , sino que describe un estado en que las variables de los dos subsistemas no presentan correlación mutua. Es decir:

El operador densidad $\rho_{AB}=\rho_A \otimes \rho_B$ sobre $\mathcal{H}$ corresponde a la descripción de un sistema donde las respectivas variables de cada subsistema presentan correlación nula.

En general, para un estado del sistema compuesto $\rho \ne\rho_A \otimes \rho_B$ , de forma que el operador densidad $\rho$ describe un estado en que las variables de los dos subsistemas presentan alguna correlación.

Las trazas parciales de la matriz densidad de un estado puro de un sistema bipartito sobre cada uno de los dos espacios de Hilbert involucrados proporcionan como resultado, en general, un estado mezcla.

Ejemplo 1: sea un sistema compuesto bipartito A-B en el estado puro

$| \Psi > = \sum_i \alpha_i | i_A > | i_B >$ ,

donde $\{ | i_A > \}$ y $\{ | i_B > \}$ representan estados de sendas bases de los espacios de Hilbert $\mathcal {H}_A$ y $\mathcal{H}_B$ .
-Entonces:
$\rho= | \Psi >< \Psi | = \sum_i \alpha_i | i_A > | i_B > \sum_j \alpha_j^* <j_A | <j_B |$

$\rho_A=Tr_B(\rho)= \sum_{i,j} \alpha_i \alpha_j^* | i_A > <j_A | <j_B | i_B >$

$= \sum_{i,j} \alpha_i \alpha_j^* | i_A > < j_A | \delta_{i,j}$

$= \sum_i |\alpha_i|^2 | i_A > < i_A|$ ,
expresión última que contiene sólo los elementos diagonales y las correspondientes probabilidades en la base del espacio $\mathcal{H}_A$ .

Ejemplo 2: sea un sistema de dos qubits, de forma que el Hilbert $\mathcal{H}$ del sistema compuesto es de dimensión 4, con base

$\{ |00>,|01>,|10>|11> \}$

y sea el estado puro del Hilbert correspondiente al estado de Bell $|\Psi^->$ :

$|\Psi^->=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01>-|10>)$

$\rho=|\Psi^-><\Psi^-|=(|\Psi^-><\Psi^-|)^{\dagger}$

$=\rho^2=\frac{1}{2}(|01>-|10>)(|01>-|10>)^{\dagger}$

$=\frac{1}{2}(|01>-|10>)(<01|-<10|)$

$=\frac{1}{2}(|01><01|+|10><10|-|01><10|-|10><01|)$ ,

cuya matriz densidad es:

$\rho=\frac{1}{2} \left(\begin{matrix} 0&0&0&0 \\ 0&1&-1&0\\ 0&-1&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right)$

$\rho^2=\rho=\frac{1}{4} \left(\begin{matrix} 0&0&0&0 \\ 0&2&-2&0\\ 0&-2&2&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right)$ ,

con $Tr(\rho^2)=1$ ,

como corresponde a un estado puro.

-Finalmente, puede calcularse:

$\rho_A=Tr_B \rho = \frac{1}{2}(|0><0| +|1><1|)=\frac{1}{2}I_A$

que representa un estado mezcla ya que

$Tr \rho_A^2=\frac{1}{2}=\frac{1}{d_A}=0.5<1$ ,
un estado con grado de mezcla total en el espacio del subsistema A, de dimensión 2.

-Análogamente:

$\rho_B=Tr_A \rho =\frac{1}{2}I_B$ ,

que representa un estado mezcla ya que

$Tr \rho_B^2=\frac{1}{2}=\frac{1}{d_B}=0.5<1$ ,
un estado con grado de mezcla total en el espacio del subsistema B, de dimensión 2.

estado con grado de mezcla total en el espacio del subsistema B, de dimensión 2.

-Finalmente, pues, concluimos que para este estado de Bell:

$\rho \ne \rho_A \otimes \rho_B$ .

Es decir: aunque el estado de un sistema bipartito de dos qubits sea puro, cada qubit puede hallarse en un estado mezcla.

