El experimento de Stern-Gerlach y el espín

*Imagen de los resultados obtenidos por W. Gerlach en 1922.*

El experimento de Stern-Gerlach

El experimento de Stern-Gerlach fue realizado en 1922 por O. Stern y W. Gerlach; su explicación satisfactoria no se alcanzaría hasta más tarde, con la introducción del espín electrónico, postulado en 1925 por S. Goudmit y G.E. Uhlenbeck, para explicar el efecto Zeeman anómalo (aunque la primicia de la concepción, por meses, se deba a R. Kronig, quien sin embargo desistiría de su idea por la desfavorable opinión inicial hacia el concepto expresada por Pauli).
Un haz de átomos de Plata atraviesa un campo magnético exterior inhomogéneo o no uniforme, según se ilustra en la figura adjunta; elegimos el eje vertical $OZ$ según la dirección espacial entre los dos polos del imán y el haz se dirige según el eje $OY$ o dirección de propagación (por tratarse de átomos neutros, un campo magnético homogéneo no produciría desviaciones).
Según la teoría electromagnética, cada partícula cargada posee una propiedad vectorial denominada momento magnético (dipolar), $\vec{\mu}$ , que clásicamente es proporcional a su momento angular, $\vec{\mu}= -\frac{|e|}{2m}\vec{L}=-\mu_B \frac{\vec{L}}{\hbar}$ , donde $\mu_B=\frac{|e|\hbar}{2m_e}=9,27408 \times10^{-24}\,JT^{-1}$ es una constante, denominada «el magnetón de Bohr» (unidades Julio/Tesla). El momento angular (orbital) atómico $\vec{L}$ depende en general de los electrones de valencia o electrones en la capa más externa de un átomo; por ejemplo, en el átomo de Plata las capas electrónicas internas están todas llenas, al máximo de su capacidad, de modo que la suma vectorial de todos los momentos conduce a que es el solo electrón de valencia el responsable de ese momento. En los modelos pre-cuánticos de la época del experimento, ese solitario electrón era supuesto en órbita en torno al núcleo del átomo y el conjunto de capas electrónicas internas llenas, siendo él solo el responsable del momento magnético, al aportar los restantes electrones una contribución neta nula al momento angular.
Así pues, si consideramos el electrón más externo girando en una órbita circular de radio $r$ , el momento magnético dipolar es normal al plano de la corriente así constituida, de intensidad $I=\frac{|e|v}{2\pi r}$ , de forma que $\vec{\mu}=Id\vec{S}$ , donde $S=\pi r^2$ y $\mu=-\frac{|e|v\pi r^2}{2\pi r}=-\frac{|e|m_evr}{2m_e}=-\frac{|e|}{2m_e}L$ , según se representa en la siguiente figura:
Obsérvese que el momento magnético dipolar tiene igual dirección que el momento angular orbital, y sentido opuesto.
En el seno del campo magnético inhomogéneo, la energía de interacción entre el momento magnético y el campo viene dada por $V=-\vec{\mu} \cdot \vec{B}$ ; la desviación que experimentará cada átomo dependerá de la orientación relativa entre su momento magnético y la dirección del campo inhomogéneo entre los bornes del imán.
Así pues, el efecto del campo magnético sobre cada átomo es desviarlo de su trayectoria rectilínea inicial, y la desviación o deflexión depende de la orientación específica del vector momento magnético. Al entrar cada átomo de Plata en la zona del campo magnético no homogéneo $\vec{B}$ , su momento magnético $\vec{\mu}$ estará orientado al azar, siendo todas las orientaciones posibles según la teoría clásica. El campo magnético provocaría entonces que los átomos fueran desviados de un modo aleatorio, dependiendo el grado de deflexión de cada átomo particular del ángulo inicial entre su correspondiente vector (orientación aleatoria) y el campo magnético (líneas del campo dirigidas desde el polo norte hacia el sur y no paralelas, véase la figura). Por lo tanto, algunas partículas serían desviadas fuertemente, otras de manera más débil, etc., debiendo observarse sobre la pantalla situada a la salida, según una teoría estrictamente clásica, una zona continua cubierta de impactos.
Pero lo que encontraron Stern y Gerlach es lo que se indica en las siguientes figuras:
Resultados del experimento de Stern-Gerlach.
Es decir, el resultado del experimento que encontraron Stern y Gerlach indicaba que sólo había dos ángulos de deflexión,
W. Gerlach, O. Stern, «Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld»; Zeitschrift für Physik A, Hadrons and Nuclei, Vol. 9, No. 1, (1922) 349-352.

