Tipologías de luz

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Fuentes: esta entrada se basa principalmente en:

Caps. 5 y 7, Introductory Quantum Optics, de Gerry y Knight ([GER-05]).
Cap. 5, Quantum Optics, de Garrison y Chiao ([GAR-08]).
Caps. 5 y 6, Quantum Optics. An introduction, de M. Fox ([FOX-04]).

Estadísticas fotónicas

Luz poissoniana

Los estados coherentes de luz, o estados Glauber, siguen una estadística de Poisson, de forma que, sobre un estado de Glauber (autoestado del operador destrucción $\hat{a}$ ):

-Valor medio del operador número y su cuadrado; indeterminación:
$\overline{n}=<\alpha|\hat{n}|\alpha>=|\alpha|^2$
$<\alpha|\hat{n}^2|\alpha >=$ $|\alpha |^4+|\alpha |^2= \overline{n}^2+\overline{n}$
$\Delta_{\alpha} \hat{n}=\sqrt{<\hat{n}^2>-<\hat{n}>^2}=\overline{n}^{\frac{1}{2}}$

$\rightarrow$ expresión característica de la distribución estadística de Poisson.

-Probabilidad de que el resultado de la medida del número de fotones en el campo, sobre un estado coherente $|\alpha>$ , sea $n$ :
$P(n)=|<n|\alpha>|^2=e^{-\overline{n}}\ \frac{\overline{n}^n}{n!}$

$\rightarrow$ probabilidad correspondiente a una distribución de Poisson:

estadística fotónica — Probabilidad de detectar n fotones, distribución estadística en número de fotones, para un estado coherente. El número medio de fotones es igual a la varianza de la distribución en número de fotones, como debe ser en una distribución de Poisson. Las barras refieren a la teoría, los puntos son valores experimentales (texto e imagen de la Wikipedia).

Estadística fotónica en estados coherentes (imagen de 2015 en http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_3/ls3_u3/ls3_unit_3.html).

La luz asociada a la distribución de Poisson es luz cuasi-clásica: la luz perfectamente coherente de un haz de intensidad constante, o la mayoría de la luz procedente de fuentes astronómicas, por ejemplo, pertenece a este tipo.

-Un histograma de los fotones detectados por intervalo de tiempo sigue en este caso la distribución estadística de Poisson:

-Esta luz está compuesta por fotones distribuidos al azar sobre grandes distancias, de manera que los fotones van siendo detectados con grandes variaciones en el contaje (CCD=Charge Coupled Device):

Fotones de fuente astronómica no variable — Fotones de una fuente astronómica débil y no variable en incidencia sobre un detector CCD. Ya que se trata de un ejemplo de señal baja, es fácil observar que se producen variaciones substanciales en el número de fotones detectados a intervalos de un segundo. Imagen y texto de: http://www.vikdhillon.staff.shef.ac.uk/teaching/phy217/detectors/phy217_det_poisson.html.

Clasificación de la luz por estadística

Existen más estadísticas fotónicas, además de la de Poisson:

Junto con el valor $\Delta \hat{n}$ , el denominado parámetro $Q$ , definido como

$Q=\frac{<(\Delta \hat{n})^2>-<\hat{n}>}{<\hat{n}>}$ ,

permite clasificar las distintas estadísticas fotónicas:

Luz poissoniana o coherente: $\Delta \hat{n}=\sqrt{\overline{n}}\quad , \quad Q=0$ .

Luz super-poissoniana: $\Delta \hat{n}> \sqrt{\overline{n}}\quad , \quad Q>0$ .

Luz sub-poissoniana: $\Delta \hat{n}< \sqrt{\overline{n}}\quad , \quad -1 \le Q<0$ .

Presentación por M. Krottenmüller: Estadísticas fotónicas

Estadísticas fotónicas en Wolfram

Luz super-poissoniana

$\Delta \hat{n}> \sqrt{\overline{n}}$

Esta estadística corresponde a una luz en la que se producen fluctuaciones de intensidad, por ejemplo, luz clásica en que la intensidad no se mantiene constante.