Poseer información maximal sobre el estado del sistema compuesto puede no proporcionar información maximal sobre sus partes: es lo que sucede en los estados entrelazados.

Poseer los operadores densidad reducidos de las sendas partes del sistema bipartito entrelazado no da acceso a toda la información sobre el sistema compuesto: está ausente la información sobre las correlaciones entre sus partes.

Purificación

La purificación de un sistema cuántico al combinarlo con otro consiste en un procedimiento matemático y físico en el que un sistema inicial en un estado mezcla se extiende a un sistema compuesto que resulta preparado en un estado puro. El procedimiento se realiza entrelazando el sistema inicial con un segundo sistema auxiliar, denominado con frecuencia como sistema «ancilla»:
-Dado un sistema cuántico A en un estado mezcla descrito por el operador densidad $\rho_A$ , el proceso de purificación consiste en introducir un segundo sistema B en un sistema existente A, de tal manera que se extienda el espacio de Hilbert original y el sistema compuesto resultante A-B esté en un estado puro $\rho_{AB}=|\Psi><\Psi|\;,\; |\Psi> \in \mathcal{H}=\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$ , que satisface $\rho_A=Tr_B \rho_{AB}$ .

-La purificación representa, en cierta manera, la operación inversa a la de traza parcial o traceado de un subsistema de un sistema compuesto.

Es un proceso siempre posible.

Entrelazamiento en estados puros de sistema bipartitos

Sea un sistema cuántico compuesto por dos subsistemas A-B, de forma que el espacio de Hilbert para el sistema compuesto es el producto tensorial $\mathcal{H}= \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ , de dimensión $dim \mathcal{H}=dim \mathcal{H}_A \cdot dim \mathcal{H}_B$ .

Un estado puro de expresión general $|\Psi(t)> \in \mathcal{H}$ se denomina separable cuando admite expresión en forma factorizable, esto es, como un producto tensorial de sendos vectores de cada uno de los Hilberts:

$|\Psi(t)>= | \psi_A> \otimes | \psi_B>$

con $|\psi_i> \in \mathcal{H}_i$ , $i=A,B$ .

Un estado puro de un sistema bipartito A-B es separable si y sólo si los operadores densidad reducidos $\rho_A$ y $\rho_B$ , son estados puros.

Los estados puros separables, o estados puros producto, corresponden a estados puros del sistema en los que la información es maximal, tanto para el sistema compuesto como para cada uno de los subsistemas que lo componen.

Un estado estado puro de expresión general $|\Psi(t)> \in \mathcal{H}$ se denomina entrelazado (entangled) cuando no es separable, esto es, no admite expresión en forma factorizable, esto es, como un producto de factores separados:

$|\Psi(t)>\neq \ | \psi_A> \otimes | \psi_B>$ .

-Dado un estado cuántico arbitrario, en general es muy difícil establecer si es separable o no.

Los estados puros no-separables, o estados puros entrelazados, son estados puros del sistema para los que los operadores densidad reducidos de los subsistemas componentes (al menos para uno de ellos) no describen estados puros, sino estados mezcla.

Para los estados puros entrelazados, disponer de información maximal sobre el sistema compuesto no conlleva disponer de información maximal sobre todos los subsistemas componentes.

Mientras que la dimensión del subespacio integrado por los estados separables es $dim(\mathcal{H}_A) + dim(\mathcal{H}_B)$ , la dimensión del Hilbert es mucho mayor en general, viniendo dada por $dim \mathcal{H}= dim \mathcal{H}_A \cdot dim \mathcal{H}_B$

Ejemplos:

-el singlete de espín:

$|\Psi>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1 \downarrow_2>-|\downarrow_1 \uparrow_2>)$

–los 4 estados de Bell o pares EPR:

$| \Psi^{\pm}(A,B)>=\frac{1}{\sqrt{2}}( | 0_A 1_B > \pm | 1_A 0_B > )\ne |\psi(A)> \otimes \; | \psi(B)>$

