Suma de momentos angulares

Suma de operadores de momento angular: coeficientes de Clebsch-Gordan

  • Sean \vec{J}_1 y \vec{J}_2 sendos operadores de momento angular en dos subsistemas cinemáticamente independientes, [\vec{J}_1, \vec{J}_2]=0 , de un sistema físico cuyo Hilbert asociado en el formalismo es \mathcal{H}^{(J_1,\alpha_1;J_2,\alpha_2)}=\mathcal{H}^{(J_1,\alpha_1)} \otimes \mathcal{H}^{(J_2,\alpha_2)} , de dimensión mayor o igual que (2J_1+1)(2J_2+1) y donde cada operador \vec{J_i} actúa en el correspondiente espacio \mathcal{H}^{(J_i,\alpha_i)}.
    -Puede comprobarse que el operador suma de los dos dados,
    \vec{J}= \vec{J_1} \otimes I^{(2)} \, + \, I^{(1)} \otimes \vec{J_2} \equiv \vec{J_1} \, + \, \vec{J_2} ,
    que actúa en el espacio \mathcal{H}^{(J_1,\alpha_1;J_2,\alpha_2)} , es también un operador de momento angular, esto es, satisface las reglas de conmutación definitorias.
    -en espacios bipartitos, el operador \vec{J} se suele denominar operador de momento angular total.
  • Una forma posible de expresar los estados y valores propios del operador momento angular total es a través de los coeficientes de Clebsh-Gordan. Para obtenerlos, partimos del hecho de que los cuatro operadores \vec{J}_1^2, \vec{J}_{z1} , \vec{J}_2^2, \vec{J}_{z2} conmutan entre sí, por lo que pueden formar parte conjunta de un C.C.O.C., en unión con los, en su caso, observables que se requieran (simbolizados por las variables \alpha_i anteriormente).
    -Sea
    |J_1\, M_1\,J_2\, M_2\,\alpha > \, \equiv \, |J_1\, M_1 \, \alpha_1>\, \otimes \, |J_2\, M_2\,\alpha_2 >
    un vector de la base ortonormal asociada al C.C.O.C. elegido, el cual satisfará el conjunto de ecuaciones:
    \left. \begin{array}{l} \vec{J_i}^2 \,|J_1\, M_1\,J_2\, M_2\,\alpha > \, \,=\,\hbar^2J_i(J_i+1) \,|J_1\, M_1\,J_2\, M_2\,\alpha > \\  J_{zi} \, | J_1\, M_1\,J_2\, M_2 \, \alpha > \, = \, \hbar M_i \,|J_1\, M_1\,J_2\, M_2\,\alpha > \end{array} \right\}  \,, \, i=1,2 .
  • Puesto que los observables adicionales, asociados con los números cuánticos  \alpha presentes en el estado cuántico, no van a jugar ningún papel en el siguiente desarrollo, los suprimiremos a partir de aquí en la notación, es decir, trabajaremos en el Hilbert \mathcal{H}^{(J_1,J_2)}=\mathcal{H}^{(J_1)} \otimes \mathcal{H}^{(J_2)} , de dimensión igual a (2J_1+1)(2J_2+1) : el que uno, o los dos, subespacios \mathcal{H}^{(J_i)} fueran impropios, no alteraría los resultados.
  • Así pues, para unos valores dados de los números cuánticos J_1 y J_2 , el conjunto de vectores
    \{| J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > \equiv | J_1\, M_1 > \otimes | J_2\, M_2 >\}_{M_i=-J_i,-J_i+1,\ldots,J_i} , i=1,2 ,
    autovectores simultáneos de los cuatro operadores \vec{J_i}^2 y J_{zi} , i=1,2 , generan un subespacio de Hilbert \mathcal{H}^{(J_1,J_2)} , de dimensión (2J_1+1)(2J_2+1) .
  • Dado que tanto \vec{J}=\vec{J_1} + \vec{J_2} como J_z=J_{z1} + J_{z2} conmutan con \vec{J_i}^2, i=1,2 , es posible localizar un conjunto de vectores normalizados | J_1\, J_2 \, J\, M > que satisfacen el conjunto de ecuaciones:
    \left. \begin{array}{l} \vec{J_i}^2 \,|J_1\, J_2\,J\, M > \,=\,\hbar^2J_i(J_i+1) \,|J_1\, J_2\,J\, M > \,, i=1,2\\  \vec{J}^2 \,|J_1\, J_2\,J\, M > \, = \,\hbar^2J(J+1) \,|J_1\, J_2\,J\, M > \\  J_{z} \, | J_1\, J_2\,J\, M > \, = \, \hbar M \,|J_1\, J_2\,J\, M > \end{array} \right\} .
  • Es decir, un conjunto C.C.O.C. alternativo es uno que integre los operadores \{ \vec{J_1}^2 , \vec{J_2}^2,\vec{J}^2,J_z \} , junto con, en su caso, otros observables que conmuten entre sí y con todos ellos (los que antes indicábamos con los parámetros \alpha), cuyos autovectores simultáneos, integrantes de una base ortonormal del Hilbert \mathcal{H}^{(J_1,J_2)} , son los estados | J_1\, J_2 \, J\, M \, (\alpha)> antes indicados.
  • El problema que se plantea, la suma de momentos angulares, consiste en determinar, dados unos operadores de momento angular \vec{J}_1 y \vec{J}_2 :
    1. Los valores posibles de los números cuánticos de momento angular total, J , y de tercera componente de momento angular total M , así como la posible degeneración involucrada.
    2. Las relaciones entre los vectores que especifican cada representación, esto es, la expresión de los estados | J_1\, J_2 \, J\, M > en términos de los |J_1\, M_1\,J_2\, M_2 > , y viceversa.
    En definitiva, se trata de especificar la correspondiente transformación unitaria que proporciona la rotación de ejes deseada en el espacio \mathcal{H}^{(J_1,J_2)} .
  • En el formalismo clásico, la solución al problema es que el momento angular total clásico toma cualquier valor entre |J_1\,-\,J_2| y (J_1 \,+\, J_2) , mientras que el valor de la tercera componente M llena el intervalo continuo [-J\,,\,J] . En el formalismo cuántico, las reglas de conmutación [J_n\,,\,J_m]\,=\,i \hbar \,\epsilon_{nml} \ J_l características (definitorias) de todo operador de momento angular conllevan la discretización de los valores permitidos.

