El potencial escalón

El potencial escalón

potencial-escalon

  • Función potencial V(x) :
    V(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{si } x < 0  \\ V_0 > 0 & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.
    donde se ha elegido el potencial de forma que el punto de retroceso clásico para una partícula (cuando E < V_o ) se sitúe en el origen.
    Se trata pues de una función continua a trozos, con una discontinuidad de primera especie en el origen.
  • Problema de autovalores de energía:
    \frac{d^2\psi}{dx^2}-\frac{2m}{\hbar^2}[V(x)-E]\psi(x)=0 ,
    y buscamos soluciones \psi(x) que sean funciones ella y su derivada primera \psi'(x) continuas \forall x (siempre que V(x) sea finito \forall x).
  • Dependiendo de la región espacial considerada, la forma concreta de la EDO planteada es:
    Zona I: \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi(x)=0
    Zona II: \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V_{o}]\psi(x)=0
  • La solución general de una EDO
    \frac{d^2\psi}{dx^2}\mp a^2\psi=0 ,
    donde a>0 , a \in \mathbb{R} , tiene la expresión:
    -Signo (-) : \psi(x)=C_1 \ e^{ax} + C_2\ e^{-ax}
    con C_1,C_2 escalares arbitrarios.
    -Signo (+) : \psi(x)=C_1 \ e^{+iax} + C_2\ e^{-iax}=C'_1 \ cos\ ax + C'_2\ sen \ ax
    con C_1,C_2,C'_1,C'_2 escalares arbitrarios.
  • Se presentan pues los casos:
    1. E<0 :
      1. Zona I: x<0 :
        \psi(x)=A \ e^{k_Ix} + B\ e^{-k_Ix} con k_I=\frac{+\sqrt{2m(-E)}}{\hbar}>0
        y A,B escalares arbitrarios.
      2. Zona II: x>0 :
        \psi(x)=C\ e^{k_{II}x} + D\ e^{-k_{II}x} con k_{II}=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0
        y C,D escalares arbitrarios.
      3. Imponiendo las condiciones:
        -Acotación x \rightarrow -\infty \Rightarrow B=0
        -Acotación x \rightarrow +\infty \Rightarrow C=0
        -Continuidad de \psi en x=0 : A=D
        -Continuidad de \psi' en x=0 : Ak_I=-Dk_{II}
        Puesto que este conjunto de condiciones es imposible de satisfacer, la conclusión es que no existen efectivamente soluciones físicamente aceptables del problema de autovalores de energía para valores del parámetro de separación E<0 .
    2. 0<E<V_o :
      escalon-e-menor-v_la-mc-blogspot
      Imagen del blog la-mecanica-cuantica-blogspot.com.
      1. Zona I: x<0 :
        \psi(x)=A \ e^{ik_Ix} + B\ e^{-ik_Ix} ; con k_I=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0
        y A,B escalares arbitrarios.
      2. Zona II: x>0 :
        \psi(x)=C\ e^{k_{II}x} + D\ e^{-k_{II}x} ; con k_{II}=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0
        y C,D escalares arbitrarios.
      3. Imponiendo las condiciones:
        -Acotación x \rightarrow +\infty \Rightarrow C=0
        -Continuidad de \psi en x=0 : A+B=D
        -Continuidad de \psi' en x=0 : ik_I(A-B)=-Dk_{II}
      4. Resolviendo:
        A=\frac{1}{2}(1+i\frac{k_{II}}{k_I})D
        B=\frac{1}{2}(1-i\frac{k_{II}}{k_I})D
        \Rightarrow \psi(x) = \left \{ \begin{matrix} \frac{1}{2}(1+i\frac{k_{II}}{k_I})D\ e^{+ik_Ix} +\frac{1}{2}(1-i\frac{k_{II}}{k_I})D\ e^{-ik_Ix} & \mbox{si } x < 0  \\ D\ e^{-k_{II}x} & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.
        con la constante D a fijar a partir de la preceptiva normalización.
        -Equivalentemente, la solución puede expresarse en términos de la constante A (a determinar por normalización):
        \psi(x) = \left \{ \begin{matrix} A\ e^{+ik_Ix} +A\frac{1-i\frac{k_{II}}{k_I}}{1+i\frac{k_{II}}{k_I}}\ e^{-ik_Ix} & \mbox{si } x < 0  \\ A\frac{2}{1+i\frac{k_{II}}{k_I}}\ e^{-k_{II}x} & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.
        = \left \{ \begin{matrix} A\ e^{+ik_Ix} +A\frac{ik_I+k_{II}}{ik_I-k_{II}}\ e^{-ik_Ix} & \mbox{si } x < 0  \\ A\frac{2ik_I}{ik_I-k_{II}}\ e^{-k_{II}x} & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.
      5. La autofunción anterior puede expresarse:
        \frac{B}{A}=\frac{1-i\frac{k_{II}}{k_I}}{1+i\frac{k_{II}}{k_I}}=\frac{1-i(-V_o/E+1)^{\frac{1}{2}}}{1+i(-V_o/E+1)^{\frac{1}{2}}}=(2\frac{E}{V_o}-1)-i\frac{2E(V_o/E-1)^{\frac{1}{2}}}{V_o}
        |\frac{B}{A}|=1 \Rightarrow \frac{B}{A}=e^{i\alpha} , con