o sea, que todas las partículas fueron desviadas o bien hacia arriba o bien hacia abajo, pero ambos grupos con la misma intensidad, dibujando por la simetría del problema una figura en forma de labios, sin que ningún átomo impactara en la zona central. El experimento sugería que los átomos de Plata sólo poseían dos orientaciones particulares de su momento magnético y, por tanto, de su momento angular, un resultado inexplicable no sólo para la física clásica (que predecía una sola y amplia mancha continua), sino también para los modelos de cuantización primitivos, como el que había introducido Sommerfeld en 1916 generalizando el de Bohr. Estos modelos más refinados conducían a una predicción de resultados distinta a la clásica, pero también sin acertar con lo observado. En efecto: se introducían unas cuantizaciones para el momento angular orbital y su tercera componente según $L = n_{\psi} \hbar$ y $L_z = m \hbar$ ; el número cuántico $n_{\psi}$ tomaba valores enteros y, para cada valor suyo, el número cuántico $m$ podía tomar los valores $m=-n_{\psi},-n_{\psi}+1,-n_{\psi}+2, \cdots ,-1,0,+1,+2,\cdots ,n_{\psi}-2,n_{\psi}-1,n_{\psi}$ . Conforme con estos modelos, debería observarse sobre la pantalla un número de manchas o zonas de localización de impactos compatible con un número impar $2 n_{\psi}+ 1$ de posibilidades para las desviaciones de los átomos, siendo incomprensible el porqué de esas dos únicas manchas en el experimento realizado.
Sobre la realización experimental (texto del blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es): «En la forma final del experimento un haz de átomos de plata (producidos por efusión del vapor metálico producido en un horno calentado a 1000 °C) era colimado por dos rendijas estrechas de unos 0.03 mm y atravesaban una bobina magnética de 3.5 cm de longitud con un campo magnético de una intensidad máxima de 0.1 tesla y un gradiente máximo de unos 10 teslas/centímetro (el gradiente en un campo magnético homogéneo es igual a cero). La desviación de los haces atómicos conseguida era tan sólo de 0.01 mm. El instrumento original solía estropearse unas pocas horas después de iniciarse el experimento por lo que tan sólo una fina capa de átomos de plata eran depositados en el receptor final. Cuando Stern y Gerlach observaron el receptor no se veían trazas de la plata depositada pero a medida que exploraban la placa receptora esta empezó a cubrirse de un material que mostraba el paso del haz. Tal y como cuenta Gerlach en sus memorias la plata estaba reaccionando con los vapores de mercurio que provenían de su respiración y de los cigarrillos que fumaba habitualmente». Para una exposición a fondo de la Historia del experimento, merece la pena leer el artículo How a bad cigar helped.
El resultado experimental observado carecería de interpretación hasta 1925, cuando la introducción del espín, un momento angular intrínseco sin análogo clásico, permitiría explicarlo. Tras su postulación, la nueva variable cuántica del espín, sin análogo clásico, fue desarrollada y dotada de rigor matemático por Pauli en 1927, siendo incorporada por Dirac en 1928 a su ecuación mecánico-cuántica relativista para el electrón.

