Introducción
El cubit
La pieza básica de la información clásica es el bit (o Cbit, bit clásico), que puede tener dos valores: verdadero o falso; 1 o 0; encendido o apagado; cerrado o abierto. La lógica clásica establece como axioma que los dos valores no pueden darse a la vez: o se tiene un valor o se tiene el otro, y la máquina universal de Turing respeta este principio. Frente al bit, en teoría cuántica la unidad de información es el cubit (qbit, qubit..), el cual, conforme a su cuántica naturaleza, aunque también dicotómico en su rango de valores posibles como resultado de una medida, 0 y 1, puede sin embargo ocupar estados de superposición de los estados correspondientes a esos dos valores:
|ψ> = α|0> + β|1> , 
donde |0> y |1> son los estados cuánticos o kets de la base ortonormal elegida para representar los estados generales del sistema cuántico; α y β son dos números complejos que satisfacen (condición de normalización)
representando cada uno de los dos números reales que se suman, respectivamente, la probabilidad de que al leer –medir- la información almacenada en el cubit, se registre el resultado 0 o el 1.
Un cubit puede representarse mediante la denominada esfera de Bloch, de radio unidad, que permite asociar cada punto sobre su superficie con un par ordenado de valores complejos (α,β), es decir, con cada estado posible del cubit, según se representa en las siguientes figuras. Cada par de puntos diametralmente opuestos sobre la esfera de Bloch corresponde a dos estados normalizados y ortogonales entre sí, que forman una base del correspondiente espacio.
En las figuras adjuntas se ilustra, de un lado, la representación general de un cubit, explicitando las coordenadas esféricas; de otro, la aplicación al caso particular de una representación en términos de los estados de polarización fotónica. En este último caso, los polos norte y sur de la esfera se corresponderán con las sendas polarizaciones vertical V y horizontal H; se indican también los puntos asociados a los estados con superposición de igual amplitud de polarizaciones H y V, o polarizaciones diagonales, y los puntos para los estados de polarizaciones circulares, dextrógira y levógira. Los restantes puntos corresponderían a estados de polarizaciones elípticas.
En resumen: la información que encierra un cubit puede implementarse físicamente de variadas maneras: se puede recurrir al estado de polarización de un fotón, en cualquiera de las bases disponibles, como la {H≡|↔>≡0 ,V≡|↕>≡1} -o al revés-, con expresión correspondiente |ψ> = α|↔> + β|↕> ; o se puede recurrir a un estado electrónico –o atómico- superposición de los dos estados de espín arriba (up) y abajo (down) de tercera componente S_z , |ψ> = α|↑> + β|↓> ; o a la superposición de un sistema en dos estados posibles de energía, como un átomo de hidrógeno en estado fundamental –el más bajo en energía permitido , E_o- y otro por encima, estado excitado E_1 , |ψ> = α| E_o> + β|E_1> ; etc.
Que un cubit sea, en general, una superposición de los dos kets básicos, |ψ> = α|0> + β|1>, donde α y β son dos números complejos, no significa que al leer la información codificada sobre él se pueda extraer una cantidad infinita de ella, como parecería corresponderse con el hecho de que los pares de números complejos α y β diferentes son infinitos. Al efectuar una medida, el registro de lectura informa sólo de una de las dos posibilidades, 0 o 1, nunca de una superposición, conforme al postulado cuántico del colapso de la función de onda al sufrir una interacción. Los coeficientes complejos α y β , o amplitudes, informan sólo, vía su módulo al cuadrado, sobre las probabilidades de obtener como resultado cada uno de entre los dos posibles.
Si disponemos de dos cubits, el nuevo espacio de estados corresponderá al denominado “producto tensorial” de los estados de cada qubit, una operación matemática que se suele representar por el símbolo ⨂ . Por ejemplo, para dos cubits 1 y 2 tendríamos que un posible estado conjunto sería también un producto tensorial directo de sendos estados de los espacios asociados a cada qubit:
La dimensión del espacio para dos cubits se ha doblado respecto a la dimensión 2 del espacio de cada cubit individual, pasando la base a tener cuatro estados:
{|00>≡|0>⨂|0> ,|01>≡|0>⨂|1> , |10>≡|1>⨂|0> ,|11>≡|1>⨂|1>} .