Coeficientes de Clebsch-Gordan

  • Sean las dos bases ortonormales en el subespacio de Hilbert \mathcal{H}^{(J_1,J_2)} , para valores de J_1 y J_2 fijos:
    \{| J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > \equiv | J_1\, M_1 > \otimes | J_2\, M_2 >\}_{M_i=-J_i,-J_i+1,\ldots,J_i} , i=1,2
    y
    \{| J_1\, J_2 \, J\, M >_{J \,;\,M=-J,-J+1,\ldots,J} , para todos los J posibles.
  • Todo vector del subespacio admite expresión en términos de las dos bases, es decir,
    \forall |\psi> \in \mathcal{H}^{(J_1,J_2)} se tiene que:
    \begin{array}{c}|\psi> \,=\, \sum_{M_1,M_2}\, C^{(a)}(J_1\,M_1\,,\,J_2\,M_2)\, | J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > \\  =\, \sum_{J,M}\, C^{(b)}(J_1\,J_2\,,\,J\,M)\, | J_1\, J_2 \, J\, M > \end{array} .
    -En particular:
    | J_1\, J_2 \, J\, M >\,=\, \sum_{M_1,M_2}\, C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\, | J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > ,
    donde se han introducido en una notación frecuente (no es la única en los textos) los coeficientes de acoplamiento angular denominados «de Clebsch-Gordan»,
    C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \,| J_1\, J_2 \, J\, M > ,
    coeficientes que conviene indicar nunca dependerán, en su caso, de los números cuánticos adicionales \alpha que, por ello mismo, se vienen omitiendo en la notación.
  • Determinación de los valores posibles para los números cuánticos J y M :
    1. Para cada J determinado, se tiene que M toma los valores M\in {-J, -J+1,\ldots,J} .
    2. Puesto que J_z=J_{z1}+J_{z2} , se ha de cumplir:
      J_z\,| J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > \,=\,(J_{z1}+J_{z2})\,| J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > \,=\,\hbar\,(M_1+M_2)\,| J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 >
      \Rightarrow \, J_z\,| J_1\, J_2 \, J\, M >\,=\,\hbar \,M\,| J_1\, J_2 \, J\, M > \,=\,J_z\, \sum_{M_1,M_2}\, C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,| J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 >
      =\,\sum_{M_1,M_2}\, C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,\hbar \,(M_1+M_2)\,| J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 >
      \Rightarrow \,\hbar \,M\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\,\hbar\,(M_1+M_2) \, C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)
      \Rightarrow ((M_1+M_2) \ne M \, \Rightarrow \, C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\,0) ,
      lo que permite simplificar la notación:
      C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\, \equiv \,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M-M_2\,M)
      \equiv \,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M-M_2) .
    3. A partir de los rangos de valores
      J_i \ge 0 , M_i \in \{-J_i, -J_i+1,\ldots,J_i\} , i=1,2 , M \in \{-J, -J+1,\ldots,J\} ,
      la condición M=M_1+M_2 conduce a que el valor máximo de M sea M_{max}=J_1+J_2, de manera que J no podrá tomar valores superiores a J_{max}=J_1+J_2 .
      -Obsérvese que el hecho de que el valor mínimo de M sea M_{min}=-J_1-J_2 no implica que el valor mínimo de J sea -J_1-J_2 , ya que al ser ambos J_i no-negativos, se implicaría J_{min}< 0 .
    4. Dados los valores máximos de J y M , sólo un término contribuye al desarrollo:
      | J_1\, J_2 \, J=J_1+J_2\, M=M_1+M_2>
      =\, C(J_1\,J_2\,J=J_1+J_2\,|\,M_1\,M_2\,M=M_1+M_2)\, | J_1\, M_1=J_1 \, J_2\, M_2=J_2 > ,
      de donde, dada la normalización del estado, se infiere
      |C(J_1\,J_2\,J=J_1+J_2\,|\,M_1\,M_2\,M=M_1+M_2)|^2\,=\, 1\, \Rightarrow C=\exp{i\beta}\,,\,\beta \in \mathbb{R} .
    5. Sea ahora el estado con valor máximo de J y valor M=M_{max}-1=J_1+J_2-1 :
      | J_1\, J_2 \, J=J_1+J_2\, M=M_1+M_2-1>
      =\, C(J_1\,J_2\,J=J_1+J_2\,|\,M_1=J_1\,M_2=J_2-1\,M=M_1+M_2-1)
      | J_1\, M_1=J_1 \, J_2\, M_2=J_2-1 >
      +\, C(J_1\,J_2\,J=J_1+J_2\,|\,M_1=J_1-1\,M_2=J_2\,M=M_1+M_2-1)
      | J_1\, M_1=J_1-1 \, J_2\, M_2=J_2 > ,
      existente siempre que ninguno de los dos momentos angulares que se suman sea nulo.
      -Esta ecuación es válida para dos valores de J , que son J=J_1+J_2 y J=J_1+J_2-1 (J no puede ser menor ya que ha de ser mayor o igual que el número cuántico de tercera componente M=M_1+M_2-1).
      -Por tanto, hemos obtenido dos ecuaciones linealmente independientes.
    6. Sea ahora el estado con valor máximo de J y valor M=M_{max}-2=J_1+J_2-2 :
      | J_1\, J_2 \, J=J_1+J_2\, M=M_1+M_2-2>
      =\, C(J_1\,J_2\,J=J_1+J_2\,|\,M_1=J_1\,M_2=J_2-2\,M=M_1+M_2-2)