Cuantización espacial

El fenómeno de la cuantización espacial, que ya vimos como aparecía en el modelo atómico de Sommerfeld de 1916, se interpretó estableciendo que la orientación del plano de las órbitas permitidas (un concepto precuántico) respecto a una dirección dada no puede ser arbitrario, sino que su normal (esto es, la dirección de $\vec{L}$ ) debe formar con el eje $OZ$ (en general, con cualquier dirección prefijada) un ángulo $\phi$ dado por $cos\phi=\frac{L_z}{L}=\frac{m}{n_\psi}$ . Puesto que el espacio es isótropo, esta cuantización que surge en el modelo carece de sentido físico hasta que no se marque experimentalmente una dirección en el espacio, por ejemplo aplicando un campo magnético.
La cuantización espacial (ya discutida en el apartado modelos atómicos primitivos y con la que se logró explicar el efecto Zeeman «normal» o clásico: los tripletes de Lorentz); imagen por Angélica Oquendo en SlidePlayer; H representa el campo magnético exterior.
La predicción del fenómeno de la cuantización espacial, por tanto, habría quedado confirmada experimentalmente en 1922 por O. Stern y W. Gerlach en el experimento antes descrito, vía la medida de momentos magnéticos atómicos, aunque sólo sería justificada teóricamente por completo con la aplicación del concepto de espín, un momento angular intrínseco sin análogo clásico postulado en 1925 por S. Goudmit y G.E. Uhlenbeck para explicar el efecto Zeeman anómalo.
En efecto: el resultado del experimento de Stern y Gerlach indicaba la presencia de sólo algunos ángulos de deflexión, en conformidad con la predicción teórica de un fenómeno de cuantización espacial. Pero el que sólo aparecieran dos valores de deflexión no se casaba con la predicción de los modelos de cuantización primitivo: el experimento sugería que los átomos de Plata sólo poseían dos orientaciones particulares de su momento magnético y, por tanto, de su momento angular, un resultado inexplicable no sólo para la Física Clásica (predicción de mancha continua), sino también para los modelos de cuantización primitivos, como el que había introducido Sommerfeld en 1916, que sólo consideraban momentos angulares orbitales (predicción distinta a la clásica pero sin acertar con lo observado).
Explicación: el espín electrónico está cuantizado, pudiendo tomar su componente según cualquier dirección sólo los dos valores $\pm \frac{\hbar}{2}$ , lo que provoca en consecuencia dos únicas sendas deflexiones: las partículas con componente de espín según esa dirección, con valor $+\frac{\hbar}{2}$ , son desviadas hacia arriba, y las partículas con componente opuesta, valor $-\frac{\hbar}{2}$ , son desviadas en el sentido contrario. Es decir, el momento magnético de los diferentes átomos sólo podía tomar, en las condiciones del experimento, dos valores, ya que, en términos del espín $\vec{S}$ , el momento magnético tenía el valor $\vec{\mu}=-\mu_B g_s \frac{\vec{S}}{\hbar}$ , donde $\mu_B$ es el magnetón de Bohr, $g_s$ es el «factor «g» de espín del electrón, una constante de valor $g_s=2,002319$ , y $\vec{S}$ es el espín o momento angular intrínseco (el correspondiente hamiltoniano de interacción tiene la expresión $H_B=-\vec{\mu}\cdot \vec{B}$ ). Repárese en que se trata del caso en que $\vec{L}=0$ ; se aplica la cuantización $L=\hbar \sqrt{l(l+1)}$ , $l=0, \pm 1, \pm 2, \cdots , \pm l$ , y en este caso de momento angular orbital nulo, sólo se tiene $l=0$ . Luego todo el momento magnético dipolar procede del espín electrónico, teniéndose: $S=\hbar \sqrt{s(s+1)}$ ; $s=\frac{1}{2}$ ; $m_s= +\frac{1}{2}\, ,-\frac{1}{2}$ ( $m_s$ es el número cuántico de tercera componente de espín).