-Ejemplos: la radiación térmica o negra; la luz parcialmente coherente (caótica) de las rayas espectrales producidas en un tubo de descarga: el flujo de fotones no es constante debido a las fluctuaciones en la intensidad de la luz sobre una escala de tiempos de orden de magnitud del tiempo de coherencia.

-Es decir, medidas en un intervalo temporal $T\approx \tau_c$ recogerán luz super-poissoniana (efecto HBT); medidas en $T \gg \tau_c$ recogerán en cambio luz poissoniana, ya que las variaciones de intensidad en esta escala temporal no se apreciarán.

-Es una luz con más ruido que la perfectamente coherente: en el sentido clásico de presentar variaciones de intensidad, y en el sentido cuántico de presentar mayores fluctuaciones en el número de fotones.

-Es un efecto clásico.

Luz sub-poissoniana

$\Delta \hat{n}< \sqrt{\overline{n}}$

Esta estadística corresponde a una luz sin análogo clásico, en la que la intensidad también se mantiene constante.

-En algún sentido, se trata de luz más estable que la perfectamente coherente: una conceptualización sería la de un haz en que todos los fotones poseen una misma separación temporal constante $\Delta t$ , de forma que el contaje en un tiempo $T$ sería siempre el mismo número entero de fotones $\overline{n}$ , y $\Delta \hat{n}=0$ .

Los estados de Fock $|n>$ , autoestados del operador número, responden a esta estadística, constituyendo la forma más pura de luz sub-poissoniana.

Clasificación de la luz por la función de coherencia $g^{(2)}(\tau)$

Las funciones de correlación temporal de segundo orden, clásica y cuántica, se definen:

$g^{(2)}(\tau)=\frac{<E^*(t)E^*(t+\tau)E(t)E(t+\tau)>}{<|E(t)|^2><|E(t+\tau)|^2>}=\frac{<I(t)I(t+\tau)>}{<I(t)><I(t+\tau)>}$ ,
donde $<>$ indica promedio sobre un intervalo de tiempo $T$ suficientemente largo; $E(t)$ y $I(t)$ representan, respectivamente, la intensidad del campo eléctrico y de la radiación en el instante $t$ , $<C(t,\tau)>=\frac{1}{T}\int_T \ C(t,\tau)dt$
-Mientras que $g^{(1)}(\tau)$ cuantifica las fluctuaciones temporales del campo eléctrico $E$ , la de segundo orden $g^{(2)}(\tau)$ cuantifica las fluctuaciones temporales de la intensidad de la radiación $I$ .
$g_Q^{(2)}(\tau)=\frac{\left\langle \hat{E}^-(t)\hat{E}^-(t+\tau)\hat{E}^+(t+\tau)\hat{E}^+(t)\right\rangle}{<\hat{E}^-(t)\hat{E}^+(t)> <\hat{E}^-(t+\tau)\hat{E}^+(t+\tau)>}$ ,
representando la probabilidad condicional de que se detecte, en una posición dada, un fotón en $t$ y también otro en $t+\tau$ , esto es, con un retardo $\tau$ .
-Si $g_Q^{(2)}(\tau)=1$ , entonces los fotones van llegando de forma independiente.
-Puede esperarse que $\lim_{\tau \rightarrow \infty} g_Q^{(2)}(\tau)\rightarrow 1$ para cualquier estado del campo, es decir, que, transcurrido un intervalo de tiempo suficientemente grande, la memoria del primer fotón detectado desaparezca.

Función de correlación de segundo orden (imagen de https://www.kth.se/social/files/5cb1833856be5bf03c8165fa/Lecture%203%20Second-order%20Intensity%20Correlation%20Function.pdf )

Véase http://qutip.org/docs/3.1.0/guide/guide-correlation.html .

