La luz y su polarización clásica
Los conceptos de campo y onda electromagnéticos son esenciales para la introducción de la teoría cuántica. El concepto de campo, nacido en el siglo XIX en el contexto del estudio de los fenómenos electromagnéticos, es uno de los más fructíferos en ciencia, ya que permite conceptualizar cada acción ejercida sobre un cuerpo dado por otro –u otros- como la manifestación de una propiedad residente en el espacio donde se sitúa el cuerpo. Supuso el reemplazo de la idea newtoniana de la acción instantánea y a distancia por interacciones locales, esto es, surgidas del entorno próximo al sitio que ocupa cada cuerpo.
En una región del espacio, se puede definir un campo clásico cuando es posible asociar el valor de una misma magnitud física a cada punto de la región. Ese valor, resultante de la medida de la magnitud, variará en general para cada punto, así como con el tiempo. Puesto que existen magnitudes escalares (como la temperatura, o la altura sobre el nivel del mar), que solo requieren un número para su cuantificación, y magnitudes vectoriales (como la velocidad o la posición), que requieren en cambio tres números, los campos pueden ser, entre otros tipos, escalares o vectoriales, según el correspondiente carácter de la magnitud física en cuestión. Si el campo es vectorial, de forma que a cada punto del espacio está asociado un vector, entonces su representación requiere dibujar en cada punto una flecha (el vector). Éste es el caso de los campos eléctricos y magnéticos, que son vectoriales.
-Una carga eléctrica, como un electrón, genera en el espacio que la rodea un campo eléctrico. Si la carga eléctrica se mueve, por ejemplo, oscila con una frecuencia dada, se genera en la misma región del espacio un campo magnético, que se superpone al eléctrico. Los dos campos variarán con la misma frecuencia, de forma que en el espacio se propaga una perturbación del campo conjunto electromagnético, fenómeno que se denomina onda electromagnética, que es de tipo transversal. Por lo tanto, la magnitud física que oscila en la onda luminosa es el valor del campo electromagnético, integrado a la vez por los campos vectoriales eléctrico y magnético; los dos campos oscilan manteniéndose siempre perpendiculares a la dirección de propagación y entre sí. En general, la vibración de estos dos campos ocurre según los múltiples planos perpendiculares a cada dirección de propagación (algo difícil de visualizar); este es el caso de la luz solar o natural, por lo que se define como “no polarizada” y todas las direcciones de propagación son igualmente probables.
La energía que transporta una onda electromagnética depende del cuadrado de su amplitud. Por su parte, la frecuencia, ν, en el caso de que la propagación se produzca en el vacío, se relaciona con la longitud de onda según la fórmula λ · ν = c, donde c es la constante universal que representa la velocidad (rapidez) de la luz, de cualquier frecuencia y para un observador inercial, en el vacío (c = 299$792,458 km/s); a mayor frecuencia, o menor longitud de onda, mayor es la energía transportada. En un medio distinto del vacío, la rapidez de propagación de la luz, que ahora sí cambia con la frecuencia, depende de unos parámetros o constantes específicos de cada medio material.
Una onda electromagnética se dice que está linealmente polarizada cuando la oscilación del vector eléctrico no se produce según todas las direcciones del espacio, sino que queda contenida en un solo plano, o plano de vibración, que contiene siempre al vector y a la dirección de propagación (y, por lo tanto, igual sucederá para el campo magnético, contenido siempre junto con la dirección de propagación en un plano perpendicular al anterior, el plano de polarización). La mayoría de las fuentes luminosas contienen un número enorme de moléculas orientadas al azar, de forma que la luz que emiten –luz natural o despolarizada- es una mezcla de ondas polarizadas linealmente en todas las direcciones transversales posibles, sobre innumerables planos de polarización que cambian su orientación de forma muy rápida y aleatoria.