      | J_1\, M_1=J_1 \, J_2\, M_2=J_2-2 >
      +\, C(J_1\,J_2\,J=J_1+J_2\,|\,M_1=J_1-2\,M_2=J_2\,M=M_1+M_2-2)
      | J_1\, M_1=J_1-2 \, J_2\, M_2=J_2 >
      +\, C(J_1\,J_2\,J=J_1+J_2\,|\,M_1=J_1-1\,M_2=J_2-1\,M=M_1+M_2-2)
      | J_1\, M_1=J_1-1 \, J_2\, M_2=J_2-1 > ,
      existente siempre que ninguno de los dos momentos angulares que se suman sea cero o la unidad.
      -Esta ecuación es válida para tres valores de J , que son J=J_1+J_2 , J=J_1+J_2-1 y J=J_1+J_2-2 (J no puede ser menor ya que ha de ser mayor o igual que el número cuántico de tercera componente M=M_1+M_2-2).
      -en este caso, pues, hemos obtenido tres ecuaciones linealmente independientes
    7. El proceso se continúa, obteniendo una serie de sistemas de una, dos, tres… ecuaciones para la secuencia de estados | J_1\, J_2 \, J=J_1+J_2\, M> con M=M_{max}, M_{max}-1, M_{max}-2,\ldots . La pregunta pendiente es: ¿cuál es el valor mínimo de J ? (valor que ha de ser siempre no-negativo).
      -Obsérvese que, puesto que M varía en unidades, en esta secuencia anterior J también resulta obligado a descender en saltos de valor unidad. Si se continúa el procedimiento anterior, llegando al valor mínimo de M , esto es, M_{min}=-J_1-J_2 , se configura que dicho valor mínimo de J resultaría ser |J_1-J_2| .
      -Este resultado se puede confirmar:
      dim(\mathcal{H}^{(J_1,J_2)})\,=\,(2J_1+1)(2J_2+1)\,=\,\sum_{M_1=-J_1}^{J_1} \,\sum_{M_2=-J_2}^{J_2}\,1
      =\,\sum_{J=J_{min}}^{J=J_{max}=J_1+J_2} \,\sum_{M=-J}^{J}\,1\, =\,\sum_{J=J_{min}}^{J=J_{max}=J_1+J_2} \,(2J+1)
      =\,\sum_{J=J_{min}}^{J=J_{max}=J_1+J_2} \,1\,+\, 2\sum_{J=J_{min}}^{J=J_{max}=J_1+J_2} \,J
      =\,(J_{max}-J_{min}\,+1)\,+\,2\,\frac{J_{min}+J_1+J_2}{2}\,(J_1+J_2-J_{min}+1)
      \Rightarrow J_{min}^2=(J_1-J_2)^2 \Rightarrow J_{min}=\pm (J_1-J_2) \Rightarrow J_{min}=|J_1-J_2|
      (ya que J_{min} \ge 0).
  • En resumen: Dados dos momentos angulares \vec{J_1} y \vec{J_2} , los únicos valores posibles para los números cuánticos del momento angular suma \vec{J_1}+ \vec{J_2} y su tercera componente J_z=J_{z1}+J_{z2} son:
    J=J_1+J_2\,,\,J_1+J_2-1\,,\ldots \,,|J_1-J_2| ;
    dado J , M=J\,,\,J-1\,,\ldots \,,-J .
  • Determinación de los coeficientes: convenio de Condon-Shortley ampliado:
    1. Según ha quedado establecido:
      C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\,0 si J \notin \{ |J_1-J_2|\,,\, |J_1-J_2|+1\,,\ldots \,, \, J_1+J_2 \}
      C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\,0 si M \ne M_1+M_2
      |\,C(J_1\,J_2\,J=J_1+J_2 \,|\,M_1=J_1\,M_2=J_2\,M=J_1+J_2)\,| \,=\,1
    2. Para calcular los restantes coeficientes, se hacen actuar los operadores escalón suma, J_{\pm} :
      J_{\pm}= J_{\pm 1} + J_{\pm 2} = (J_{x1} + J_{x1})\,\pm\,i\, (J_{y1} +J_{y2}) ,
      lo que se realiza, a efectos de determinar unívocamente los valores, estableciendo un convenio que fije las fases relativas entre estados, en particular el convenio de Condon-Shortley antes ya establecido, que conlleva que todos los elementos de las matrices correspondientes a los operadores escalón sean no-negativos.
      Por tanto, ampliando ahora este convenio, se establecen tres proposiciones:
      -Proposición 1 (P1): se fija la fase relativa entre los estados:
      J_{\pm i} \, |J_i\, M_i> y J_{\pm i} \, |J_i\, M_i \pm 1 > , i=1,2 ,
      J_{\pm} \, |J\, M> y J_{\pm} \, |J\, M \pm 1 >
      como +1 (en los seis casos), lo que equivale a fijar todos los elementos de las matrices correspondientes a los seis operadores escalón (J_{\pm 1} , J_{\pm 2} y J_{\pm}) como reales no-negativos:
      P1:
      P1.1: \left\langle J_1\, M_1\, J_2\, M_2 | \, J_{\pm i} | \, J_1\, \, M_1' \, J_2\, \, M_2'\right\rangle \,=\, \delta_{M_i,M_i' \pm 1} \, \hbar \sqrt{J_i(J_i+1)-M_i M_i'} \, \ge \,0 , i=1,2
      P1.2: \left\langle J_1\, J_2\, J\, M | \, J_{\pm} | \, J_1\, \, J_2 \, J\, \, M'\right\rangle \,=\, \delta_{M,M' \pm 1} \, \hbar \sqrt{J(J+1)-M M'} \, \ge \,0
      -Proposición 2 (P2): se toma la componente del estado | J_1 \, J_2 \, J\, M=J> según el estado | J_1\, M_1=J_1\, J_2\, M_2=J-J_1> como real no-negativa:
      P2: \forall J\,:\,C(J_1\,J_2\,J|\,M_1=J_1\,M_2=J-J_1\,M=J)\, \ge \,0
    3. Aplicado el convenio, se implica que todos los coeficientes de Clebsh-Gordan resultan reales y, en particular, el valor C(J_1\,J_2\,J=J_{max}=J_1+J_2|\,M_1=J_1\,M_2=J_2\,M=M_{max}=M_1+M_2)\,=1 .
  • Determinación de los coeficientes: esbozo de un procedimiento (cf. [GAL-89], pp. 265ss.):