$| \Phi^{\pm}(A,B)>=\frac{1}{\sqrt{2}}( | 0_A 0_B > \pm | 1_A 1_B > )\ne |\phi(A)> \otimes \; | \phi(B)>$ ,

de los que se dice que poseen un entrelazamiento máximo:

Un estado puro de un sistema bipartito A-B para el que $dim(\mathcal{H}_A)=dim(\mathcal{H}_B) =d < \infty$ está máximamente entrelazado cuando se tiene que los respectivos operadores densidad reducidos tienen las expresiones $\rho_A=\frac{1}{d} \ I_A$ y $\rho_B=\frac{1}{d} \ I_B$ . Es el caso en que las correspondientes matrices densidad reducidas corresponden a una mezcla uniforme de dos estados de la base del espacio bipartito.

-Como ya vimos antes para el estado de Bell $| \Psi^{-}>$ , en estos estados puros entrelazados del sistema de los dos qubits, cada qubit individual se encuentra en un estado mezcla: no se dispone de información maximal sobre él.

-Otra manera de definir el entrelazamiento máximo la va a proporcionar la descomposición de Schmidt , en la que estos cuatro estados alcanzarán un rango de Schmidt máximo, véase apartado siguiente.

La descomposición de Schmidt: un criterio de entrelazamiento

Para los sistemas bipartitos la descomposición de Schmidt proporciona un criterio para determinar si un estado puro del sistema es separable o entrelazado (pero no establece una medida precisa del grado de entrelazamiento).

Teorema de descomposición biortonormal de Schmidt (1907):

Dado un estado puro $|\Psi> \in \mathcal{H}=\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ de un sistema cuántico bipartito A-B, existe al menos un par de sendas bases ortonormales

$\{|a_i>\}_{i=1}^{d_A=dim \mathcal{H}_A} \subset \mathcal{H}_A$

$\{|b_i>\}_{i=1}^{d_B=dim \mathcal{H}_B} \subset \mathcal{H}_B$

dependientes del estado particular $|\Psi>$ y tales que se satisface:

$|\Psi>=\sum_{i=1}^{r}\sqrt{s_i}\ |a_i>\otimes \ |b_i>$

$\doteq \sum_{i=1}^{r}\sqrt{s_i}\ |a_i> |b_i>$ ,

donde $s_i\;,\;i=1,\ldots ,r$ , son números reales positivos, denominados como pesos o coeficientes de Schmidt, que satisfacen la ligadura $\sum_is_i=1$ .

El real positivo $r=Sch \ (|\Psi>)$ que satisface

$r \le d=min(d_A,d_B)$ ,

se denomina número o rango de Schmidt del estado puro $|\Psi>$ ; representa el número de amplitudes no nulas en la correspondiente descomposición de Schmidt.

-Obsérvese que la potencia del teorema es que aparezca en su expresión una sola sumatoria: es trivial que cualquier estado puro del Hilbert admite expresión en sendas bases $\{|\psi_i>\}_{i=1}^{d_A}$ y $\{|\phi_i>\}_{i=1}^{d_B}$ de $\mathcal{H}_A$ y $\mathcal{H}_A$ , de la forma

$|\Psi>=\sum_{i=1}^{d_A}\sum_{j=1}^{d_B}c_id_j|\psi_i> \otimes \ |\phi_j>$

$\doteq \sum_{i=1}^{d_A}\sum_{j=1}^{d_B}C_{ij}|\psi_i>|\phi_j>$ ,

donde los $C_{ij}=c_i \cdot d_j$ representan escalares (complejos).

-La descomposición de Schmidt implica una correlación perfecta entre entre los autovalores $a_i$ y $b_i$ correspondientes a cada pareja de autoestados $|a_i>$ y $|b_i>$ .