-En la figura siguiente se representa una onda electromagnética linealmente polarizada, en particular, una onda transversal plana, en la que los vectores campo eléctrico y campo magnético oscilan manteniéndose paralelos a sendas rectas fijas en el espacio; el plano que contiene al vector campo eléctrico y a la dirección de propagación se define por convención como el de polarización. Se define la polarización lineal a θ° cuando el vector campo eléctrico , visto desde frente acercándose la onda según el correspondiente eje de un sistema de tres ejes coordenados mutuamente ortogonales, oscila de forma que, conforme la onda avanza, su extremo se mueve según una línea recta que forma con el eje vertical de ese sistema de referencia adoptado un ángulo θ°; los términos polarización horizontal y vertical, se asocian, respectivamente, con los valores 0° y 90°. Las siguientes figuras ilustran el concepto de polarización lineal:
-La luz polarizada linealmente se puede obtener también mediante el empleo de los dispositivos denominados filtros de polarización, o polarizadores, cuyo eje de transmisión define el tipo de polarización resultante. Por ejemplo, un polarizador lineal por absorción selectiva, como el filtro que se muestra en la siguiente figura, está hecho de un material –como los famosos filtros Polaroid- que sólo deja pasar la radiación cuyo campo eléctrico se alinea según una dirección determinada del espacio, que marca su eje de polarización o transmisión; la dirección perpendicular a él marca el eje de extinción, ya que se absorbe por completo la radiación que oscila según ella:
-La luz natural, cuando se refleja sobre una superficie plana que separa dos medios transparentes resulta en general parcialmente polarizada, y por eso muchas gafas de sol llevan cristales “polarizados”, usualmente incorporando filtros con su eje óptico alineado de forma vertical, con el fin de bloquear la radiación reflejada desde las superficies horizontales como la del mar. Las gafas de sol polarizadas tienen así la característica de filtrar la luz que recibe la lente desde una dirección concreta, y lo más habitual es que las lentes se polaricen de forma vertical para bloquear la luz que incide de forma horizontal.
Cuando luz despolarizada atraviesa sucesivamente dos polarizadores lineales, el primero con su eje de transmisión formando un ángulo de 
-En la siguiente figura se describe lo que se observa cuando luz que ha atravesado un primer polarizador vertical y, ya polarizada según un eje vertical, entra a continuación a un segundo polarizador o analizador, que produce finalmente luz polarizada según un eje que forma un ángulo 
-Repárese entonces en que, cuando un haz de luz natural atraviese dos polarizadores lineales cruzados, es decir, con sus respectivos ejes perpendiculares entre sí, la intensidad se anulará y no se transmitirá luz alguna (supuestos los polarizadores ideales, con eficiencia transmisora del 0% para cualquier dirección distinta a la de su eje; en la práctica, por ejemplo, la eficiencia de transmisión para luz incidente polarizada según el eje suele rondar el 70%, frente al 100% ideal).
La luz se dice que está polarizada circularmente cuando el vector eléctrico, manteniendo su módulo constante, gira en el espacio con una frecuencia angular constante y de forma que su extremo dibuja un círculo sobre cualquier plano atravesado por la dirección de propagación y normal a ella; el caso más general, del que ambas polarizaciones lineal y circular son casos particulares, es cuando las dos amplitudes de los campos electromagnéticos no son iguales y se dibuja una elipse. Como se muestra en las figuras siguientes, el vector campo eléctrico, visto desde frente acercándose la onda, oscila conforme la onda se propaga de forma que su extremo traza un círculo, o una elipse, completo cada período, en sentido horario o anti-horario, respectivamente, para polarización circular dextrógira o levógira.
-Para obtener luz polarizada circularmente, se puede hacer uso de una “lámina de un cuarto de onda”, un dispositivo que yuxtapone un polarizador lineal diagonal y una lámina que introduce un desfase de ¼ de longitud de onda entre las dos componentes del campo eléctrico, con el resultado global de convertir luz incidente despolarizada en luz polarizada circular, según se representa en la siguiente figura:
Polarización de ondas electromagnéticas: vídeo en Youtube:
–https://www.youtube.com/watch?v=xuFpWx0bP4E
Producción de fotones polarizados: la birrefrigencia
Una forma de obtener luz polarizada linealmente es hacer uso de los cristales birrefringentes, como la calcita o espato de Islandia (carbonato cálcico, CaCO3), que tienen la propiedad de desdoblar la luz incidente, en general, en dos rayos linealmente polarizados de manera perpendicular entre sí, como si el material tuviera dos índices de refracción distintos. Otros cristales no lineales muy usado en las nuevas tecnologías cuánticas son el «beta-borato de bario», BBO y el cristal de LN (niobato de litio); todos ellos presentan alta birrefringencia, o capacidad de desdoblar un haz de luz incidente en dos rayos polarizados ortogonalmente entre sí, ya que el índice de refracción cambia con el plano de polarización de la luz que lo atraviesa. 