El espín electrónico

Como se comentó anteriormente, el concepto de espín electrónico surgió en el contexto experimental del denominado efecto Zeeman «anómalo», o desdoblamientos de las líneas espectrales observados al situar los átomos en el seno de campos magnéticos de intensidades débiles. En este caso, se producen desdoblamientos de naturaleza diferente (efecto Paschen-Back para campos medios y Zeeman anómalo para campos débiles, éste descubierto por T. Preston) a los correspondientes a campos intensos, o efecto Zeeman normal, el único que logró ser explicado por la teoría clásica y los modelos pre-cuánticos como el de Sommerfeld.
En el efecto Zeeman anómalo, cada línea espectral se desdobla de una manera que sólo encontrarían justificación en la teoría plenamente cuántica moderna, en que se incorpora el espín electrónico, nueva magnitud cuántica sin análogo clásico y para cuyo descubrimiento la experimentación relacionada con los distintos efectos Zeeman fue decisiva. En 1925, Uhlenbeck y Goudmit postularían el espín o momento angular intrínseco, cuya incorporación al Hamiltoniano de interacción del momento magnético atómico con el campo magnético permitió por fin explicar teóricamente las correspondientes observaciones experimentales.
El espín de un electrón es una magnitud vectorial $\vec{S}$ , cuyo módulo vale $\hbar\sqrt{s(s+1)}=\hbar \frac{\sqrt{3}}{2}$ , ya que el número cuántico de espín $s$ tiene el valor $s=\frac{1}{2}$ para el electrón; sus dimensiones son las de un momento angular (es decir, momento lineal por distancia); es usual medirlo en unidades de la constante de Dirac o $h$ barrada, $\hbar=\frac{h}{2\pi}$ . Presenta un fenómeno de cuantización espacial, consistente en que, fijada una dirección arbitraria $\vec{d}$ en el espacio, que suele tomarse como eje $OZ$ , la medida de su proyección sobre esa dirección, o componente $S_z$ , sólo produce dos resultados:

Magnitud $+\frac{\hbar}{2}$ , apuntando en el sentido creciente del eje $OZ$ ; este resultado por convención se refiere como «hacia arriba» y se nota como $\uparrow$ . Se corresponde con las orientaciones del vector $\vec{S}$ con origen en $O$ y situadas sobre la superficie de un cono con vértice también en $O$ y eje a lo largo de la dirección positiva $OZ$ (según dirección $\vec{d}$ ). Algunas de estas posibles orientaciones se muestran dibujadas en la figura adjunta, cono superior.
Resultado análogo, de igual magnitud, pero correspondiente a la proyección apuntando en el sentido decreciente, $-\frac{\hbar}{2}$ , «hacia abajo», $\downarrow$ . En este caso, se corresponde con las orientaciones de $\vec{S}$ con origen en $O$ y sobre la superficie de otro cono similar al anterior, también con vértice $O$ y eje a lo largo de $OZ$ , pero ahora en sentido decreciente: enfrentado al anterior. Corresponde al cono inferior en la figura siguiente:

Únicas posibles orientaciones para el espín electrónico respecto a una dirección arbitraria d, marcada como eje OZ; se corresponden con las direcciones con origen en O y sobre la superficie de dos conos enfrentados por su vértice común en O. Todas proporcionan en su proyección sobre un eje OZ una longitud de magnitud $\hbar /2$ , pero una mitad con signo positivo (sentido creciente del eje) y la otra negativo (sentido decreciente); $\hbar$ representa la constante de Planck reducida o constante de Dirac, $\hbar=h/(2\pi)$ (imagen del libro «La realidad cuántica», de RBA ediciones, colección «Un paseo por el cosmos», núm. 32).

Únicas posibles orientaciones para el espín electrónico respecto a una dirección arbitraria d, marcada como eje OZ; se corresponden con las direcciones con origen en O y sobre la superficie de dos conos enfrentados por su vértice común en O. Todas proporcionan en su proyección sobre un eje OZ una longitud de magnitud $\hbar /2$ , pero una mitad con signo positivo (sentido creciente del eje) y la otra negativo (sentido decreciente); $\hbar$ representa la constante de Planck reducida o constante de Dirac, $\hbar=h/(2\pi)$ (imagen del libro «La realidad cuántica», de RBA ediciones, colección «Un paseo por el cosmos», núm. 32).