En función del valor que tome la función de correlación cuántica temporal de segundo orden, $g^{(2)}_{Q}(\tau)$ , la luz se clasifica como:

A) Primer criterio de clasificación:

-Por el valor $g_Q^{(2)}(\tau)$ respecto a su valor en el origen: clasificación por bunching:

A1: $g_Q^{(2)}(\tau)< g_Q^{(2)}(0)$ : Luz agrupada o aglutinada (bunched light, photon bunching):

-Los fotones tienden a aparecer juntos, agrupados en paquetes: hay alta probabilidad de que se produzcan detecciones en coincidencia de fotones.
-La probabilidad de que se produzca la detección de un segundo fotón después de un retardo $\tau$ decrece con $\tau$
-El efecto no es posible sobre un estado de un solo modo de campo.
-Se trata de luz parcialmente coherente, caótica.
-Es un efecto clásico.
A2: $g_Q^{(2)}(\tau)> g_Q^{(2)}(0)$ : Luz anti-agrupada (photon antibunching):
-Los fotones tienden a aparecer separados, llegando con intervalo temporal de separación fijo.
-La probabilidad de que se produzca la detección de un segundo fotón después de un retardo $\tau$ crece con $\tau$ .
-La probabilidad de que se produzcan detecciones en coincidencia de fotones en un intervalo $\tau$ es menor que en el caso de estado coherente.
-El efecto no es posible sobre un estado de un solo modo de campo.
-Luz totalmente incoherente.
–Luz no clásica.
-Empieza a estudiarse experimentalmente sobre todo a partir de 1977: H. Paul, Photon antibunching: «Nonlinear interaction mechanisms like multiphoton absorption and parametric three-wave interaction are suited to change the photon statistical properties of incident (in most cases coherent) light such that the output field will be endowed with antibunching properties».
A3: $g_Q^{(2)}(\tau)= g_Q^{(2)}(0)$ :Luz aleatoria (random) o desagrupada: ni agrupada ni anti-agrupada:
-Los fotones se presentan aleatoriamente.
-Ejemplo: la luz perfectamente coherente.
–Efecto clásico.

Agrupamientos fotónicos — Posibles tipos de agrupamientos fotónicos: detecciones de fotones como función del tiempo para un a) *antibunchin*g (p. ej. luz emitida por un solo átomo), b) luz *random* o aleatoria (p. ej. un estado coherente, haz de láser), y c) *bunching* (luz caótica); τc es el tiempo de coherencia (la escala de tiempo de las fluctuaciones del fotón o de la intensidad) (Wikipedia).

B) Segundo criterio de clasificación:

-Por el valor $g_Q^{(2)}(0)$ respecto a la unidad (resurge la clasificación por estadística):

B1: Cuando $g_Q^{(2)}(0)\ge 1$ : luz no sub-poissoniana.

Luz antiagrupada pero no subpoissoniana. — Ejemplo de luz no subpoissoniana (y, en este caso, antiagrupada) (imagen de la Wikipedia).

B1.1: Cuando $g_Q^{(2)}(\tau)=g_Q^{(2)}(0)=1$ : Luz perfectamente coherente, poissoniana.
-Ejemplo: campo en uno de los estados coherentes de Glauber, $|\alpha>$ .
B1.2: Cuando $g_Q^{(2)}(0)>1$ : Luz parcialmente coherente o caótica, agrupada.
-Ejemplo: Para un campo en un modo monocromático térmico: $g_Q^{(2)}(\tau)=g_Q^{(2)}(0)=2>1$ (alta probabilidad de detección de fotones en coincidencia).
-Ejemplo: Toda la luz clásica (poissoniana y super-poissoniana).

B2: Cuando $g_Q^{(2)}(0)<1$ : luz sub-poissoniana.
-Ejemplo: Sobre un estado de Fock $|n>$ , autoestado del operador número: $g_Q^{(2)}(0)=\frac{n(n-1)}{n^2}<1$ .
-En particular, para un estado de Fock de un solo fotón, $\hat{n}|\Psi>=|\Psi>$ , se tiene $g_Q^{(2)}(0)=0<1$ .
-La condición puede ser simultánea con la de antibunching o no: son efectos diferentes:
X. Y. Zou and L. Mandel, ‘‘Photon-antibunching and subPoissonian photon statistics’’, Phys. Rev. A 41, 475-476(1990).
-La condición indica también anti-bunching cuando, siempre que $g_Q^{(2)}(\tau)$ no sea constante, se tenga $\lim_{\tau \rightarrow \infty} g_Q^{(2)}(\tau)\rightarrow 1$
-Por ejemplo, para el caso de un solo modo de excitación de campo, se tiene $g_Q^{(2)}(\tau)=g_Q^{(2)}(0)$ , constante, y no hay anti-bunching.