-La birrefringencia, o doble refracción, se produce porque el correspondiente material, debido a su estructura atómica, es anisótropo, esto es, la velocidad de la luz no es la misma en todas las direcciones. En consecuencia, un rayo de luz incidente puede separarse en dos rayos, denominados con frecuencia como «rayo ordinario» y «rayo extraordinario», que resultan con sendas polarizaciones perpendiculares entre sí.
-Existe una dirección particular en un material birrefringente en que ambos rayos se propagan con la misma velocidad, la cual define el eje óptico del cristal; si la incidencia es según esa dirección, no se observa desdoblamiento. Pero cuando la luz incide según una dirección diferente a la que marca ese eje, se producen dos rayos que emergen según diferentes direcciones, determinadas por la del eje óptico; si entonces se hace girar el cristal, el rayo extraordinario gira en el espacio en torno al ordinario.
–La calcita posee una birrefringencia acusada, fácil de constatar al advertir que a su través se forman dos imágenes distintas de cualquier punto situado detrás. Al incidir luz según una dirección distinta a la del eje óptico, la luz se descompone en dos haces, polarizados siempre de forma perpendicular entre sí y según sendas direcciones determinadas por la dirección del eje óptico del cristal. El rayo que apenas se desvía es el denominado como rayo ordinario, que es transmitido con polarización perpendicular al plano del cristal que contiene al eje óptico y a la dirección de incidencia; el rayo muy desviado, o rayo extraordinario, resulta con polarización ortogonal al ordinario y paralela a dirección del eje óptico. La acción de este tipo de cristales se ilustra en las figuras siguientes; para que se dé este efecto, el eje óptico del cristal no debe estar contenido en la cara tallada del cristal sobre la que se produce la incidencia, ni ser perpendicular a ella. Una ventaja adicional frecuente en ellos es que la absorción de la radiación que los atraviesa suele ser mínima.
Serie anterior de figuras:
-Arriba: desdoblamiento de la luz despolarizada al atravesar un cristal de calcita. Cuando la dirección de incidencia no es según el eje óptico, la luz se descompone en dos haces polarizados siempre de forma ortogonal entre sí y según sendas direcciones determinadas por la dirección del eje óptico del cristal. En las figuras, el rayo indicado como ordinario es el que no se desvía en incidencia específica (la primera figura) y es transmitido con polarización horizontal, esto es, perpendicular al plano del cristal que contiene el eje óptico y la dirección de incidencia; el rayo desviado se denomina como extraordinario y resulta con polarización vertical, perpendicular a la del rayo ordinario.
-Abajo: imagen doble de un lápiz a través de un cristal de calcita y dirección del eje óptico en el cristal.
Curiosidad: Los vikingos y la calcita, noticia en ABC:
El misterioso artefacto con el que los vikingos navegaron el Atlántico Norte.
Un divisor de haz o espejo semirreflector (sigla en inglés BS, beam-splitter) es un dispositivo en el que un haz de luz incidente es en parte reflejado y en parte transmitido, usualmente al 50%, en un BS entonces denominado como de tipo 50:50, según se muestra en la figura siguiente:
-Hay diversas maneras de implementar este dispositivo; por ejemplo, es muy frecuente hacer uso de un cubo compuesto por dos prismas de vidrio triangulares que están pegados por la base, de distintas maneras:
● En la figura siguiente se muestra un prisma óptico de Nicol, un diseño pionero de prisma polarizador, que crea un haz de luz polarizada a partir de un haz de luz sin polarizar. Inventado en 1828 por el físico escocés William Nicol, consta de un cristal de calcita romboédrico cortado diagonalmente en dos partes con un ángulo de 68° y unidas luego con pegamento óptico.
-La luz sin polarizar entra por una de las facetas del prisma y se divide en dos haces polarizados debido a la birrefringencia de la calcita. El haz ordinario experimenta un índice de refracción de 1,658 y en el corte diagonal, cuyo pegamento tiene un índice de refracción de 1,55 , experimenta una reflexión interna total que lo dirige hacia la faceta superior. El haz extraordinario experimenta un índice de refracción menor, de 1,486, y no es reflejado, sino que atraviesa la unión diagonal y sale por la faceta opuesta en forma de luz polarizada. El término genérico «Nicol cruzados» se sigue empleando para definir una muestra observada entre polarizadores dispuestos ortogonalmente.