        \alpha=arc\ tan\ [\frac{-2\frac{E}{V_o}(\frac{V_o}{E}-1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{2E}{V_o}-1}]=2\ arc\ tan\ [-(\frac{V_o}{E}-1)^{\frac{1}{2}}]
        \frac{D}{A}=\frac{2}{1+ik_{II}/k_I}=\frac{2}{1+i(V_o/E-1)^{\frac{1}{2}}}=1+e^{i\alpha}
        \Rightarrow \psi(x) = \left \{ \begin{matrix} 2Ae^{i\alpha /2}\ cos(k_Ix-\alpha /2) & \mbox{si } x < 0  \\ 2Ae^{i\alpha /2}e^{-k_{II}x}\ cos \alpha /2 & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.
        La forma general de este tipo de autofunciones se representa en la siguiente figura:
        escalon-fo
      6. La densidad de probabilidad (por unidad de volumen) viene dada:
        P(x;t)=|\psi(x;t)|^2 = \left \{ \begin{matrix} 4|A|^2\ cos^2(k_Ix-\alpha /2) & \mbox{si } x < 0  \\ 4|A|^2\ e^{-2k_{II}x}\ cos^2\alpha /2 & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.
        -Representación general (no es la particular que correspondería a la \psi correspondiente a la anterior figura):
        potencial-escalon-funcp-300x169
        -En la región I (x<0) presenta un carácter oscilatorio, consecuencia de la interferencia entre dos ondas que producen una onda estacionaria.
        -Proporciona una probabilidad no nula de encontrar a la partícula a la derecha del origen (en general, del punto donde se produzca el salto del potencial). Este hecho no se produce en Física Clásica, donde la región x>0 resulta estrictamente prohibida o inaccesible a la partícula con E<V_o , pues tendría en ella una energía cinética negativa. En cambio, en Física Cuántica hay probabilidad no nula de penetrar el salto o barrera en x=0 (¡sin que ello signifique asumir que el resultado de la medida de la energía cinética pueda ser un número negativo!: recordemos que el espectro del operador energía cinética se sitúa sobre la semirrecta real positiva).
        -El parámetro d=\frac{1}{2k_{II}}=\frac{\hbar}{+2\sqrt{2m(V_o-E)}} se define como la profundidad de penetración en el escalón, y caracteriza este efecto; se satisface P_{II}(d)=\frac{1}{e}P_{II}(0) .
        -Y es que, para detectar experimentalmente, esto es, observar a la partícula en la región x<0 , habría que localizarla dentro de una distancia del orden de \Delta x \approx \frac{1}{k_{II}}=\frac{\hbar}{+\sqrt{2m(V_o-E)}} , a fin de que P(x;t)=|D|^2e^{-2k_{II}x} sea apreciable. Pero entonces, el momento debe presentar una indeterminación \Delta p_x \gtrsim \frac{\hbar}{\Delta x} \approx +\sqrt{(2m(V_o-E)} , que conlleva a su vez una indeterminación en la energía \Delta E=\frac{(\Delta p_x)^2}{2m} \gtrsim V_o-E , de manera que ya no tendrá sentido afirmar que el resultado de una medida de la energía total de la partícula puede ser menor que V_o .
        -En definitiva, la penetración de la función de onda en la región II, clásicamente prohibida, es una manifestación más de la naturaleza cuántica del fenómeno.
      7. En la región I, x<0 , la solución representa una superposición de dos ondas planas viajeras,
        \psi(x;t)=e^{-iEt/\hbar}\ (A\ e^{+ik_Ix} + B\ e^{-ik_Ix}),
        asociadas a movimientos con sendos sentidos positivo y negativo a lo largo del eje OX ; el correspondiente vector densidad de corriente de probabilidad total es nulo:
        j_I(x;t)=|\vec{v}|[|A|^2-|B|^2] =0 , donde |\vec{v}|=\frac{\hbar k_I}{m} .
        -En la región II, x>0 , es trivial obtener también \vec{j}_{II}(x;t)=0 .
        -Suele enunciarse una interpretación en la que en esta región x<0 se considera el sumando Ae^{+ik_Ix} como una onda viajera incidente desde la izquierda (-\infty) hacia el salto del potencial en x=0 , mientras que el sumando Be^{-ik_Ix} se asocia con una onda viajera reflejada, de amplitudes respectivas A y B . La función en la zona II, por su parte, correspondería a lo que se suele denominar una onda evanescente.
      8. Coeficientes de reflexión R y transmisión T :
        -Se define el coeficiente de reflexión R como el cociente entre los módulos de los vectores densidad de corriente reflejada e incidente:
        R=\frac{|\vec{j}_{refl}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}
        -Se define el coeficiente de transmisión T como el cociente entre los módulos de los vectores densidad de corriente transmitida e incidente:
        T=\frac{|\vec{j}_{trans}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}