Por otra parte, ahora serán necesarios cuatro números complejos, (α,β,γ,δ), para especificar el estado –la superposición general- de los dos cubits (el 2-cubit). Si comparamos con el caso clásico, para especificar el estado de 2 bits necesitamos sólo dos números reales; en el caso cuántico, para dos 1-cubits se requieren cuatro números complejos, sujetos a la condición que normaliza la función de onda Ψ(1,2) , esto es,
Para almacenar información requeriremos en general de un gran número de cubits, pudiendo asociar cada uno de ellos con un registro cuántico, de forma que, por ejemplo, un cubyte constará de 8 cubits. En general, para un estado de N cubits, su representación en el formalismo se realizará en un espacio matemático producto tensorial de los N espacios asociados a cada cubit; este espacio conjunto será de dimensión 2N, siendo éste pues el numero de estados integrantes de la correspondiente base. Si comparamos con los N valores reales que se necesitan para especificar información en N bits clásicos, vemos que, mientras con N bits se codifican 2N datos, con N cubits las posibilidades se amplían vertiginosamente, al poder superponer los 2N estados de la base. En concreto, si para un ordenador clásico la capacidad de almacenar información crece linealmente con un tamaño, en un ordenador cuántico crece exponencialmente, denominándose como paralelismo cuántico a esa gran capacidad adicional que proporcionan las superposiciones cuánticas para almacenar información y, supuestamente, para procesarla de forma masiva. Pero para conseguirlo, harán falta buenos algoritmos que aprovechen ese paralelismo para que, al leer la información almacenada, se extraiga la solución óptima al problema planteado, y no es fácil desarrollarlos.
Si se disponen de N cubits, la expresión general para una serie de N registros de 1 cubit no entrelazados, extensión directa de la anterior para dos qubits, sería:
|Ψ_N> =|ψ_1>⊗|ψ_2>⊗⋯⊗|ψ_N> ,
estando la base del espacio matemático para los N cubits integrada por los 2N estados:
{|00⋯0>≡(|0>⨂⋯⨂|0>)
|00⋯01>≡(|0>⨂⋯⨂|0>⨂|1>)
⋮
|1⋯10>≡(|1>⨂⋯⨂|1>⨂|0>)
⋮
|11⋯1>≡(|1>⨂⋯⨂|1>) } .
Cualquier estado del espacio asociado a los N cubits, entrelazado o no, se puede expresar como una superposición de estados de esta base, la denominada base computacional, con coeficientes complejos. Cada estado de la base posee, pues, la expresión general |n_1 n_2⋯n_N> : una hilera de N números n de valor 0 o 1, y los 2N estados se pueden numerar, esto es, hacer corresponder con cada uno de los 2N números en binario (n_1 n_2⋯n_N) , con rango abarcando desde x=0 hasta x=2N-1, el número decimal que representan en código binario, según la conocida descomposición
x=n_N∙2^N+n_(N-1)∙2^(N-1)+⋯+n_1∙2^1+n_0∙2^0.
De esta forma, posibilita una nueva notación |x>, decimal, para los estados de la base:
{|0>=|00⋯0> ,|1> = |100⋯0> ,|2> = |010⋯0> ,⋯,|2^(N-2)> =|11 ⋯10> ,|2^(N-1)> =|11 ⋯11>} .
Veamos un ejemplo: consideremos cómo almacenar los dos números ordenados de una cifra (15,13) , de expresión binaria respectiva 1111 y 1101. Tomamos una cadena de 8 bits, la 11111101, donde reservamos los cuatro primeros para nuestro primer número y los cuatro últimos para el segundo, y podemos representar el par de números como el qubit |11111101> =|253> , es decir, el estado número 253 en numeración decimal de la correspondiente base computacional,
{|0>=|00000000> ,|1> = |00000001> ,|2> = |00000010> ,⋯,|253> =|11111101>,|254> =|11111110> ,|255> =|11111111>} ,
en un espacio de dimensión 28=256. Pero en este espacio de 256 dimensiones no sólo cada qubit del tipo |n_1 n_2⋯n_8> , con cada n de valor 0 o 1, representa un par ordenado de números entre todos los posibles desde el (0,0) hasta el (15,15), es que un solo qubit de expresión general
|Ψ(1,2)>= α_1 |0> + α_2 |2> + ⋯ + α_255 |255> ,
donde 
permite codificar de forma paralela cada combinación lineal o superposición de todos esos pares de números de 8 dígitos binarios.