● En la figura siguiente se muestra un prisma de Wollaston, que constituye un divisor de haz y un polarizador a la vez: consta de dos prismas triangulares rectos de calcita unidos por la hipotenusa y con sus ejes ópticos perpendiculares, de forma que la luz se divide en dos rayos con sendas polarizaciones ortogonales que divergen al salir:
La luz y su descripción cuántica: los fotones
¿Qué es un fotón? Sin duda, una de las preguntas más difíciles de responder en física. Las respuestas más usuales suelen ser:
-en física cuántica elemental: una partícula fundamental, el cuanto elemental de la radiación, monocromático, un bosón de espín 1.
-en teoría cuántica de camposEl fotón como excitación del campo: en particular, el cuanto de energía de excitación de un modo monocromático de la radiación cuantizada en una cavidad, al que no tiene sentido concebir como una partícula localizada -el cuanto de energía, de hecho, está repartido por toda la cavidad-, sino como una onda plana cuántica, sin localización espacio-temporal y que posee asociados energía, momento y polarización; en general, el ente descrito en un campo cuantizado multimodal –con infinitas frecuencias o modos de oscilación- por un estado de Fock monofotónico, que viene a ser una superposición de modos de vibración, poseyendo múltiples momentos, energías y polarizaciones, de forma que cualquier rastro del sentido de localización espacio-temporal de una partícula individual ha desaparecido.
-en contextos de propagación localizada: un pulso monofotónico o “paquete de ondas”, emitido de una fuente durante un tiempo limitado Δt y cuya frecuencia angular se distribuye sobre un rango de valores Δω , de forma que Δω∙Δt~1.
-en teoría cuántica de la fotodetección: “un fotón es lo que un fotodetector detecta” (Roy Glauber). Es decir, lo que se detecta de forma localizada en un aparato diseñado específicamente para señalar la presencia de radiación –los fotodetectores-, y que siempre se corresponde con valores determinados de frecuencia y polarización. En este contexto, podemos entonces definir la detección de un fotón con una precisión limitada por el tamaño del átomo que lo absorbe en el detector -que puede ser menor que su longitud de onda-, proporcionando así un sentido operacional al concepto de localización espacial de un fotón. Por tanto, un fotón está donde el fotodetector lo detecta, detección consistente en la absorción completa de un cuanto de energía hυ del campo electromagnético y que conlleva la aniquilación del fotón.
Ninguna de las respuestas anteriores puede calificarse como más correcta que las otras, y dependiendo del contexto teórico-experimental concreto, se trabajará asumiendo una u otra herramienta. En esta web, vamos a describir variados experimentos en los que aludiremos a radiación compuesta por pulsos monofotónicos, es decir, que se presentan en el aparato correspondiente “de uno en uno” y se propagan de forma localizada siguiendo caminos ópticos. Pareciera entonces indispensable abordar en detalle cuál es la expresión de la función de onda de un fotón. Pero no es posible, y no sólo porque sea demasiado complicado: hoy en día no existe una función de onda aceptada en todos los contextos para el fotón, constituyendo un tema de investigación abierto en que se van publicando numerosos y diferentes enfoques. Y, además, si la hubiere en el futuro, su interpretación probabilística como una amplitud de probabilidad de posición seguiría sin ser aplicable.
-Richard Feynmann dijo una vez que a la pregunta “¿dónde está el fotón?”, la respuesta es “nadie lo sabe, y lo mejor es que no se intente pensar sobre ello”. Y es que, para un tratamiento correcto cuántico riguroso de la luz, hay que acudir a la electrodinámica cuántica, en la que los campos eléctricos y magnéticos se cuantizan y un fotón se conceptualiza como un modo de excitación normal del campo, perdiendo sentido la pregunta sobre su localización.