Luz subpoissoniana (y, en este caso, antiagrupada): un valor de g(2) por debajo de la línea discontinua negra solo puede ocurrir en un modelo cuántico de la luz. La curva roja muestra el g(2) de luz «antibuncheada» y sub-Poissoniana emitida por un solo átomo estimulado por un haz de láser (imagen y texto de la Wikipedia).

-Es luz no clásica.

Luz coherente y luz comprimida o squeezed

Un estado de luz se define como cuadráticamente comprimido (cuadrature squeezed state) cuando: bien $\Delta_{sq} \hat{X_1} <\frac{1}{2}$ , bien $\Delta_{sq} \hat{X_2} <\frac{1}{2}$ .

-Por lo tanto, los estados squeezed no son en general estados MUS, o estados de mínima indeterminación (minimum uncertainty state), ya que sobre ellos no necesariamente se satura el principio de indeterminación, alcanzándose el mínimo producto de indeterminaciones:

$(\Delta_{sq} \hat{X_1})(\Delta_{sq}\hat{X_2})\ge \frac{1}{4}$ ,

donde $\hat{X_i}\;,\;i=1,2$ , representan los operadores de cuadratura del campo electromagnético:

Los operadores hermíticos cuadratura del campo, $\hat{X}_1$ y $\hat{X}_2$ , se definen según:

$\hat{X}_1=\frac{1}{2}(\hat{a}+\hat{a}^+)$

$\hat{X}_2=\frac{1}{2i}(\hat{a}-\hat{a}^+)$

y cumplen:

$[\hat{X}_1,\hat{X}_2]=\frac{i}{2}$

$\Rightarrow (\Delta \hat{X}_1)(\Delta \hat{X}_2)\ge \frac{1}{4}$

$\hat{E}_x(z,t)=2\mathcal{E}_0\sin(kz)(\hat{X}_1\cos \omega t +\hat{X}_2\sin \omega t )$

-Estos operadores se asocian a sendas amplitudes de oscilación en cuadratura, esto es, desfasadas entre sí $\frac{\pi}{2}$ radianes.

-En la representación número de fotones:

$<n|\hat{X}_1|n>=<n|\hat{X}_2|n>=0$

$<n|\hat{X}_1^2|n>=<n|\hat{X}_2^2|n>=\frac{1}{4}(2n+1)$

de manera que el principio de indeterminación satura sobre el vacío, ya que:

$\Delta_0 \hat{X}_1=\Delta_0 \hat{X}_2=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \Delta_0 \hat{X}_1 \Delta_0 \hat{X}_2=\frac{1}{4}$ ,

esto es, el vacío es un estado MUS.

-También los estados coherentes $|\alpha>$ (estados de Glauber) son estados MUS:

$\Delta_{\alpha} \hat{X}_1=\Delta_{\alpha} \hat{X}_2=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\Delta_{\alpha} \hat{X}_1) (\Delta_{\alpha} \hat{X}_2)=\frac{1}{4}$

Los estados comprimidos $|sq>$ son estados sobre los que la indeterminación de uno de las dos operadores cuadratura del campo $X_i$ es menor que $\frac{1}{2}$ , por lo que la del otro, $X_j\;,\;j\ne i$ ha de ser mayor que $\frac{1}{2}$ , de forma que sobre ellos las indeterminaciones de los dos operadores cuadratura son diferentes.

Los estados comprimidos $|sq>$ son estados sobre los que uno de los dos operadores cuadratura posee menos ruido que sobre un estado MUS como el vacío o como cualquier estado coherente; el otro, en cambio, posee más ruido.

-Algunos estados comprimidos pueden también saturar la desigualdad del principio de indeterminación, es decir, pueden ser estados MUS, pero en general no lo son.

-La compresión o squeezing no es un fenómeno clásico.