        (ambos independientes de la normalización aplicada).
        -Se relacionan según: R+T=1 .
      9. En el caso presente, 0<E<V_o , los coeficientes valen:
        1. R_<=\frac{|\vec{v}||B|^2}{|\vec{v}||A|^2}=\frac{|B|^2}{|A|^2}=1 : se produce reflexión total, y las predicciones clásica y cuántica coinciden en cuanto al coeficiente de reflexión: toda partícula con energía E<V_o será reflejada con probabilidad 1, o sea, certeza.
        2. Respecto al coeficiente de transmisión T , en el caso presente \vec{j}_{trans}(x;t)=\vec{j}_{II}(x;t)=0 , luego T_<=0 : ausencia total de transmisión, en coherencia con una reflexión total cuando 0<E<V_o .
      10. Interpretación en términos de paquetes de onda: Para tiempos remotos, se considera un paquete de ondas incidente, que generará en el futuro el paquetes de onda reflejado. Las simulaciones al final de la entrada ilustran esta situación; por ejemplo:
        http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/65-schrodinger-escalon
      11. En resumen: hemos encontrado una sola solución físicamente aceptable \forall E en el rango 0<E<V_o , de forma que todos estos puntos E reales pertenecen a la parte continua del espectro \sigma(H) y no presentan degeneración (en este rango de energías el problema de autovalores sólo tiene solución físicamente aceptable para incidencia desde la izquierda).
      12. Límite V_o \rightarrow +\infty : Si colocamos un escalón de altura infinita, habremos de imponer la condición de contorno
        \psi(x)=0\;\forall x\ge 0 ,
        y en efecto se tiene \lim_{V_o\rightarrow +\infty}k_{II}= +\infty , de forma que la función de onda se anula en toda la región II.
        -En este caso la autofunción que se obtiene es:
        \lim_{V_o \rightarrow +\infty}\alpha=2\ arc\ tan\ (-\infty)=\pi
        \Rightarrow \lim_{V_o \rightarrow +\infty} \frac{B}{A}=e^{-i\pi}=-1 \;\;,\;\; \lim_{V_o \rightarrow +\infty} \frac{D}{A}=1+e^{-i\pi}=0
        \Rightarrow \psi_{\infty}(x) = \left \{ \begin{matrix} A(e^{+ik_Ix}-e^{-ik_Ix}) & \mbox{si } x < 0  \\ 0 & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.
        cuya correspondiente primera derivada \psi'_{\infty} presenta en el origen una discontinuidad de primera especie, con salto:
        \lim_{x\rightarrow o^-}\psi'_{\infty}=\lim_{x\rightarrow o^-}A(ik_Ie^{+i k_Ix}+ik_Ie^{-ik_Ix})=2iAk_I
        \Rightarrow |\lim_{x\rightarrow o^-}\psi'_{\infty}-\lim_{x\rightarrow o^+}\psi'_{\infty}|=|2iAk_I-0|=2|A|k_I
    3. E>V_o :
      escalon-e-mayor-v_la-mc-blogspot
      Imagen del blog la-mecanica-cuantica-blogspot.com.
      1. Zona I: x<0 :
        \psi(x)=A \ e^{ik_Ix} + B\ e^{-ik_Ix} ; con k_I=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0
        y A,B escalares arbitrarios.
      2. Zona II: x>0 :
        \psi(x)=C\ e^{+ik'_{II}x} + D\ e^{-ik'_{II}x} ; con k'_{II}=\frac{+\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}>0
        y C,D escalares arbitrarios.
        -Es decir, en este caso la forma de las soluciones es oscilatoria en las dos regiones.
      3. Imponiendo las condiciones de frontera:
        -Continuidad de \psi en x=0 : A+B=C+D
        -Continuidad de \psi' en x=0 : ik_I(A-B)=ik'_{II}(C-D)
      4. Al par de ecuaciones anteriores se añade la condición de normalización, de forma que de las cuatro constantes que aparecen, sólo una permanece arbitraria: hay infinitas soluciones presentes (¡sólo dos linealmente independientes!). Este hecho se corresponde con que en efecto pueden considerarse infinitas situaciones, entre ellas:
        a) Una solución asociada a una partícula que se acerca al escalón procedente de la izquierda, esto es, desde el -\infty .
        b) Una solución asociada a una partícula que se acerca al escalón procedente de la derecha, esto es, desde el +\infty .
        c) Cualquier combinación lineal de las dos situaciones anteriores.
        -Consecuentemente, todos estos puntos E>V_o reales pertenecen a la parte continua del espectro \sigma(H) y presentan degeneración doble (EDO de segundo orden: sólo dos soluciones particulares linealmente independientes).
      5. Estudiemos las dos situaciones a) y b) anteriores:
        1. Incidencia desde la izquierda ( -\infty):
          escalon-incid-izq