-En consecuencia, al hablar a partir de aquí de la función de onda de un fotón individual, vamos a incurrir en una simplificación extrema, limitándonos a una descripción de los fotones por estados cuánticos asociados a su propiedad física –observable- polarización, sin entrar en cuál sería la función de onda completa e intentando no imaginar al fotón como una partícula, ni siquiera como una onda-partícula. La descripción del fotón escapa a las analogías clásicas, y también a la ecuación de Schrödinger, válida sólo como aproximación no relativista para partículas materiales. El fotón no cumple ninguna de las dos condiciones: ni es material ni va despacio. Se necesitaría un formidable arsenal teórico especializado –entrar en óptica cuántica- para un tratamiento adecuado de la luz, pero, afortunadamente, no necesitamos nada más que unos pocos rudimentos para poder abordar las principales aplicaciones de la información cuántica, que manejan principalmente fotones.
Se hace necesario ahora incorporar el formalismo matemático mínimo que vamos a necesitar para representar los estados de polarización fotónicos (teniendo siempre presente la advertencia anterior sobre lo problemático del concepto integral de función de onda de un fotón). Hemos visto antes como cualquier campo eléctrico se puede descomponer en la suma de dos componentes perpendiculares entre sí. Cuando como direcciones para realizar la descomposición elegimos, respectivamente, las direcciones perpendiculares correspondientes a los sendos ejes X e Y de un sistema rectangular de ejes coordenados cartesianos OXYZ, reservando el eje Z para la dirección de propagación de la radiación, el estado de oscilación instantáneo de un fotón, entendido como su polaridad, se podrá expresar como la suma superpuesta de los dos estados integrantes de cualquiera de las bases disponibles, por ejemplo, la base de polarización Horizontal/Vertical, 
-En general, entonces, un estado de polarización arbitrario vendrá expresado por la superposición de los dos kets básicos con coeficientes constantes arbitrarios:
donde 
Muchos experimentos involucran haces de luz preparados de forma que poseen asociada una dirección de propagación, como la luz que procede de un láser, en contraste con la multiplicidad de ellas que exhibe la luz de casi todas las fuentes luminosas naturales. En Óptica, la forma usual de conseguirlo es hacer uso de diafragmas, pantallas opacas con pequeños orificios que dejan pasar la luz. Manejando intensidades muy pequeñas de luz incidente, parece obligado incorporar a la descripción la naturaleza fotónica de la luz, de forma que cada fotón individual incidente o es absorbido por la pantalla o pasa a través del agujero, en las dos posibilidades siempre de forma íntegra. Para los fotones que continúan su propagación tras el diafragma, tiene entonces sentido asociarles no sólo una frecuencia, en términos de la cual la energía de cada fotón viene dada según 
Disponer en la práctica de una fuente de luz monofotónica no es fácil. Es importante precisar, que, para conseguir auténtica radiación monofotónica, compuesta de pulsos de un solo fotón, no basta con atenuar mucho la intensidad de la radiación incidente. La condición uno a uno, o de pulsos monofotónicos, sabemos hoy que requiere utilizar luz integrada por fotones “anti-agrupados” (antibunched), un tipo de luz no clásica –es decir, sin descripción posible en teoría electromagnética sin cuantización del campo- que garantiza que nunca pueda producirse la coincidencia de dos fotones o más en cada evento experimental. Con este tipo de luz se empezó a trabajar en rigor a partir de la década de los ochenta, después de que Philippe Grangier, Gérard Roger y Alain Aspect publicaran, en 1986, los primeros experimentos de interferencia con luz verdaderamente establecida como monofotónica (lo que conllevó la denuncia de la inadecuación de algunos experimentos publicados con anterioridad y proclamados erróneamente como realizados con fotones uno a uno).
¿Cómo puede garantizarse que la luz empleada es auténticamente monofotónica? En 1986 Grangier et al, empleando fotones entrelazados producidos en la desintegración en cascada de átomos de Ca, publican los primeros experimentos de interferencia que defienden como ¡los primeros realizados con luz auténticamente monofotónica!:
P. Grangier, G. Roger and A. Aspect, Experimental Evidence for a Photon Anticorrelation Effect on a Beam Splitter: A New Light on Single-Photon Interferences, Europhysics Lett. 1 (4), 1986, 173-179.
Abstract: We report on two experiments using an atomic cascade as a light source, and a triggered detection scheme for the second photon of the cascade. The first experiment shows a strong anticorrelation between the triggered detections on both sides of a beam splitter. This result is in contradiction with any classical wave model of light, but in agreement with a quantum description involving single-photon states. The same source and detection scheme were used in a second experiment, where we have observed interferences with a visibility over 98%.