Clasificación de la luz en términos de su compresión o squeezing:

Luz no comprimida: $\Delta \hat{X_1} \ge \frac{1}{2}\quad \mbox{y} \quad \Delta \hat{X_2}\ge \frac{1}{2}$
-Ejemplo: toda la luz clásica.
Luz comprimida: $\Delta \hat{X_1} <\frac{1}{2} \quad \mbox{o} \quad \Delta \hat{X_2} <\frac{1}{2}$

Luz cuasi-clásica (cuántica) y no-clásica (radicalmente cuántica)

-Sea el parámetro:

$\mathbb{Q}=\frac{<(\Delta \hat{n})^2>-<\hat{n}>}{<\hat{n}>}$ .

Entonces:
A) Luz clásica (¡también cuántica!):

$g_Q^{(2)}(0)\ge 1 \quad ; \quad g_Q^{(2)}(\tau)> g_Q^{(2)}(0)\quad ; \mbox{ambos} \quad \Delta \hat{X_i} (i=1,2) \ge \frac{1}{2}$ .

–Perfectamente coherente cuando $g_Q^{(2)}(0)=g_Q^{(2)}(\tau)=1$ ; $\mathbb{Q}=0$ (fotones al azar).

–Parcialmente coherente o caótica cuando $g_Q^{(2)}(0)>1$
-Superpoissoniana: $\mathbb{Q} >0$ (fotones agrupados).
-Nunca subpoissoniana.
-Nunca anti-agrupada.
-Nunca comprimida.

B) Luz no clásica (o radicalmente cuántica):

$g_Q^{(2)}(0)< 1 \quad \mbox{o} \quad g_Q^{(2)}(\tau)< g_Q^{(2)}(0)\quad \mbox{o} \quad\Delta \hat{X_1} <\frac{1}{2}\quad \mbox{o} \quad\Delta \hat{X_2} <\frac{1}{2}$

–Sub-poissoniana cuando $g_Q^{(2)}(0)< 1$ ; $\quad -1 \le \mathbb{Q}<0$ .

–Anti-agrupada cuando $g_Q^{(2)}(\tau) < g_Q^{(2)}(0)$ .

–Comprimida cuando $\Delta \hat{X_1} <\frac{1}{2} \quad \mbox{o} \quad \Delta \hat{X_2} <\frac{1}{2}$ .

ERstadísticas y correlaciones fotónicas: diapositiva de la presentación por — Diapositiva tomada de la presentación «Photon statistics«, por M. Krottenmüller, Technische Universität München, 2013.

-Nota: un criterio claro de clasicidad/no-clasicidad para un estado de luz puede darse en términos de la distribución de cuasi-probabilidad $P(\alpha)$ , o función de Glauber-Sudarshan, definida como la función tal que

$\hat{\rho}=\int P(\alpha)|\alpha><\alpha| \ d^2\alpha$

$\rightarrow$ Se consideran cuasi-clásicos los estados de luz para los cuales $P(\alpha)$ es positiva o «no más singular que una función delta» (cf. [GER-05], p. 60).

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Bibliografía

[FOX-04] Fox, M.; Quantum Optic. An introduction. Oxford Univ. Press; Oxford, 2004. ISBN: 0?19?856672?7, 978?0?19?856672?4.

[GAR-08] Garrison, J. C. and R. Y. Chiao, Quantum Optics, Oxford Univ. Press, Oxford, 2008. ISBN: 978-0-19-850886-1.

[GER-05] Gerry, C. C. and Knight, P. L., Introductory Quantum Optics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005. ISBN: 0-521-82035-9.

Daniel Adam Steck, notes in Quantum and Atom Optics

L. Scheel, Lecture notes in Quantum Optics:

Lehre_Scheel/quantenoptik/Quantenoptik-Vorlesung3.pdf

Lehre_Scheel/quantenoptik/Quantenoptik-Vorlesung5.pdf

Representaciones gráficas del campo cuántico en cavidades: Cavity Quantum Electrodynamics

Carlos Navarrete-Benlloch; Lectures notes: Introduction to quantum optics

Representaciones en el espacio de fases: funciones $Q$ y de Wigner:

http://www.physics.miami.edu/~curtright/TimeDependentWignerFunctions.html