          1. Para una partícula que incide desde -\infty , debe tenerse D=0 , esto es,
            \psi_{izq}(x) = \left \{ \begin{matrix} A \ e^{ik_Ix} + B\ e^{-ik_Ix} & \mbox{si } x < 0  \\ C \ e^{ik'_{II}x} & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.
            por lo que las ecuaciones resultantes de imponer las condiciones de contorno se convierten en:
            -Continuidad de \psi_{izq} en x=0 : A+B=C
            -Continuidad de \psi'_{izq} en x=0 : ik_I(A-B)=ik'_{II}C
            -La correspondiente densidad de probabilidad se ilustra en la siguiente figura:
            potencial-escalon-eigualv-fo
          2. Cálculos:
            \frac{B}{A}=\frac{k_I-k'_{II}}{k_I+k'_{II}}
            \frac{C}{A}=\frac{2k_I}{k_I+k'_{II}}
            (puesto que B/A \ > 0 , las ondas incidente y reflejada están en fase)
            j_{izq}(x;t) = \left \{ \begin{matrix} |\vec{v}|\cdot [|A|^2 - |B|^2] & \mbox{si } x < 0  \\ |\vec{v'}|\cdot |C|^2 & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right. ,
            con |\vec{v}|=v=\frac{\hbar k_I}{m}\;\;,\;\;|\vec{v}'|=v'=\frac{\hbar k'_{II}}{m} .
            -Se cumple la ecuación de conservación del flujo:
            \frac{1}{|A|^2}[|B|^2+\frac{v'}{v}|C|^2]
            =\frac{1}{|k_I+k'_{II}|^2}[|k_I-k'_{II}|^2+\frac{v'}{v}4|k_I|^2]
            =\frac{(k_I-k'_{II})^2+\frac{v'}{v}4|k_I|^2}{(k_I+k'_{II})^2}=1
            \Rightarrow |\vec{v}|[|A|^2 - |B|^2]=|\vec{v'}|\cdot |C|^2 ,
            que no es sino la ecuación de conservación del flujo, que establece que el flujo transmitido es igual al flujo incidente menos el flujo reflejado.
          3. Coeficientes de reflexión R y transmisión T :
            R_{>}^{izq}=\frac{|\vec{j}_{refl}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}=\frac{v|B|^2}{v|A|^2}=\frac{(k_I-k'_{II})^2}{(k_I+k'_{II})^2}
            \Rightarrow R_{>}^{izq}=\frac{[1-\sqrt{1-V_o/E}]^2}{[1+\sqrt{1-V_o/E}]^2}=(\frac{\sqrt{b}-\sqrt{b-1}}{\sqrt{b}+\sqrt{b-1}})^2
            T_{>}^{izq}=\frac{|\vec{j}_{trans}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}=\frac{v'|C|^2}{v|A|^2}=\frac{k'_{II}4k_I^2}{k_I(k_I+k'_{II})^2}
            \Rightarrow T_{>}^{izq}=\frac{4[1-V_o/E]^\frac{1}{2}}{[1+\sqrt{1-V_o/E}]^2}=\frac{4\sqrt{b} \sqrt{b-1}}{(\sqrt{b}+\sqrt{b-1})^2}
            con b=\frac{E}{V_o} y satisfaciéndose siempre
            R_{>}^{izq}+T_{>}^{izq}=1
            -Estos coeficientes se representan en la siguiente figura:

            escalon-emayv-r-t-e-corr2_la-mc-blogspot
            Imagen (modificada) del blog la-macanica-cuantica-blogspot.com.

            escalon-t-e-emayorvcorr_la-mc-blogspot

             

          4. Análisis: Para cada E>V_o la función de onda describiendo el movimiento de la partícula es parcialmente reflejada y transmitida por el potencial escalón; la densidad de corriente o flujo de probabilidad por tanto se divide en dos componentes, reflejada y transmitida, conservándose siempre el flujo de probabilidad total (R_{>}^{izq}+T_{>}^{izq}=1 ).
            -En cada suceso individual la partícula será siempre o reflejada o transmitida, con probabilidades respectivas R y T , proporcionadas experimentalmente por la observación de un gran número de sucesos individuales idénticos.
          5. Nota: analogía ondulatoria en Óptica Física: consideradas las dos regiones I (x<0 ) y II (x>0 ) como dos medios con sendos y diferentes índices de refracción n_I y n_{II} , dada una onda que incide perpendicularmente sobre la interfase que los separa se satisface en Óptica la ecuación
            n=\frac{n_I}{n_{II}}=\frac{\lambda_I}{\lambda_{II}}
            donde \lambda_I\,,\,\lambda_{II} representan las longitudes de onda en cada medio. Introduciendo la relación de de Broglie
            \lambda_I=\frac{2\pi}{k_I}\,,\,\lambda_{II}=\frac{2\pi}{k'_{II}}
            se obtiene
            n=\frac{n_I}{n_{II}}=\frac{\lambda_I}{\lambda_{II}}=\frac{k'_{II}}{k_I}=[1-V_o/E]^\frac{1}{2}
            derivándose en efecto el coeficiente de reflexión óptico clásico correcto:
            R_{clas}(\mbox{onda de Broglie})=(\frac{1-n}{1+n})^2=R_{>}^{izq}
        2. Incidencia desde la derecha ( +\infty):
          1. Para una partícula que incide desde +\infty debe tenerse A=0 , esto es,
            \psi_{dch}(x) = \left \{ \begin{matrix} B\ e^{-ik_Ix} & \mbox{si } x < 0  \\ C \ e^{+ik'_{II}x} + D \ e^{-ik'_{II}x} & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.
            por lo que las ecuaciones resultantes de imponer las condiciones de contorno se convierten en:
            -Continuidad de \psi_{dch} en x=0 : B=C+D
            -Continuidad de \psi'_{dch} en x=0 : -ik_IB=ik'_{II}(C-D)
          2. Cálculos:
            \frac{B}{D}=-\frac{k'_{II}}{k_I} (\frac{C}{D}-1)=-\frac{k'_{II}}{k_I} (\frac{B}{D}-2) \Rightarrow \frac{B}{D}[1+\frac{k'_{II}}{k_I}]=2\frac{k'_{II}}{k_I}
            \Rightarrow \frac{B}{D}=\frac{2k'_{II}}{k_I+k'_{II}}
            \frac{C}{D}=-\frac{k_I}{k'_{II}}\frac{B}{D}+1=-\frac{k_I}{k'_{II}} \frac{2k'_{II}}{k_I+k'_{II}}+1=\frac{-2k_I+k_I+k'_{II}}{k_I+k'_{II}}
            \Rightarrow \frac{C}{D}=\frac{k'_{II}-k_I}{k_I+k'_{II}}
            (obsérvese que, a diferencia del caso de incidencia desde la izquierda, ahora las ondas incidente y reflejada están en contrafase pues \frac{C}{D}<0).
            j_{dch}(x;t) = \left \{ \begin{matrix} |\vec{v}|\cdot |B|^2 & \mbox{si } x < 0  \\ |\vec{v'}|\cdot [|C|^2 - |D|^2] & \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right. ,
            con |\vec{v}|=v=\frac{\hbar k_I}{m} \;\;,\;\; |\vec{v}\ '|=v'=\frac{\hbar k'_{II}}{m} .
            Conservación del flujo:
            v'(\frac{|C|^2}{|D|^2}-1)=v'[(\frac{k'_{II}-k_I}{k_I+k'_{II}})^2-1] =v'\frac{-4k_Ik'_{II}}{(k_I+k'_{II})^2}=-v'\frac{k_I}{k'_{II}}|\frac{B}{D}|^2
            \Rightarrow v|B|^2=v'[|D|^2 - |C|^2] ,