During the past fifteen years, nonclassical effects in the statistical properties of light have been extensively studied from a theoretical point of view, and some have been experimentally demonstrated. All are related to second-order coherence properties, via measurements of intensity correlation functions or of statistical moments. However, there has still been no test of the conceptually very simple situation dealing with singlephoton states of the light impinging on a beam splitter. In this case, quantum mechanics predicts a perfect anticorrelation for photodetections on both sides of the beam splitter (a single-photon can only be detected once!), while any description involving classical fields would predict some amount of coincidences. In the first part of this letter, we report on an experiment close to this ideal situation, since we have found a coincidence rate, on both sides of a beam splitter, five times smaller than the classical lower limit.
When it comes to single-photon states of light, it is tempting to revisit the famous historical «single-photon interference experiments«. One then finds that, in spite of their denomination, none has been performed with single-photon states of light. As a matter of fact, all have been carried out with chaotic light, for which it is well known that quantum second-order coherence properties cannot be distinguished from classical ones, even with a strongly attenuated beam. This is why we have carried out an interference experiment with the same apparatus as used in the first experiment, i.e., with light for which we have demonstrated a property characteristic of single-photon states.
Descripción de la experiencia: sea el montaje de la figura siguiente, preparado para señalar «detección en coincidencia» ; contiene un divisor de haz, BS 50:50, esto es, un espejo semirreflector que refleja y transmite al 50% , con igual probabilidad, la luz incidente (y que, idealmente, no absorbe nada de radiación), y dos detectores de radiación preparados para recoger los pulsos reflejado y transmitido. Cuando la luz incidente esté compuesta por estados de un solo fotón, señalarán siempre en anticoincidencia, el mismo número total de veces, pero nunca a la vez, ya que un fotón individual nunca se divide: o se transmite, o se refleja, pero siempre en su totalidad. Por lo tanto, el dispositivo mostrado en la figura puede servir para comprobar ese carácter monofotónico de la luz incidente, ya que, al hacer incidir los fotones de uno en uno, los dos detectores nunca señalarán radiación a la vez (nunca se disparan en coincidencia: no hacen “clic” en la misma ventana temporal, correspondiente a cada evento individual). De modo que, bajo incidencia monofotónica, en pura teoría nunca deberían detectar señales en coincidencia.
El que así se observe experimentalmente, será una confirmación de que la luz incidente es verdaderamente monofotónica.
Éste fue el procedimiento que utilizaron Grangier et al en el artículo antes citado de 1986, consiguiendo unos resultados imposibles de reproducir con una teoría semi-clásica, esto es, que no involucre cuantización de la radiación electromagnética en sí misma: se deriva, por tanto, la necesidad de introducción del concepto teórico de «fotón».
- En el caso de que se hagan incidir pulsos de luz monofotónica, esto es, fotones de uno en uno, no hay manera de conocer de antemano cuál de las dos posibilidades, reflexión o transmisión, va a ser observada para cada fotón individual, y lo mismo para un divisor polarizador, siempre que la luz incidente no hubiese sido ya polarizada en uno de los dos posibles estados de salida. Es decir, centrándonos en un divisor de haz de tipo 50:50 genérico, si no añadimos detectores de radiación a ambos lados del dispositivo la función de onda del sistema es una superposición de dos posibilidades, sendos sumandos que describen uno el fotón transmitiéndose y otro el fotón reflejándose.
Siguiente pregunta que nos planteamos: ¿cómo se podría medir la polarización lineal de un fotón sin riesgo elevado de perderlo? O sea, ¿qué podemos hacer para medir la polarización de un fotón, en el sentido antes indicado, y poder seguir disponiendo de él? Pues, por ejemplo, emplear un cristal birrefringente, como la calcita. Este material, según hemos expuesto antes, además de, con la adecuada geometría, no absorber casi ningún fotón incidente, tiene la propiedad de desdoblar un haz de luz no polarizada incidente sobre su superficie –siempre que la incidencia no sea según la dirección de su eje óptico- en dos haces de polarizaciones respectivas ortogonales entre sí: el ordinario, que no sufre desviación y resulta polarizado H (elegimos los estados de una base con el eje X según esta dirección de polarización), y el extraordinario, que sufre desviación y sale con polarización V (eje Y según esta dirección de polarización; como venimos haciendo, el eje Z se toma según la dirección de incidencia).