    1. Se parte del estado
      | J_1\, J_2 \, J\, M >\,=\,| J\, M >\,=\, \sum_{M_1,M_2}\, C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\, | J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > ,
      y se aplican los operadores escalón:
      J_{\pm} \,| J\, M >\,=\, \hbar [(J \mp M)\,(J \pm M + 1)]^{\frac{1}{2}}\,| J\, M \pm 1 > ;
      =\, \hbar \, [(J \mp M)\,(J \pm M + 1)]^{\frac{1}{2}}\,\sum_{M_1,M_2} C(J_1\,J_2\,J|\,M_1\,M_2\,M \pm 1)\, | J_1\,M_1\,J_2\,M_2\,>
      =\, \hbar \,\sum_{M_1,M_2} C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\, \lbrace [(J_1 \mp M_1)(J_1 \pm M_1 + 1)]^{\frac{1}{2}}\,| J_1\, M_1 \pm 1\, J_2\, M_2 >
      +\, [(J_2 \mp M_2)(J_2 \pm M_2 + 1)]^{\frac{1}{2}}\,| J_1\, M_1\, J_2\, M_2 \pm 1 > \rbrace \, ;
      a continuación, se multiplica a la izquierda por el bra <J_1 \bar{M_1} J_2 \bar{M_2}| , donde \bar{M_i} representa un valor fijo de la correspondiente variable, obteniéndose:
      [(J \mp M)\,(J \pm M + 1)]^{\frac{1}{2}}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\, \bar{M_1}\,\bar{M_2}\,M \pm 1) \, \delta_{M_1, \bar{M_1}}\, \delta_{M_2, \bar{M_2}}
      =\,\delta_{M_1 \pm 1, \bar{M_1}}\, \delta_{M_2,\bar{M_2}} \,C(J_1\,J_2\,J\,|\,\bar{M_1} \mp 1\,\bar{M_2}\,M )\,[(J_1 \mp \bar{M_1} +1)(J_1 \pm \bar{M_1})]^{\frac{1}{2}} +\,\delta_{M_1, \bar{M_1}}\, \delta_{M_2 \pm 1, \bar{M_2}} \,C(J_1\,J_2\,J\,|\,\bar{M_1} \,\bar{M_2} \mp 1\,M)\,[(J_2 \mp \bar{M_2} +1)(J_2 \pm \bar{M_2})]^{\frac{1}{2}} ,
      esto es:
      [(J \mp M)\,(J \pm M + 1)]^{\frac{1}{2}}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\, M_1\,M_2\,M \pm 1)
      =\, [(J_1 \mp M_1 +1)(J_1 \pm M_1)]^{\frac{1}{2}}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1 \mp 1\,M_2\,M)
      +\, [(J_2 \mp M_2 +1)(J_2 \pm M_2)]^{\frac{1}{2}}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2 \mp 1\,M) .
      -Estas dos ecuaciones, junto con las condiciones de ortonormalización de los estados, constituyen la «llave maestra» para la obtención de los valores de los distintos coeficientes de Clebsch-Gordan.
    2. Comenzamos imponiendo en la primera ecuación anterior, la correspondiente al operador escalón up, J_+ , el valor M=J :
      0\,=\, [(J_1 - M_1 +1)(J_1 + M_1)]^{\frac{1}{2}}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1 - 1\,M_2\,J)
      +\, [(J_2 - M_2 +1)(J_2 + M_2)]^{\frac{1}{2}}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2 - 1\,J) ,
      donde es obvio que
      C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1 - 1\,M_2\,J)\, \equiv C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1 - 1\,J-M_1+1\,J) y
      C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2 - 1\,J)\, \equiv C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,J-M_1\,J) ,
      ya que M_1 + M_2 -1=J \, \Rightarrow \, M_2=J-M_1 + 1 .
    3. A continuación, partiendo del valor M_{1max}=J_1 , esta ecuación permite obtener todos los coeficientes C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,J-M_1\,J) en términos del C(J_1\,J_2\,J\,|\,J_1\,J-J_1\,J):
      -Si M_{1}=J_1 :
      \sqrt{2J_1}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,J_1 - 1\,J-J_1+1\,J)
      =\, -\sqrt{(J_2 - J +J_1)(J_2 + J - J_1+1)} \, C(J_1\,J_2\,J\,|\,J_1\,J-J_1\,J)
      -Si M_{1}=J_1-1 :
      \sqrt{2(2J_1-1)}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,J_1 - 2\,J-J_1+2\,J)
      =\, -\sqrt{(J_2 - J +J_1+1)(J_2 + J - J_1)} \, C(J_1\,J_2\,J\,|\,J_1-1\,J-J_1+1\,J)
      =\, -\sqrt{(J_2 - J +J_1+1)(J_2 + J - J_1)}\,\frac{-\sqrt{(J_2 - J +J_1)(J_2 + J - J_1+1)}}{\sqrt{2J_1}}
      C(J_1\,J_2\,J\,|\,J_1\,J-J_1\,J)
    4. Puesto que todos los coeficientes de Clebsch-Gordan involucrados en las anteriores ecuaciones son reales, fijado C(J_1\,J_2\,J\,|\,J_1\,J-J_1\,J)\, \ge \,0 , se garantiza el carácter también real de todos los coeficientes C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,J-M_1\,J) . A partir de estos, usando la segunda ecuación de la «llave maestra», la correspondiente al operador escalón down J_- :
      [(J + M)\,(J - M + 1)]^{\frac{1}{2}}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\, M_1\,M_2\,M - 1)
      =\, [(J_1 + M_1 +1)(J_1 - M_1)]^{\frac{1}{2}}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1 + 1\,M_2\,M)
      +\, [(J_2 + M_2 +1)(J_2 - M_2)]^{\frac{1}{2}}\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2 + 1\,M) ,
      ecuación que permite calcular los restantes coeficientes, que serán también todos reales, ya que todos los coeficientes en la ecuación lo son.