            que no es de nuevo sino la ecuación de conservación del flujo.
          3. Coeficientes de reflexión R y transmisión T :
            R_{>}^{dch}=\frac{|\vec{j}_{refl}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}=\frac{v'|C|^2}{v'|D|^2}=\frac{(k'_{II}-k_I)^2}{(k_I+k'_{II})^2}
            \Rightarrow R_{>}^{dch}=\frac{[1-\sqrt{1-V_o/E}]^2}{[1+\sqrt{1-V_o/E}]^2}=(\frac{\sqrt{b}-\sqrt{b-1}}{\sqrt{b}+\sqrt{b-1}})^2
            T_{>}^{dch}=\frac{|\vec{j}_{trans}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}=\frac{v|B|^2}{v'|D|^2}=\frac{4k'_{II}k_I}{(k_I+k'_{II})^2}
            \Rightarrow T_{>}^{dch}=\frac{4[1-V_o/E]^\frac{1}{2}}{[1+\sqrt{1-V_o/E}]^2}=\frac{4\sqrt{b} \sqrt{b-1}}{(\sqrt{b}+\sqrt{b-1})^2}
            con b=\frac{E}{V_o} y satisfaciéndose siempre
            R_{>}^{dch}+T_{>}^{dch}=1
            -Los resultados para estos coeficientes pues no cambian respecto al caso de incidencia desde la izquierda: R_{>}^{dch}=R_{>}^{izq}=R_{>} (y T_{>}^{dch}=T_{>}^{izq}=T_{>} ) . Lo que origina el fenómeno no es un incremento o decremento en el origen, específicamente, sino un cambio brusco o salto de potencial (análogamente a como en Óptica es el hecho de un cambio en el indice de refracción lo importante, y no el signo del cambio).
      6. Principio de reciprocidad: en la resolución de un problema como el aquí planteado, es indiferente el sentido de incidencia de la partícula que se escoja, de entre los dos posibles.
      7. Interpretación en términos de paquetes de onda: Para tiempos remotos, se considera un paquete de ondas incidente, que generará en el futuro sendos paquetes de onda reflejado y transmitido. Las simulaciones al final de la entrada ilustran esta situación; por ejemplo:
        http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/65-schrodinger-escalon
        -Es interesante señalar que los tiempos de retardo en las correspondientes reflexión y transmisión de los paquetes resultan iguales y de orden menor que el tiempo característico en que el centro del paquete en cuestión recorre su propia extensión, lo que conlleva que su medida sea muy difícil en la práctica.
      8. En definitiva, para E>V_o se tendrá reflexión parcial apreciable de la onda incidente siempre que el potencial presente un cambio brusco de valor, o salto de primera especie, en una distancia del orden de la longitud de onda de de Broglie asociada a la partícula incidente (algo demostrable vía la preceptiva resolución del correspondiente problema de autovalores). Por el contrario, si el potencial se mantiene aproximadamente constante en distancias del orden de esa longitud de onda de de Broglie, la reflexión será despreciable.
    4. Caso E=0 :
      1. Zona I: x<0 :
        \frac{d^2\psi}{dx^2}=0\, \Rightarrow \, \psi_I(x)=A + B x
        con A,B escalares arbitrarios.
      2. Zona II: x>0 :
        \frac{d^2\psi}{dx^2}-\frac{2m}{\hbar^2}V_{o}\psi(x)=0
        \psi_{II}(x)=C\ e^{k_{II}x} + D\ e^{-k_{II}x} con k_{II}=\frac{+\sqrt{2m(V_o)}}{\hbar}>0
        y C,D escalares arbitrarios.
      3. Imponiendo las condiciones:
        -Acotación x \rightarrow -\infty \Rightarrow B=0
        -Acotación x \rightarrow +\infty \Rightarrow C=0
        -Continuidad de \psi en x=0 : A=C+D=D
        -Continuidad de \psi' en x=0 : B=0=-Dk_{II} \, \Rightarrow \, D=0