-Cuando el rango de Schmidt es máximo, $r=min(dim \mathcal{H}_A,dim\mathcal{H}_B )$ , y los módulos de todos los coeficientes de Schmidt son iguales,

$|s_i|=|s_j| \; \, \forall i,j$ ,

se dice que el estado es máximamente entrelazado (por ejemplo, el singlete de espín y los cuatro estados de Bell lo son).

Propiedades: Para un estado puro de un sistema bipartito:

-La descomposición de Schmidt es única en el sentido de que el rango y, hasta cierto orden, los pesos, son únicos; también, en el de que, dado un coeficiente no degenerado $s_i$ , los estados asociados $|a_i>$ y $|b_i>$ son únicos salvo factores de fase recíprocos. Pero si el espectro de $\rho$ presenta degeneración, las bases de Schmidt no son únicas.

-Las bases $\{|a_i>\}$ y $\{|b_j>\}$ de un par de Schmidt están integradas por autovectores de los operadores densidad reducidos $\rho_A$ y $\rho_B$ ,

$\rho_A=Tr_B|\Psi><\Psi|=\sum_{i=1}^rs_i|a_i><a_i|$

$\rho_B=Tr_A|\Psi><\Psi|=\sum_{i=1}^rs_i|b_i><b_i|$

correspondientes respectivamente a los dos subsistemas que componen el sistema bipartito: son sus bases propias.

-Las matrices densidad reducidas $\rho_A$ y $\rho_B$ son autoadjuntas, positivas y de traza unidad (como corresponde a todo operador densidad).

-Las matrices densidad reducidas son diagonales en una base de Schdmidt, y tienen un número de autovalores positivos igual al rango de Schmidt $r$ , que proporciona entonces su dimensión.

-Los autovalores de las matrices densidad reducidas son precisamente los coeficientes o pesos de Schmidt $s_i$ , de forma que los espectros de los dos operadores densidad reducidos coinciden (salvo a lo sumo en la degeneración del autovalor nulo, en su caso), por lo que poseen los mismos autovalores $s_i$ .

-El número de Schmidt $r$ no cambia si se hacen operaciones unitarias sobre alguno de los subsistemas.

–Un estado puro de un sistema bipartito es separable si y sólo si su número de Schmidt es 1.

–Un estado puro de un sistema bipartito es entrelazado si y sólo si su número de Schmidt es mayor que 1.

-Si el estado puro es entrelazado (numero de Schmidt mayor que 1) y, además, todos los coeficientes son distintos, la descomposición es única.

-Si el estado puro es entrelazado (numero de Schmidt mayor que 1) y, además, al menos dos coeficientes son iguales, existen infinitas descomposiciones de Schmidt distintas, y el estado se denomina «máximamente entrelazado» (cf. G. Alcaine, op. cit., p. 9).

La medida de Schmidt para el entrelazamiento de estados puros se define como:

$Entr(|\Psi>)=log_2 \ Sch(|\Psi>)$

expresándose en la unidad e-bit: los 4 estados de Bell poseen cada uno un e-bit de entrelazamiento.

-Se han introducido muchas definiciones de medidas de entrelazamiento, en términos de los coeficientes de Schmidt; dependiendo de las aplicaciones se usarán unas u otras.

-También se han introducido testigos de entrelazamiento, que son observables que presentan valores esperados distintos para estados separables y entrelazados, y que pueden expresarse en términos de operadores autoadjuntos positivos. Un ejemplo: la magnetización, en ciertos sistemas.

Entrelazamiento en estados de un sistema bipartito

En general, los estados de un sistema bipartito se clasifican en:

1. Estados puros separables, o estados puros producto o no correlacionados: cuando el operador densidad es factorizable según la estructura:

$\rho= \rho_A \otimes \rho_B$

–NO todo estado puro es estado puro producto o separable.

Los estados puros separables de un sistema bipartito satisfacen todas las desigualdades del tipo Bell y admiten una descripción en términos de elementos de realidad EPR locales.

2. Estados puro no separables (puros entrelazados):

$\rho \ne \rho_A \otimes \rho_B$

–Todo estado puro entrelazado de un sistema bipartito viola una desigualdad de Bell.