    Nota: en la referencia [GAL-89], p. 400, se encuentra la expresión de una fórmula general para el cálculo de los coeficientes de C.-G.; en cualquier caso, resulta mucho más práctico en su empleo obtenerlos a partir de las numerosas tablas de sus valores disponibles.

  • Propiedades: Los coeficientes de Clebsch-Gordan, que son las componentes de la transformación unitaria en el espacio de Hilbert \mathcal{H}^{(J_1,J_2)} , para valores de J_1 y J_2 fijos, entre las dos representaciones
    \{| J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > \equiv | J_1\, M_1 > \otimes | J_2\, M_2 >\}_{M_i=-J_i,-J_i+1,\ldots,J_i} , i=1,2
    y
    \{| J_1\, J_2 \, J\, M >_{J \,;\,M=-J,-J+1,\ldots,J} , para todos los J posibles,
    definidos a partir de la ecuación
    | J_1\, J_2 \, J\, M >\,=\, \sum_{M_1,M_2}\, C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\, | J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 >
    (expresión general de una transformación unitaria U, definida según | a_j > \, = \, \sum_i \, U_{ij} | b_i > entre sendas bases \{ | a_i >\} y \{ | b_i > \} , de elementos U_{ij}= < b_i | a_j >),
    poseen las siguientes propiedades (resumen):

    1. Algunos valores singulares:
      1.1. C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\,0 si J \notin \{ |J_1-J_2|\,,\, |J_1-J_2|+1\,,\ldots \,, \, J_1+J_2 \}
      1.2. C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\,0 si M \ne M_1+M_2
      1.3. C(J_1\,J_2\,J\,|\,0\,0\,0)\,=\,0 si J_1+J_2+J_3 es impar.
      1.4. |\,C(J_1\,J_2\,J=J_1+J_2 \,|\,M_1=J_1\,M_2=J_2\,M=J_1+J_2)\,| \,=\,1
      1.5. \,C(J_1\,0\,J_3 \,|\,M_1\,0\,M_3)\, \,=\,\delta_{J_1,J_3}\,\delta_{M_1,M_3}
      1.6. \,C(J\,J\,0 \,|\,M\,-M\,0)\, \,=\,(-1)^(J-M)\, \frac{1}{\sqrt{2J+1}}
    2. Adoptado el convenio de Condon-Shortley, todos los coeficientes son reales:
      C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \,| J_1\, J_2 \, J\, M >
      =\, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \, J_1\, J_2 \, J\, M >^*\,=\,< J_1\, J_2 \, J\, M \, | \, J_1\, M_1 \, J_2 \, M_2 >=\,C^*(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)
    3. Relaciones de unitariedad:
      3.1. \sum_{J,M} < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \,| J_1\, J_2 \, J\, M > \, < J_1\, J_2 \, J\, M \, | \, J_1\, M_1 \, J_2 \, M_2 > \,= \,I
      \equiv \sum_{J,M} C^2(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\,1
      3.2. \sum{M_1,M_2} < J_1\, J_2 \, J\, M \, | \,| J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > \, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \, J_1\, J_2 \, J \, M > \,= \,I
      \equiv \sum_{M_1,M_2} C^2(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\,1
    4. Relación inversa:
      | J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 >\,=\, \sum_{J,M}\, C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\, | \,J_1\, J_2 \, J\, M >
    5. Relación de ortogonalidad: la matriz de transformación, por ser unitaria y real, es también ortogonal:
      U_{ij}= < b_i | a_j > \, \equiv \, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \, J_1\, J_2 \, J\, M > \,=\, C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)
      \; =\,C^*(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,=\,< J_1\, J_2 \, J\, M \, | \, J_1\, M_1 \, J_2 \, M_2 >
      5.1. \sum_i U_{ki}U_{ji}\,=\, \sum_{J,M} \, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \, J_1\, J_2 \, J\, M > \, < J_1\, M_1' \, J_2\, M_2' \, | \, J_1\, J_2 \, J\, M >
      =\, \sum_{J,M} \, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \, J_1\, J_2 \, J\, M > \, < J_1\, J_2 \, J\, M \, | \, J_1\, M_1' \, J_2\, M_2' >
      \; = \, \delta_{M_1,M_1'} \, \delta_{M_2,M_2'} ,
      esto es:
      \sum_{J,M} \,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1'\,M_2'\,M)\,=\, \delta_{M_1,M_1'} \, \delta_{M_2,M_2'} .
      5.2. \sum_i U_{ik}U_{ij} \,=\, \sum_{M_1,M_2} \, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \, J_1\, J_2 \, J\, M > \, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \, J_1\, J_2 \, J'\, M' >
      =\, \sum_{M_1,M_2} \, < J_1\, J_2 \, J\, M \, | \, J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 > \, < J_1\, M_1 \, J_2\, M_2 \, | \, J_1\, J_2 \, J'\, M' >
      \; = \, \delta_{J,J'} \, \delta_{M,M'} ,
      esto es:
      \sum_{M_1,M_2} \,C(J_1\,J_2\,J\,|\,M_1\,M_2\,M)\,C(J_1\,J_2\,J'\,|\,M_1\,M_2\,M')\,=\, \delta_{J,J'} \, \delta_{M,M'} .
      Notas:
      -una matriz R es ortogonal \Leftrightarrow \sum_i R_{ki}R_{ji}=\sum_i R_{ik}R_{ij}=\delta_{kj} \Leftrightarrow RR^T=R^TR=I \Leftrightarrow R^T=R^{-1}
      (toda matriz real ortogonal es real unitaria, y viceversa).
      -U es unitaria \Leftrightarrow U^{-1}=U^+ \;; \; U^{+}=(U^T)^* \, \rightarrow \, U \; real \, \Rightarrow U^T=U^{-1} \, \equiv \, U \; ortogonal
      (utilizando en ambas deducciones la identidad de Parseval y el hecho de que todos los coeficientes de C.-G. son reales).
    6. Propiedades de simetría:
      6.1. C(J_1\,J_2\,J_3\,|\,M_1\,M_2\,M_3)\,=\, (-1)^(J_1+J_2-J_3) \, C(J_1\,J_2\,J_3\,|\,M_2\,M_1\,M_3)
      6.2. C(J_1\,J_2\,J_3\,|\,M_1\,M_2\,M_3)\,=\, (-1)^(J_1+J_2-J_3) \, C(J_1\,J_2\,J_3\,|\,-M_1\,-M_2\,-M_3)
      6.3 C(J_1\,J_2\,J_3\,|\,M_1\,M_2\,M_3)\,=\, (-1)^(J_1-M_1) \, \sqrt{\frac{2J_3+1}{2J_2+1}} \, C(J_1\,J_3\,J_2\,|\,M_1\,-M_3\,-M_2)
      6.4. C(J_1\,J_2\,J_3\,|\,M_1\,M_2\,M_3)\,=\, (-1)^(J_2+M_2) \, \sqrt{\frac{2J_3+1}{2J_1+1}} \, C(J_3\,J_2\,J_1\,|\,-M_3\,M_2\,-M_1)
      6.5. C(J_1\,J_2\,J_3\,|\,M_1\,M_2\,M_3)\,=\, (-1)^(J_1-M_1) \, \sqrt{\frac{2J_3+1}{2J_2+1}} \, C(J_3\,J_1\,J_2\,|\,M_3\,-M_1\,M_2)
      6.6. C(J_1\,J_2\,J_3\,|\,M_1\,M_2\,M_3)\,=\, (-1)^(J_2+M_2) \, \sqrt{\frac{2J_3+1}{2J_1+1}} \, C(J_2\,J_3\,J_1\,|\,-M_2\,M_3\,-M_1)
      (donde las tres últimas expresiones se derivan de las tres primeras).
  • Tablas de coeficientes de Clebsch-Gordan: pueden encontrarse numerosas tablas en internet, por ejemplo, en las páginas:
    Wikipedia: Anexo
    https://www.uco.es/hbarra/index.php/utilidades/83-cg:

    Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan
    Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan (fuente: ver pie figura, procedente de https://www.uco.es/hbarra/index.php/utilidades/83-cg).

Momento angular total

  • Considérese una partícula con espín \vec{S} y momento angular orbital \vec{L} . La suma de ambos, esto es, \vec{J}=\vec{L}+\vec{S} , define un operador que, puesto que los sumandos, operadores \vec{L} , \vec{S} , actúan en sendos espacios independientes, conmutan entre sí, luego el operador suma, denominado como momento angular total de la partícula y que actúa en el espacio \mathcal{H}^{(J)}=\mathcal{H}^{(L;S)} , queda definido como un operador de momento angular, ya que sus componentes satisfacen las relaciones de conmutación definitorias:
    \vec{J} \equiv (J_1,J_2,J_3) \;;\; [J_i\,,\,J_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,J_k\,;\, i,j,k=1,2,3
  • Dado un sistema de N partículas, el operador momento angular total del sistema se define como la suma para todas las partículas de los operadores momentos angulares totales individuales:
    \vec{J}=\sum_{i=1}^N \,\vec{J_i}=\sum_{i=1}^N \,\vec{L_i}\,+\, \sum_{i=1}^N \,\vec{S_i} \,=\, \vec{L}\,+\, \vec{S}\quad, \; i=1,\ldots,N ,
    donde aparecen y quedan definidos los operadores momento angular orbital total \vec{L} y momento angular de espín o espín total \vec{S} del sistema , satisfaciéndose las relaciones de conmutación en su actuación sobre \mathcal{H}^{(J))} \equiv \mathcal{H}^{(L;S)}:
    [\vec{L_i},\vec{L_j}]=\delta_{i,j}\,,\; i,j=1,\ldots,N
    [\vec{S_i},\vec{S_j}]=\delta_{i,j}\,,\; i,j=1,\ldots,N
    [\vec{J_i},\vec{J_j}]=\delta_{i,j}\,,\; i,j=1,\ldots,N
    \vec{J} \equiv (J_1,J_2,J_3) \;;\; [J_i\,,\,J_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,J_k\,;\, i,j,k=1,2,3
    \vec{L} \equiv (L_1,L_2,L_3) \;;\; [L_i\,,\,L_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,L_k\,;\, i,j,k=1,2,3
    \vec{S} \equiv (S_1,S_2,S_3) \;;\; [S_i\,,\,S_j]=i\hbar \, \epsilon_{ijk}\,S_k\,;\, i,j,k=1,2,3
    -Nota: ¡es muy importante no confundir en las fórmulas índices de partícula con índices de componentes!
  • El espacio de Hilbert \mathcal{H}^{(J)} tiene dimensión 2J+1 , y es usual considerar en él la base de componentes
    \{ J M_J \}_{M_J=J,J-1,\ldots,-J} ,
    de forma que cualquier estado del Hilbert admite desarrollo
    |\Psi> \, = \, \sum_{M_J=J}^{-J}\, a_{M_J} \, |\, J M_J > .
    -Obsérvese que la dimensión del espacio \mathcal{H}^{(J)} es 2J+1 , de forma que, cuando \mathcal{H}^{(J)} \equiv \mathcal{H}^{(L;S)} , de modo que \vec{J}=\vec{L}+\vec{S} , la dimensión es 2J+1=(2L+1)(2S+1). Por ejemplo, si L=0 y S=\frac{1}{2} , entonces la dimensión es 2; si L=1 y S=\frac{1}{2} , entonces la dimensión es 6, etc.