En el formalismo cuántico, el electrón se describe como un «fermión», o partícula con un número cuántico de espín $s$ semi-impar (1/2, 3/2, etc.); en particular, al electrón le corresponde el valor $s=\frac{1}{2}$ .
El postulado del espín electrónico cuantizado permitió explicar ciertos desdoblamientos adicionales observados en algunas líneas espectrales, como los que constituyen el efecto Zeeman anómalo, que se produce al situar átomos en campos magnéticos débiles; también la estructura fina de las líneas espectrales, por la que algunas de ellas, miradas con mayor precisión, resultan estar compuesta por varias líneas muy juntas (un fenómeno cuya comprensión completa requiere espín y teoría relativista).
Además, el espín electrónico resultaría ser la pieza ausente con la que se lograría entender por fin el resultado observado en el experimento Stern-Gerlach: al incorporar el cálculo del momento angular total los espines de todos los electrones del átomo de Plata, añadiéndolos a los momentos angulares orbitales, resultaba que el momento angular total dependía sólo del espín del electrón de valencia. Introducida su adecuada cuantización, se justificó el resultado experimental observado.
El espín es una propiedad sin análogo clásico, es decir, no hay correlato en Física Clásica; para ella, simplemente, no existe. Así que, si lo ha leído alguna vez, olvídelo: el espín no tiene nada que ver con un momento angular de rotación de una partícula, aparte de compartir unidades.
La siguiente figura nos indica lo que sucede experimentalmente si hacemos pasar electrones por varios artilugios de tipo Stern-Gerlach de forma sucesiva:
Medidas Stern-Gerlach sucesivas sobre electrones (imagen del libro «La realidad cuántica», de RBA ediciones, colección «Un paseo por el cosmos», número 32).
Representación «figurativa» del espín electrónico, expresado en la base común de los operadores $\vec{S}^2, S_z$ : la función de onda, parte de espín, va a tener la expresión $\Psi_S(\uparrow \downarrow)=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{smallmatrix}\psi_z(\uparrow) \\ \psi_z(\downarrow) \end{smallmatrix}\right)$ ; se satisfarán las ecuaciones de autovalores $\vec{S}^2\psi_z(\uparrow)=\hbar^2 S(S+1)\psi_z(\uparrow)$ ; $\vec{S}^2\psi_z(\downarrow)=\hbar^2 S(S+1)\psi_z(\downarrow)$ ; $S_z \psi_z(\uparrow)=+\frac{\hbar}{2} \psi_z(\uparrow)$ y $S_z \psi_z(\downarrow)=-\frac{\hbar}{2} \psi_z(\downarrow)$ . El operador tercera componente de espín, $S_z$ , tendrá la expresión:
$S_z= \frac{\hbar}{2} \left(\begin{smallmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)$ . Según el Principio de superposición, aplicado al espín de un electrón, en ausencia de determinación de su proyección sobre una dirección cualquiera, marcada como OZ, en la correspondiente función de onda se superponen todas las orientaciones con origen en O y sobre la superficie de dos conos enfrentados por su vértice común en O (únicas compatibles con el hecho de que, bajo medida de la componente $S_z$ , el resultado sea bien $+\frac{\hbar}{2}$ ( $\uparrow$ ,»hacia arriba»), bien $-\frac{\hbar}{2}$ ( $\downarrow$ ,»hacia abajo»).
Tarea formal: representar en el formalismo matemático las componentes del espín según los tres ejes coordenados ( $\vec{S}=\frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}$ , donde $\vec{\sigma}$ representa las matrices de Pauli), y sumar vectorialmente los momentos angulares cuantizados (coeficientes de Clebsch-Gordan para el cambio entre vectores de las correspondientes bases).
Imagen de la Wikipedia.