3. Estado mezcla factorizable o tipo producto: un estado mezcla es estado mezcla producto cuando el operador densidad total admite expresión (no única en general) como

$\rho_{AB}= \rho_A \otimes \rho_B$

-En un estado mezcla factorizable las medidas en A y B no están correlacionadas.

4. Estados mezcla separables: un estado mezcla es estado mezcla separable cuando el operador densidad total admite expresión (no única en general) como una suma lineal convexa con más de un término de operadores densidad factorizados de la forma (Alcaine, op.cit., p. 10):

$\rho= \sum _i p_i \rho_A^i \otimes \rho_B^i$ ,

donde $0\le p_i\le 1$ y $\sum_i p_i=1$ ; la cardinalidad del estado se define como el menor número de sumandos presente en el conjunto de todas las sumas convexas anteriores posibles.

-Un ejemplo de estado mezcla separable (no entrelazado): el estado: $\rho$ :

$\rho=\frac{1}{2}|00> <00| + \frac{1}{2}|11><11|$ ,

cuya matriz densidad es:

$\rho= \left(\begin{matrix} \frac{1}{2} &0&0&0 \\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0& \frac{1}{2} \end{matrix}\right)$

$\rho^2=\rho= \left(\begin{matrix} 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0\\ 0&0&2&0 \\ 0&0&0& \frac{1}{4} \end{matrix}\right)$ ,

con $Tr(\rho^2)=\frac{1}{2}<1$ ,

como corresponde a un estado mezcla.

–Un estado mezcla separable no viola ninguna desigualdad de Bell.

-A estos estados mezcla separables se les denomina a veces por ello como clásicamente correlacionados (cf. R.F. Werner, Physical Review A40 (1989) 4277; cit. en Alcaine, op. cit., p. 10). Representan una mezcla estadística de estados factorizables en las que las correlaciones se basan en probabilidades, no en amplitudes de probabilidad (estas segundas son las que pueden superar los límites clásicos).

5. Estados mezcla entrelazados o no-separables: todo estado mezcla que no es ni tipo producto ni separable.

-También se denominan como estados cuánticamente correlacionados.

Sin embargo, un estado mezcla separable también puede exhibir algún tipo de correlaciones no clásicas, aunque sólo los estados mezcla entrelazados presentan correlaciones similares a las observadas en los estados puros entrelazados. Y es que, para estados no puros, la distinción entre separabilidad, entendida como la característica de un estado que presenta sólo correlaciones clásicas) y entrelazamiento no está bien resuelta (véase G. Alcaine, op. cit., p. 10, donde se pueden encontrar las referencias específicas para las siguientes afirmaciones):

G. García Alcaine, «Enredo cuántico«, p. 10:

Para estados no-puros la distinción entre estados separables (clásicamente correlacionados) y estados no-separables (cuánticamente correlacionados, es decir enredados) no está totalmente resuelta. Se conocen diversas condiciones necesarias para que un estado sea separable, pero sólo para los espacios de dimensión más baja (4 ó 6) se conocen condiciones suficientes. Voy a analizar brevemente alguno de estos criterios de separabilidad.
–Verificación de las desigualdades de Bell: Una condición necesaria para la separabilidad y para la existencia de un modelo de VO Locales es que se satisfagan todas las desigualdades de Bell, y en particular las de CHSH para cualquier conjunto de observables A, A’ , B, B’ . En ciertos casos se conocen condiciones necesarias y suficientes para que dichas desigualdades se verifiquen. La verificación de las desigualdades de CHSH no es suficiente para la separabilidad: existen operadores estado $\rho$ que las cumplen, y sin embargo contienen correlaciones cuánticas, que pueden utilizarse para fenómenos específicamente cuánticos como la teleportación. Estas correlaciones dan lugar a violaciones del realismo local si se consideran secuencias de mediciones.