Adición de los momentos angular orbital y de espín monoparticulares

  • Considérese una partícula con espín \vec{s} y momento angular orbital \vec{l}, siendo su momento angular total la suma \vec{j}=\vec{l}+\vec{s} de ambos.
  • En el espacio de Hilbert \mathcal{H}^{(l)} las autofunciones simultáneas de los operadores \vec{l}^2 y l_z son los armónicos esféricos Y_{lm_l}(\Omega) , siendo l el número cuántico de momento angular orbital y cuyo conjunto para los correspondientes valores del número cuántico de tercera componente m_l=l,l-1,\ldots,-l constituye una base ortonormal en el espacio para cada l determinado; análogamente, en el espacio de espín \mathcal{H}^{(s)} las autofunciones simultáneas de los operadores \vec{s}^2 y s_z son las funciones de espín \chi_{s,m_s}\,,\,m_s=s,s-1,\ldots,-s, base en \mathcal{H}^{(s)}.
  • Las autofunciones simultáneas de los cuatro operadores \vec{l}^2,l_z,\vec{s}^2,s_z , funciones del espacio \mathcal{H}^{(j)}=\mathcal{H}^{(l;s)} , se podrán expresar como producto directo de las funciones orbitales y de espín, ya que los correspondientes pares de operadores actúan separadamente sobre los sendos espacios orbital y de espín:
    \{| l\, m_l \, s\, m_s > \equiv | l\, m_l > \otimes | s\, m_s >\}_{m_l=-l,-l+1,\ldots,l\;,\,m_s=-s,-s+1,\ldots,s} ,
    siendo también frecuentes las notaciones equivalentes en representación de posiciones:
    | l\, m_l \, s\, m_s > \, \rightarrow \,| l\, m_l > \otimes | s\, m_s > \, \equiv \, \, < \hat{r} \,| \, l\, m_l> | \, s\, m_s > \, = Y_{l m_l} \cdot \chi_{s m_s} ,
    Y_{lm}(\theta, \varphi) \, =\, < \hat{r} (\theta , \varphi) \, | \, lm>
    =\, \int Y_{lm}(\theta ', \varphi ') \,\delta(\vec{r}-\vec{r}' )\, d \vec{r}' \,= \, \int Y_{lm}(\theta', \varphi ') \,\delta(\Omega-\Omega ' )\, d \Omega' ,
    denominándose su conjunto completo como la base no acoplada.
    -El espinor correspondiente sería en este caso:
    \Psi_{l s m_l m_s}(\hat{r},\sigma,t)
    \doteq \,\sum_{m_s'=-s}^{s} \, \psi_{m_s'}(\hat{r},t)\, \chi_{s,m_s'}\, \delta_{m_s',m_s}
    \doteq \, \psi_{m_s}(\hat{r},t)\, \chi_{s,m_s}\, = Y_{l m_l} \cdot \chi_{s m_s}
    \doteq \, \begin{pmatrix} 0 \\ \cdots \\ 0 \\ \psi_{m_s=s}(\hat{r},t)\equiv \, < \,\hat{r}, \,l \ m_l \ ; \ \sigma=\hbar m_s \, | \,\Psi(t) > \,= Y_{l m_l}(\Omega (t)) \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}
  • Los números cuánticos de momento angular total \vec{j} = \vec{l} + \vec{s}, j y m_j toman los valores:
    \left. \begin{array}{l}  j=s \quad si \quad l=0   \\  j=l \quad si \quad s=0 \\  j=l+s, l+s-1,\ldots,|l-s| \quad si \; ambos \quad l,s>0 \\  dado \quad j\;, \quad m_j=j,j-1\ldots,-j    \end{array} \right\} 
  • Una base alternativa es la denominada como base acoplada, integrada por autofunciones simultáneas de los cuatro operadores \vec{l}^2,\vec{s}^2,\vec{j}^2, j_z :
    \{ | l\, s \, j\, m_j > \}_{j \,;\,m_j=-j,-j+1,\ldots,j} , para cada valor posible de j fijados el par l,s ,
    usándose también las notaciones alternativas en representación de posiciones:
    | l\, s \, j\, m_j > \, \rightarrow \, <\hat{r} \, | \,l\, s \, j\, m_j > \, \equiv \, \psi_{l s j m_j}=\mathcal{Y}_{l s}^{j m_j}(\theta,\varphi;\sigma) .
  • Las ecuaciones del cambio de base vienen dadas por los adecuados coeficientes de Clebsch-Gordan:
    | l\, s \, j\, m_j >\,=\, \sum_{m_l,m_s}\, C(l\,s\,j\,|\,m_l\,m_s\,m_j)\, | l\, m_l \, s\, m_s > ,
    | l\, m_l \, s\, m_s >\,=\, \sum_{j,m_j}\, C(l\,s\,j\,|\,m_l\,m_s\,m_j)\, | \,l\, s \, j\, m_j > ,
    pudiendo expresarse el espinor como
    \Psi_{l s j m_j}(\hat{r},\sigma,t)
    \doteq \,\sum_{m_s=-s}^{s} \, [ \ \sum_{m_l=-l}^{l} \, C(l\,s\,j\,|\,m_l\,m_s\,m_j)\, Y_{l m_l}(\Omega (t)) \ ] \ \chi_{s,m_s}\doteq \, \begin{pmatrix} \sum_{m_l=-l}^{l} \, C(l\,s\,j\,|\,m_l=m_j - s\,m_s=s\,m_j)\, Y_{l m_l=m_j-s}(\Omega (t)) \\ \sum_{m_l=-l}^{l} \, C(l\,s\,j\,|\,m_l=m_j - s+1\,m_s=s-1\,m_j)\, Y_{l m_l=m_j-s+1}(\Omega (t))\\ \cdots \\ \sum_{m_l=-l}^{l} \, C(l\,s\,j\,|\,m_l=m_j + s\,m_s=-s \,m_j)\, Y_{l m_l=m_j+s}(\Omega (t))\end{pmatrix}