Así pues, y para hacernos una idea de la importancia del paralelismo cuántico, si tenemos N bits seremos capaces de almacenar la información correspondiente a un solo entero de entre los 2N posibles; si tenemos N cubits, como por el principio de superposición podemos formar infinitas superposiciones de los 2N estados de la base computacional, cada una especificada por un conjunto de 2N números complejos -las amplitudes o coeficientes de la superposición-, la capacidad de la memoria disponible se ha incrementado exponencialmente, teniéndose además la posibilidad de procesar información en paralelo de forma masiva. Por ejemplo, podremos evaluar una función de una variable simultáneamente para múltiples valores de su argumento o variable, en una sola operación; almacenando así una cantidad ingente de registros clásicos en solo estado cuántico. Pero hay que tener siempre presente, no obstante, que puesto que la medida o lectura de esa superposición la colapsará, proporcionando finalmente y de forma probabilística solo uno de los posibles resultados antes superpuestos, se necesitarán procedimientos para garantizar que la información específica que se busca sea la que aflore finalmente. Para ello, se pueden forzar las interferencias adecuadas para cancelar las amplitudes de probabilidad de los estados que no contengan la información útil para resolver cada problema, mientras que se aumenta, vía las pertinentes interferencias constructivas, la probabilidad de que las medidas finales proporcionen la información buscada. En un ejemplo desarrollado por Jesse Dunietz, es como si buscáramos una llave de hierro (la solución óptima de un problema) entre un montón de miles de aluminio (la superposición que constituye el paralelismo); en cada oportunidad sólo podemos cogerlas de una en una y perdemos el acceso a las otras (al medir, la superposición colapsa al azar a una de las funciones superpuestas y desaparecen las demás). Si queremos encontrar rápidamente la llave, tenemos que idear algo a hacer sobre todas las llaves, sin romperlas (sin desplomar la superposición), y que aumente la probabilidad de que saquemos la buena. Por ejemplo, pasar un imán por encima del montón de llaves, que hará que la de hierro se mueva hacia él, destacándose de entre las restantes.
El e-bit o información de dos qubits entrelazados
Los pares de partículas entrelazadas van a jugar un importante papel a la hora de construir ordenadores cuánticos. Antes manejamos un tipo de expresión para un estado de dos qubits que se podía expresar de forma directa como producto de dos estados específicos |ψ_1> y |ψ_2> , el estado |Ψ(1,2)>=|ψ_1>⊗|ψ_2> ; un ejemplo de este tipo de estados es el siguiente:
|Ψ(1,2)> =|ψ_1>⊗|ψ_2> = √5/36|00> + 5/36 |01>+1/36 |10> + √5/36 |11>
=(√5/6 |0>_1 + 1/6 |1>_1)⨂(1/6 |0>_2 + √5/6 |1>_2)
Pero ya sabemos que existen estados que no admiten una expresión de esta forma: los denominados estados entrelazados. Y, de hecho, si elegimos al azar cualesquiera cuatro números complejos (α,β,γ,δ) para formar un estado superpuesto de dos qubits a partir de los 4 estados de la base, hay una gran probabilidad de que el estado resultante sea entrelazado, es decir, no admita expresión directa como producto de dos estados pertenecientes a los sendos espacios de cada uno de ellos. Es decir: la gran mayoría de los estados de dos qubits están entrelazados, esto es, se tiene que |Ψ(1,2)> ≠|ψ_1>⊗|ψ_2> . Por ejemplo, es fácil comprobar que un estado como el
|Ψ(1,2)> = 1/√3|00> + 1/√3 |01>+1/√3 |01> ≠|ψ_1>⊗|ψ_2>
es entrelazado. La descripción cuántica de un par de qubits entrelazados corresponde a un estado general de superposición en que ninguno de los dos tiene una posición determinada (α,β) sobre la esfera de Bloch. En la base ortonormal primaria, la base computacional de dimensión 4,
{|00>≡|0> ,|01>≡|1> ,|10>≡|2>,|11>≡|3>} ,
unos estados entrelazados de dos cubits muy utilizados en información cuántica, y que constituyen en conjunto otra base del espacio, son los denominados “estados de Bell”, cuatro estados que son ortogonales entre sí dos a dos:
|Ψ^± (1,2)> = 1/√2 (|01> ± |10> ) ≠ |Ψ(1)> ⨂ |Ψ(2)>
|Φ^± (1,2)> = 1/√2 (|00> ± |11>) ≠ |Φ(1)> ⨂ |Φ(2)>
En términos de la teoría de la información cuántica, cada uno de estos estados presenta el máximo de entrelazamiento posible para dos cubits, se dice entonces que definen o contienen un “e-bit” de entrelazamiento.
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