Una condición necesaria para la separabilidad de un estado mezcla es que se satisfagan todas las desigualdades de Bell, y en particular las de CHSH, para cualquier conjunto de 4 observables A, A’ , B y B’ , pero no es condición suficiente (cf. G. García Alcaine, Enredo cuántico, p. 22, cita previa).

Para la medida de entrelazamiento de los estados mezcla se han desarrollado numerosos métodos, entre ellos: las entropías de von Neumann (1927), de Renyi, de Tsallis…

G. Vidal and R. F. Werner, «Computable measure of entanglement», Phys. Rev. A 65 (2002) 032314; DOI=10.1103/PhysRevA.65.032314.

Véase: G. García Alcaine, Enredo cuántico, pp. 22ss.

La mezcla de estados separables da como resultado siempre un estado separable, pero la mezcla de estados entrelazados puede dar como resultado un estado separable.

Sistemas tripartitos y estados de la clase GHZ

En general, se denomina como estado GHZ (Greenberger-Horne-Zeilinger) a un estado mecano-cuántico entrelazado para más de dos subsistemas.

-En el caso de tres partículas, son posibles 8 estados GHZ (Greenberger-Horne-Zeilinger), estados ortonormalizados integrantes de una base en el correspondiente Hilbert del espacio de 3 qubits, dimensión 8:

$|\Psi_{1\pm}> \ =\frac{1}{\sqrt{2}}(|+_1 +_2 +_3> \pm \ |-_1 -_2 -_3>)$

$|\Psi_{2\pm}> \ =\frac{1}{\sqrt{2}}(|+_1 +_2 -_3> \pm \ |-_1 -_2 +_3>)$

$|\Psi_{3\pm}> \ =\frac{1}{\sqrt{2}}(|+_1 -_2 +_3> \pm \ |-_1 +_2 -_3>)$

$|\Psi_{4\pm}> \ =\frac{1}{\sqrt{2}}(|-_1 +_2 +_3> \pm \ |+_1 -_2 -_3>)$

-Considerado el siguiente conjunto de observables compatibles dos a dos:

$A=\sigma_{y1} \sigma_{y2} \sigma_{x3}$

$B=\sigma_{x1} \sigma_{y2} \sigma_{y3}$

$C=\sigma_{y1} \sigma_{x2} \sigma_{y3}$

$D=\sigma_{x1} \sigma_{x2} \sigma_{x3}$

(que es redundante, ya que $D=-ABC$ ) , todos sus integrantes son diagonalizados por los 8 estados GHZ.

A veces, se denominan estados GHZ (Greenberger-Horne-Zeilinger) tan sólo a los dos estados mecano-cuántico de máximo entrelazamiento de entre los 8 anteriores, los únicos dos de la base de 8 que presentan máximo entrelazamiento no trivial, en el sentido de que, para muchas formas introducidas de cuantificación del entrelazamiento, resulta con un valor máximo. Su expresión es:

$|\Phi^{\pm}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+_1 +_2 +_3> \pm |-_1 -_2 -_3>)$

$\doteq \frac{1}{\sqrt{2}}(|000> \ \pm \ |111> )$

-La correspondiente expresión general para $n$ subsistemas de dos dimensiones (qubits) adopta la forma:

$|GHZ>=\frac{|0>^{\otimes n}+|1>^{\otimes n}}{\sqrt{2}}$

Estados GHZ (imagen de la web: https://techcommunity.microsoft.com/t5/educator-developer-blog/quantum-computing-quick-reference-guide/ba-p/380659).

Estos estados GHZ, de expresión general

$|\Phi^{\pm}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+_1 +_2 +_3> \pm |-_1 -_2 -_3>)$ ,

presentan diversas propiedades como, por ejemplo:

1. Sus respectivas matrices densidad son:
$\rho_{\Phi^{\pm}} \, = \, \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \pm 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \pm 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ,
para las que se cumple la igualdad
$\rho^2_{\Phi^{\pm}}= \rho_{\Phi^{\pm}}$ ,

ya que se trata de dos estado puros, $Tr \rho^2_{\Phi^{\pm}} \, = \,Tr (\rho_{\Phi^{\pm}})^2 \, = \, 1$ .