Ejemplo: el caso de espín \frac{1}{2}

  • En el caso de una partícula de espín s=\frac{1}{2} , sustituyendo los valores de los coeficientes de C.-G., las anteriores expresiones se convierten en:
    | l\, m_l \, \frac{1}{2} \, m_s >\,=\, \sum_{j,m_j}\,C(l\,\frac{1}{2}\,j\,|\,m_l\,m_s\,m_j)\, | \,l\,\frac{1}{2} \, j\, m_j > ,
    | l\, \frac{1}{2} \, j\, m_j >\,=\, \sum_{m_l, m_s= \pm \frac{1}{2}} \, C(l\,\frac{1}{2}\,j\,|\,m_l\,m_s\,m_j)\, | l\, m_l \,\frac{1}{2}\, m_s >

    1. Caso l=0 :
      1.A: Y_{00} \cdot \chi_{\frac{1}{2} m_s}=\mathcal{Y}_{0 \ \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2} \ \frac{1}{2}} \ \delta_{m_s,\frac{1}{2}} \, + \, \mathcal{Y}_{0 \ \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2} \ -\frac{1}{2}} \ \delta_{m_s,-\frac{1}{2}}1.B: \mathcal{Y}_{0 \ \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2} \ m_j} \, =\,Y_{00} \ \chi_{ \frac{1}{2} \ m_s } \ \delta_{m_s, +\frac{1}{2} } \,+ \,Y_{00} \ \chi_{ \frac{1}{2} \ m_s }\ \delta_{m_s, -\frac{1}{2} }
    2. Caso l \ne 0 :
      2.A: Y_{l \ m_l} \cdot \chi_{\frac{1}{2} m_s} \,=\, \sum_{j=l \pm \frac{1}{2}, m_j=m_l+m_s}\,C(l\,\frac{1}{2}\,l \pm \frac{1}{2}\,|\,m_l\,m_s\,m_j) \mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{l \pm \frac{1}{2} \ m_j}
      =\,C(l\,\frac{1}{2}\,l + \frac{1}{2}\,|\,m_l\,m_s\,m_j) \mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{l + \frac{1}{2} \ m_j}\,\delta_{m_j,m_l+m_s}  +\,C(l\,\frac{1}{2}\,l - \frac{1}{2}\,|\,m_l\,m_s\,m_j) \mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{l - \frac{1}{2} \ m_j}\,\delta_{m_j,m_l+m_s}=\, [ \, \sqrt{ \frac{l+m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}} \, \mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{l + \frac{1}{2} \ m_l + \frac{1}{2}} \, + \, \sqrt{ \frac{l-m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}} \, \mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{l - \frac{1}{2} \ m_l + \frac{1}{2}} \,] \delta_{m_s, +\frac{1}{2}}
      +\,[ \, \sqrt{ \frac{l-m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}} \, \mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{l + \frac{1}{2} \ m_l - \frac{1}{2}} \, +\, \sqrt{ \frac{l+m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}} \, \mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{l - \frac{1}{2} \ m_l - \frac{1}{2}} \,] \delta_{m_s, -\frac{1}{2}}
      2.B: \mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{j \ m_j} \, =\,\sum_{m_l, m_s= \pm \frac{1}{2}} \, C(l\,\frac{1}{2}\,j\,|\,m_l\,m_s\,m_j)\, Y_{l \ m_l} \cdot \chi_{\frac{1}{2} \ m_s}
      =\,C(l\,\frac{1}{2}\,j\,|\,m_j - \frac{1}{2} \,\frac{1}{2} \, m_j)\,Y_{l \ m_j-\frac{1}{2}} \cdot \chi_{\frac{1}{2} \ \frac{1}{2}}
      + \, C(l\,\frac{1}{2}\,j\,|\,m_j + \frac{1}{2} \,-\frac{1}{2} \, m_j)\,Y_{l \ m_j+\frac{1}{2}} \cdot \chi_{\frac{1}{2} \ -\frac{1}{2}}
      \Rightarrow \,\mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{l \pm \frac{1}{2} \ m_j} \, =\,\sqrt{ \frac{l \pm m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}} \,Y_{l \ m_j-\frac{1}{2}} \cdot \chi_{\frac{1}{2} \ \frac{1}{2}} \, + \,\sqrt{ \frac{l \mp m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}} \,Y_{l \ m_j+\frac{1}{2}} \cdot \chi_{\frac{1}{2} \ -\frac{1}{2}} ,
      espinor
      \mathcal{Y}_{l \ \frac{1}{2}}^{l \pm \frac{1}{2} \ m_j}\,\doteq \, \begin{pmatrix} \sqrt{ \frac{l \pm m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}} \,Y_{l \ m_j-\frac{1}{2}} \\ \sqrt{\frac{l \mp m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}} \,Y_{l \ m_j+\frac{1}{2}} \end{pmatrix}

Referencias

[BAL-98] Ballentine, L.E.;  “Quantum Mechanics: A Modern Development”; World Scientific; Singapore, 1998.

[BOH-79] Bohm, D.;  “Quantum Theory”; Dover; New York, 1979.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; «Mecánica Cuántica», Eudema, 1989.

[NEU-91] Neumann, J. von; «Fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica», CSIC, Raycar, Madrid, 1991.

[SCH-68] Shiff, L.I. ; Quantum Mechanics, 3º ed; McGraw-Hill, 1968.

Páginas complementarias

Los coeficientes de Clebsch-Gordanen el blog la-macanica-cuantica.blogspot.com

Momento angular en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com: parte I.

Momento angular en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com: parte II.

Momento angular en el blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com: parte III.

APPS

-momento angular cuántico en la Wikipedia
Addition of Angular Momenta in Quantum Mechanics en WOLFRAM Demonstrations Project

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