- Incorporando una descripción de la luz en términos de fotones, la descripción de la luz en términos de ondas electromagnéticas es fácilmente trasladable al conjunto de fotones: basta interpretar que estos se distribuyen entre los dos haces transmitidos, unos en el haz ordinario, sin desviarse y con polarización perpendicular al eje óptico, y otros en el haz extraordinario, con la polarización ortogonal, paralela al eje óptico. Pero, ¿podemos prever lo que pasará con cada fotón en el haz? O, planteado de forma equivalente, si suponemos que la luz que incide lo hace fotón a fotón sobre la calcita (en otros términos, que está compuesta de pulsos monofotónicos), ¿qué sucederá con cada fotón individual? ¿Sufrirá desviación o no?, es decir, ¿hará transmisión normal o extraordinaria? Porque el fotón es indivisible, así que no puede repartirse entre los dos tipos de transmisiones.
En el formalismo cuántico, como ya sabemos, la respuesta es probabilística. En efecto, una vez escrito el estado de cada fotón incidente en, por ejemplo, la base de polarizaciones horizontal-vertical,
donde 
-Pues bien, la predicción teórica cuántica es que hay una probabilidad 
-Para el fotón transmitido sin desviarse, al salir de la calcita, su descripción cuántica pasa a ser un estado 
La acción de proyección nos proporciona pues la probabilidad de que, por la acción de la medida de una variable, se produzca el colapso hacia el correspondiente estado H o V.
- En particular, supongamos que el haz incidente sobre la calcita está completamente despolarizado (o sea, en promedio, la luz se reparte al 50% en dos modos de polarización ortogonales). Este tipo de luz está compuesta de fotones cuyos campos eléctricos estarán orientados al azar, cambiando muy rápidamente y de forma aleatoria entre todas las direcciones en innumerables planos (pero siempre oscilando de forma perpendicular, en cada instante, a la dirección de propagación). Para su descripción matemática, se puede considerar -entre otras muchas alternativas- como compuesta en un 50% por luz polarizada horizontalmente, a cuyos fotones asociamos el estado cuántico
El resultado observado es que la mitad de los fotones continúan sin desviarse y resultan con polarización H, y la otra mitad se desvía; a priori, la teoría sólo predice para cada fotón individual que posee igual probabilidad de acabar de una forma que de la otra, y no es posible saber de antemano qué suerte experimentará cada fotón concreto.
-Cuando un haz de luz polarizada circularmente atraviesa un cristal birrefrigente (como calcita o cuarzo), el cristal actúa generalmente como una lámina retardadora, transformando la polarización circular en una polarización elíptica (o lineal, en casos especiales). Este fenómeno ocurre porque el cristal birrefrigente posee dos índices de refracción distintos, lo que hace que los componentes de la luz viajen a diferentes velocidades a lo largo de los ejes «rápido» y «lento» del cristal, provocando un desfase entre ellos, en un efecto que depende del tipo de material específico que se atraviesa, sus índices de refracción, y de su espesor, y de la longitud de onda de la radiación incidente. Como casos especiales, puede pasar que la luz circularmente polarizada acabe convertida en luz linealmente polarizada («lámina de cuarto de onda», cuando se introduce un dasfase de 90º), o que sólo se inviertir el sentido de la polarización circular, de dextrógira a levógira, o viceversa («lámina de media onda», desfase de 180º).
R. Machorro, UABC, práctica de Laboratorio de Óptica, 2002.
¿Y qué pasará cuando el fotón incidente sobre un cristal de calcita venga ya polarizado linealmente? Es decir, si ese fotón ha atravesado antes un filtro de polarización que ha determinado su estado, ¿por cuál de los dos canales de salida va a transmitirse? La respuesta está clara: depende de la orientación relativa entre la polarización que trae y la del eje óptico de la calcita. En particular, cuando lo que incide sobre el cristal de calcita es un fotón polarizado diagonalmente, sucederá lo mismo que para luz despolarizada o polarizada circularmente; 50 % de probabilidad para cada fotón de emerger por el canal ordinario (H) o por el extraordinario (V). Y si la incidencia es de un fotón polarizado H (β=0), entonces siempre -100% de probabilidad- saldrá por el canal ordinario (no se altera); si incide un fotón V (α=0), 100% de probabilidad –certeza-de que saldrá por el canal extraordinario, desviándose pero conservando la polarización V.
