Tipologías de luz

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Fuentes: esta entrada se basa principalmente en:

  • Caps. 5 y 7, Introductory Quantum Optics, de Gerry y Knight ([GER-05]).
  • Cap. 5, Quantum Optics, de Garrison y Chiao ([GAR-08]).
  • Caps. 5 y 6, Quantum Optics. An introduction, de M. Fox ([FOX-04]).

Estadísticas fotónicas

Luz poissoniana

mirilla11Los estados coherentes de luz, o estados Glauber, siguen una estadística de Poisson, de forma que, sobre un estado de Glauber (autoestado del operador destrucción \hat{a} ):

-Valor medio del operador número y su cuadrado; indeterminación:
\overline{n}=<\alpha|\hat{n}|\alpha>=|\alpha|^2
<\alpha|\hat{n}^2|\alpha >=|\alpha |^4+|\alpha |^2= \overline{n}^2+\overline{n}
\Delta_{\alpha} \hat{n}=\sqrt{<\hat{n}^2>-<\hat{n}>^2}=\overline{n}^{\frac{1}{2}}
\rightarrow expresión característica de la distribución estadística de Poisson.

-Probabilidad de que el resultado de la medida del número de fotones en el campo, sobre un estado coherente |\alpha> , sea n :
P(n)=|<n|\alpha>|^2=e^{-\overline{n}}\ \frac{\overline{n}^n}{n!}
\rightarrow probabilidad correspondiente a una distribución de Poisson:

The probability of detecting n photons, the photon number distribution, of the coherent state in Figure 3. As is necessary for a Poissonian distribution the mean photon number is equal to the variance of the photon number distribution. Bars refer to theory, dots to experimental values (Wikipedia)
The probability of detecting n photons, the photon number distribution, of the coherent state in [previous figure]. As is necessary for a Poissonian distribution the mean photon number is equal to the variance of the photon number distribution. Bars refer to theory, dots to experimental values (from Wikipedia).
Credit: http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_3/ls3_u3/ls3_unit_3.html
COHERENT STATE PHOTON STATISTICS (http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_3/ls3_u3/ls3_unit_3.html).

mirilla11 La luz asociada a la distribución de Poisson es luz cuasi-clásica: la luz perfectamente coherente de un haz de intensidad constante, o la mayoría de la luz procedente de fuentes astronómicas, por ejemplo, pertenece a este tipo.

-Un histograma de los fotones detectados por intervalo de tiempo sigue en este caso la distribución estadística de Poisson:

poisson_dist
The vast majority of astronomical sources produce photons via random processes distributed over vast scales. Therefore, when these photons arrive at the Earth, they are randomly spaced. The number of photons counted in a short time interval will vary, even if the long-term mean number of photons is constant. This variation is known as shot noise. It represents the irreducible minimum level of noise present in an astronomical observation.        (http://www.vikdhillon.staff.shef.ac.uk/teaching/phy217/detectors/phy217_det_poisson.html)

-Esta luz está compuesta por fotones distribuidos al azar sobre grandes distancias, de manera que los fotones van siendo detectados con grandes variaciones en el contaje:circulo1

photon_random-counting
Photons from a faint, non-variable astronomical source incident on a CCD detector. Because the signal is low in this example, it is easy to see that there is a substantial variation in the number of photons detected in each 1 s time interval. (http://www.vikdhillon.staff.shef.ac.uk/teaching/phy217/detectors/phy217_det_poisson.html)

Clasificación de la luz por estadística

mirilla11 Existen más estadísticas fotónicas, además de la de Poisson:

Poisson-statistics-sub-super
Tres estadísticas fotónicas: las super-poissoniana y sub-poissoniana son, respectivamente, más ancha y más estrecha que la de Poisson.

mirilla11 Junto con el valor \Delta \hat{n} , el denominado parámetro Q , definido como
Q=\frac{<(\Delta \hat{n})^2>-<\hat{n}>}{<\hat{n}>} ,
permite clasificar las distintas estadísticas fotónicas:

  1. Luz poissoniana o coherente: \Delta \hat{n}=\sqrt{\overline{n}}\quad , \quad Q=0 .
  2. Luz super-poissoniana: \Delta \hat{n}> \sqrt{\overline{n}}\quad , \quad Q>0 .
  3. Luz sub-poissoniana: \Delta \hat{n}< \sqrt{\overline{n}}\quad , \quad -1 \le Q<0 .