2. Ambos son máximamente entrelazados, como puede comprobarse calculando las tres matrices densidad reducidas, eliminando así la información de dos de los tres qubits, mediante las trazas parciales, operación que lleva a obtener en los tres casos un estado en dimensión $d=2$ con mezcla máxima:

$\rho_{ij}^{red} = \frac{1}{2} \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \ = \ \frac{1}{2} \ I_{d=2}$ ,

$(\rho_{ij}^{red})^2 =\left(\begin{matrix} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right) \quad \Rightarrow Tr \rho^2 \ = \ \frac{1}{2} \ = \ 0.5 =1/d$

3. Producen un estado mezcla separable cuando se toma la traza de uno de los subsistemas, eliminando la información de uno de los tres qubits:

$Tr_3((|000>+ \ |111>)(<000| \ +<111|))$

$=\frac{1}{2}(|00><00|+|11><11|)$

$\rho_{12}= Tr_3 \rho = \frac{1}{2} \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$ ,

una mezcla estadística de los estados $|00>$ y $|11>$ , no entrelazado (y análogo para $Tr_1$ y $Tr_2$ ).

-Nota: el que estos dos estados GHZ produzcan las mismas matrices reducidas se debe a que, al calcular la traza parcial, los términos «cruzados» (las coherencias) que contienen la información de la fase desaparecen, ya que los estados del qubit que se «borran» son ortogonales. Una consecuencia es que, localmente, no se puede distinguir entre estos dos respectivos estado GHZ, con signo + o – en la combinación, simplemente midiendo uno o dos qubits; se necesita una medición global, que involucre a los tres, para detectar esa fase.

Los estados entrelazados de tres qubits, como los estados GHZ, ya han sido ya creados en el laboratorio, por ejemplo a partir de fotones (las componentes de espín $\pm \frac{\hbar}{2}$ se sustituyen por polarizaciones: H/V si se elige la base Horizontal / Vertical, o + / – para polarización dextrógira / levógira).

Existe otra clase de estados entrelazados de tres qubits, los denominados estados de la clase W, denominados también como de entrelazamiento robusto , porque poseen un entrelazamiento muy resistente, en el sentido de que, si se pierde un qubit, los otros dos siguen entrelazados, conservan un estado tipo Bell, a diferencia de lo que ocurre con los estados GHZ, que aunque presentan entrelazamiento global o máximo, son extremadamente frágiles: si se mide o pierde un solo qubit, los otros dos quedan en un estado puramente clásico, perdiendose todo el entrelazamiento.

-Un ejemplo de estado de la clase W es el siguiente estado:

$|\Psi> \ = \ \frac{1}{\sqrt{3}}(|000> \ + \ |111> \ + \ |000>)$ ,

que proporciona las siguientes matrices reducidas:

$\rho_1= Tr_{23} ( |W> <W| ) = \frac{2}{3}|00> <00| + \frac{1}{3}|11><11|$

$\rho_1= \left(\begin{matrix} \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{matrix}\right)$

$\rho_{12}= Tr_3 \rho = \frac{1}{2} \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$

Entrelazamiento GHZ a tres en el laboratorio

En el año 2000, se publicó la primera realización experimental del entrelazamiento a tres, un experimento realizado en Innsbruck , que se considera el primer test del realismo local sobre un estado entrelazado de tres partículas sin involucrar desigualdades:

J.-W. Pan, D. Bouwmeester, M. Daniell, H. Weinfurter & A. Zeilinger, Experimental test of quantum nonlocality in three -photon Greenberger±Horne±Zeilinger entanglement , Nature, 403 (2000) 515-519.