-La siguiente figura nos ilustra todas algunas posibilidades al encadenar cristales birrefrigentes:
En cualquier caso, repárese en que la calcita nos proporciona un método eficaz de lograr separar un haz de fotones en dos grupos caracterizados por uno de los dos valores, H o V, de una variable física dicotómica, la polarización lineal: un mecanismo de implementación física de una serie de bits, 
La ventaja del cristal de calcita, respecto a los filtros de polarización lineal, es evidente: al no producirse absorción de fotones en el cristal, no perdemos fotones del haz incidente, solo los forzamos a determinar su polarización. Las direcciones H y V que selecciona la calcita se pueden cambiar –pero siempre se mantendrán su ortogonalidad- sin más que girar el cristal de calcita, en torno a la dirección de incidencia, un ángulo θ, puesto que cambiará la dirección del eje óptico y con ello las correspondientes componentes paralela y perpendicular a él del campo eléctrico del fotón. El efecto, en términos matemáticos, es el de conseguir el cambio de base a la H’-V’: ejes X’-Y’ girados ese determinado ángulo θ respecto a la anterior posición (el eje Z, correspondiente a la dirección de propagación, se conserva: Z’=Z).
Como ejemplo final: sea un haz de luz polarizada linealmente a 45º que atraviesa tres cristales birrefringentes sucesivos; el resultado principal es una modificación progresiva del estado de polarización y una posible variación en la intensidad final, dependiendo de la orientación y el grosor de cada cristal:
- En el caso general, al incidir en ángulo a respecto al eje óptico (línea neutra) del primer cristal, el campo eléctrico de la luz se descompone en dos componentes ortogonales de igual amplitud. Debido a la birrefringencia, estas dos componentes viajan a velocidades diferentes (rayo ordinario y extraordinario), lo que genera un desfase entre ellas. Dependiendo del material y del grosor de cada cristal (que actúa como una lámina retardadora), el estado de polarización va cambiando tras cada etapa:
-Primer cristal: Si genera un desfase de 45º (lámina de cuarto de onda), la luz sale con polarización circular. Si el desfase es distinto, saldrá con polarización elíptica.
-El segundo y tercer cristal actúan sobre el estado de polarización ya modificado por el cristal anterior. Esto puede llevar la luz de circular a lineal nuevamente (en otra dirección), o mantenerla elíptica.
-Si los cristales actúan como polarizadores, esto es, si están configurados para dejar pasar solo una dirección (polarizadores dicroicos) y cada uno está rotado 45º respecto al anterior, la intensidad se reducirá en cada paso y, tras atravesar los tres filtros, la intensidad final sería 1/8 de la inicial (0,5 al cubo).
–Interferencias y color: si la luz es blanca, la sucesión de cristales y su orientación relativa provocará que ciertas longitudes de onda sufran interferencias destructivas, resultando en la aparición de colores de interferencia.
-Y si suponemos incidencia con luz monofotónica, el fenómeno deja de ser una división de intensidad y se convierte en una cuestión de probabilidades y superposición cuánticas. Al llegar al primer cristal a 45°, el fotón no se «divide», sino que entra en una superposición cuántica de dos estados (el camino del rayo ordinario y el del extraordinario). Al atravesar cada uno de los tres cristales, lo que cambia entopnces en la descripción es la fase relativa entre esos dos estados (el equivalente cuántico a cambiar la polarización elíptica en la luz clásica). La polarización final (tras los tres cristales) en la descripción clásica determina entonces la probabilidad de que el fotón sea detectado si se dispusiera un detector al final. Por ejemplo, si la combinación de los tres cristales equivale a una rotación de 90°, y se coloca un filtro en la dirección original, el fotón tendría un 0% de probabilidad de pasar.
–Nunca hay pérdida parcial: a diferencia de lo que sucede en el caso clásico para un haz, donde la intensidad puede ser el 12.5%, un fotón único o pasa completo o se absorbe/desvía. Si en la configuración clásica se predijera una pérdida de intensidad del 50%, un fotón individual tendrá un 50% de probabilidad de llegar al final del trayecto. - En resumen: los cristales alteran la probabilidad de medir al fotón en un estado determinado, pero el fotón mantiene su integridad como partícula hasta que es medido.
Bibliografía
https://www.microscopyu.com/techniques/polarized-light/
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