        Puesto que este conjunto de condiciones es imposible de satisfacer, salvo para la solución trivial \psi(x)=0 \, \forall x , la conclusión es que no existen soluciones físicamente aceptables del problema de autovalores de energía para el valor del parámetro de separación E=0 , es decir, E=0 \notin \sigma(H) .
    5. Caso E=V_0 :
      1. Zona I: x<0 :
        \frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}V_{o}\psi (x) =0
        \Rightarrow \psi_I(x)=A \ e^{ik_Ix} + B\ e^{-ik_Ix}=A'\ cos \ k_Ix \, + \, B'\ sen \ k_Ix
        con k_I=\frac{+\sqrt{2mV_o}}{\hbar}>0
        y A,B,A',B' escalares arbitrarios.
      2. Zona II: x>0 :
        \frac{d^2\psi}{dx^2}=0\, \Rightarrow \, \psi_{II}(x)=C \ + D\ x
        con C,D escalares arbitrarios.
      3. Imponiendo las condiciones de frontera:
        -Acotación x \rightarrow +\infty \Rightarrow D=0
        -Continuidad de \psi en x=0 : A'=C
        -Continuidad de \psi' en x=0 : B'k_I=D=0
      4. Al par de ecuaciones anteriores se añade la condición de normalización, de forma que la única constante arbitraria que aparece, A'=C , queda fijada. Por tanto, existe una única solución al problema de autovalores planteado: el punto E=V_o pertenece al espectro del Hamiltoniano, E=V_0 \in \sigma(H) , y no presenta degeneración.
  • Todos los resultados anteriormente obtenidos son válidos para un potencial general como el representado a la derecha en la siguiente figura:
    potencial-escalon-inclinado2-300x130
    siempre que el orden de la distancia en que se produce el salto sea comparable a la longitud de onda de de Broglie de la partícula involucrada en el proceso.
  • En el límite clásico, \lambda_{B} \rightarrow 0 , y cualquier potencial satisfará la condición V(x) \approx \mbox{constante} en un intervalo de longitud tendiendo a cero, de manera que se recupera el resultado clásico: Reflexión total R_<=1 (transmisión nula, T_<=0 ) para E<V_o y reflexión nula, R_>=0 (transmisión total, T_>=1 ) siempre que E>V_o .
  • Reuniendo resultados, la figura siguiente ilustra los resultados obtenidos para los coeficiente de reflexión y transmisión en todo el rango de autovalores:
    step-potential-wiki-r-tcorr
    Imagen de la Wikipedia.

    -Obsérvese que en efecto se satisface:
    \lim_{E \rightarrow V_o}R_{>}(E)=1\;\;,\;\;\lim_{E \rightarrow V_o}T_{>}(E)=0 .

  • En el problema estudiado, Hamiltoniano del potencial escalón, resulta por tanto que \sigma(H)=(0,+\infty) , donde (0,V_o] es simplemente degenerado y (V_o,+\infty) es doblemente degenerado.

Referencias

[BOH-89] Bohm, D.;  “Quantum Theory”; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; “Quantum Mechanics”; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; “Mecánica Cuántica”, Eudema, 1989.

[SCH-68] Schiff,L.I.; “Quantum Mechanics”; 3º ed., McGraw; 1968.

Páginas complementarias

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/329-fc0301

www.lfp.uba.ar/es/notas%20de%20cursos/notasmecanicacuantica/09Ejemplos.pdf

http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2010/07/transmision-y-reflexion-de-particulas-i.html

http://www.met.reading.ac.uk/pplato2/h-flap/phys11_1.html

APPS

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/escalon1/escalon1.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/escalon2/escalon2.htm

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/64-escalon

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/65-schrodinger-escalon

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