Abstract: Bell’s theorem states that certain statistical correlations predicted by quantum physics for measurements on two-particle systems cannot be understood within a realistic picture based on local properties of each individual particle -even if the two particles are separated by large distances. Einstein, Podolsky and Rosen first recognized the fundamental significance of these quantum correlations (termed ‘entanglement’ by Schrödinger) and the two-particle quantum predictions have found ever-increasing experimental support. A more striking conflict between quantum mechanical and local realistic predictions (for perfect correlations) has been discovered; but experimental verification has been difficult, as it requires entanglement between at least three particles. Here we report experimental confirmation of this conflict, using our recently developed method to observe three-photon entanglement, or ‘Greenberger±Horne±Zeilinger’ (GHZ) states. The results of three specific experiments, involving measurements of polarization correlations between three photons, lead to predictions for a fourth experiment; quantum physical predictions are mutually contradictory with expectations based on local realism. We find the results of the fourth experiment to be in agreement with the quantum prediction and in striking conflict with local realism.

Otras realizaciones experimentales relacionadas con estados GHZ:

A. Cabello, Stronger Two-Observer All-Versus-Nothing Violation of Local Realism, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 210401.

http://www.nature.com/srep/2012/121210/srep00942/full/srep00942.html

Experimental three-photon quantum nonlocality under strict locality conditions

Experimental realization of a concatenated Greenberger-Horne-Zeilinger state for macroscopic quantum superpositions

Una noticia más reciente (Universidad de Waterloo, Canadá, 2014): producción de un estado entrelazado de tres fotones con la misma polarización, y aplicación en otro test del realismo local con separaciones de más de medio kilómetro:

Realización experimental del entrelazamiento de tres fotones: Three’s a Charm: NIST Detectors Reveal Entangled Photon Triplets

Direct generation of three-photon polarization entanglement

Entangled photons triplet

Espectacular entrelazamiento a tres

Cuando lo cuántico supera a la razón

Estados GHZ y tres jugadores contra un Casino: «Greenberger-Horne-Zeilinger-like proof of Bell’s theorem involving observers who do not share a reference frame«, A. Cabello, Physical Review A68 (2003) 042104.

Sobre el entrelazamiento en sistemas tripartitos, pueden consultarse también los siguientes trabajos de investigación:

Entrelazamiento cuántico en sistemas de muchos cuerpos (tesis doctoral de J.M. Matera, Univ. de La Plata).

A quantitative witness for Greenberger-Horne-Zeilinger entanglement

Desarrollos recientes

2012: Entanglement Between Photons that have Never Coexisted ; The first quantum entanglement of photons through space and time ; la noticia en Science.

2013: nuevo test para determinar entrelazamiento en sistemas cuánticos

2016: entrelazamiento de hasta 5 fotones: I. Schwartz, D. Cogan, E. R. Schmidgall, Y. Don, L. Gantz, O. Kenneth, N. H. Lindner and D. Gershoni, «Deterministic generation of a cluster state of entangled photons», Science 354, 6311 (2016) 434-437; DOI: 10.1126/science.aah4758.

2018: Entrelazamiento energía-tiempo entre dos fotones: https://physicsworld.com/a/energy-time-entanglement-detected-in-photons/

2019: Entrelazamiento posición-momento (radiales) entre dos fotones: Physicsworld.com

2022: Entrelazamiento en la estación espacial internacional: «NASA is launching a new quantum entanglement experiment in space», «The Space Entanglement and Annealing QUantum Experiment (or SEAQUE)», artículo por C. Hu en Popular Science.

2023: Entrelazamiento entre dos partículas distinguibles: «Physicists just discovered a new type of quantum entanglement», in ZME-Science; in Brookhaven National Laboratory; Sciences Advances 9-1 (2023); DOI: 10.1126/sciadv.abq39.

Entrelazamiento entre iones atrapados

Entrelazamiento entre objetos «macroscópicos», también expuesto en AAPC.

Entrelazamiento entre iones separados 200 metros

Entrelazamiento entre nubes atómicas

Entrelazamiento entre moléculas

Avances recientes en entrelazamiento

Ejercicio final

El teorema EPR, revisitado a la luz del formalismo del operador densidad y los estados entrelazados:

Density-Matrix Description of the EPR Paradox

Bibliografía