Luz super-poissoniana

flecha \Delta \hat{n}> \sqrt{\overline{n}}

mirilla11 Esta estadística corresponde a una luz en la que se producen fluctuaciones de intensidad, por ejemplo, luz clásica en que la intensidad no se mantiene constante.

-Ejemplos: la radiación térmica o negra; la luz parcialmente coherente (caótica) de las rayas espectrales producidas en un tubo de descarga: el flujo de fotones no es constante debido a las fluctuaciones en la intensidad de la luz sobre una escala de tiempos de orden de magnitud del tiempo de coherencia.

-Es decir, medidas en un intervalo temporal T\approx \tau_c recogerán luz super-poissoniana; medidas en T \gg \tau_c recogerán en cambio luz poissoniana, ya que las variaciones de intensidad en esta escala temporal no se apreciarán.

-Es una luz con más ruido que la perfectamente coherente: en el sentido clásico de presentar variaciones de intensidad, y en el sentido cuántico de presentar mayores fluctuaciones en el número de fotones.

-Es un efecto clásico.

Luz sub-poissoniana

flecha \Delta \hat{n}< \sqrt{\overline{n}}

mirilla11 Esta estadística corresponde a una luz sin análogo clásico, en la que la intensidad también se mantiene constante.

-En algún sentido, se trata de luz más estable que la perfectamente coherente: una conceptualización sería la de un haz en que todos los fotones poseen una misma separación temporal constante \Delta t , de forma que el contaje en un tiempo T sería siempre el mismo número entero de fotones \overline{n} , y \Delta \hat{n}=0 .

flecha Los estados de Fock |n> , autoestados del operador número, responden a esta estadística, constituyendo la forma más pura de luz sub-poissoniana.

Clasificación de la luz por la función de coherencia g^{(2)}(\tau)

mirilla11 Las funciones de correlación temporal de segundo orden, clásica y cuántica, se definen:

  1. g^{(2)}(\tau)=\frac{<E^*(t)E^*(t+\tau)E(t)E(t+\tau)>}{<|E(t)|^2><|E(t+\tau)|^2>}=\frac{<I(t)I(t+\tau)>}{<I(t)><I(t+\tau)>}
    donde <> indica promedio sobre un intervalo de tiempo T suficientemente largo; E(t) y I(t) representan, respectivamente, la intensidad del campo eléctrico y de la radiación en el instante t ,<C(t,\tau)>=\frac{1}{T}\int_T \ C(t,\tau)dt
    -Mientras que g^{(1)}(\tau) cuantifica las fluctuaciones temporales del campo eléctrico E , la de segundo orden g^{(2)}(\tau) cuantifica las fluctuaciones temporales de la intensidad de la radiación I .
  2. g_Q^{(2)}(\tau)=\frac{\left\langle \hat{E}^-(t)\hat{E}^-(t+\tau)\hat{E}^+(t+\tau)\hat{E}^+(t)\right\rangle}{<\hat{E}^-(t)\hat{E}^+(t)> <\hat{E}^-(t+\tau)\hat{E}^+(t+\tau)>}
    representando la probabilidad condicional de que se detecte, en una posición dada, un fotón en t y también otro en t+\tau , esto es, con un retardo \tau .
    -Si g_Q^{(2)}(\tau)=1 , entonces los fotones van llegando de forma independiente.
    -Puede esperarse que \lim_{\tau \rightarrow \infty} g_Q^{(2)}(\tau)\rightarrow 1 para cualquier estado del campo, es decir, que, transcurrido un intervalo de tiempo suficientemente grande, la memoria del primer fotón detectado desaparezca.

mirilla11 En función del valor que tome esta función, la luz se clasifica en:

A) Primer criterio de clasificación:

  1. g_Q^{(2)}(\tau)< g_Q^{(2)}(0)Luz agrupada (bunched light, photon bunching):luz-agrupada-Los fotones tienden a aparecer juntos, agrupados en paquetes: hay alta probabilidad de que se produzcan detecciones en coincidencia de fotones.

    -La probabilidad de que se produzca la detección de un segundo fotón después de un retardo \tau decrece con \tau .

    -El efecto no es posible sobre un estado de un solo modo de campo.

    -Se trata de luz parcialmente coherente, caótica.

    -Es un efecto clásico.

  2. g_Q^{(2)}(\tau)> g_Q^{(2)}(0)Luz anti-agrupada (photon antibunching):luz-antiagrupada-Los fotones tienden a aparecer separados, llegando con intervalo temporal de separación fijo.

    -La probabilidad de que se produzca la detección de un segundo fotón después de un retardo \tau crece con \tau .

    -La probabilidad de que se produzcan detecciones en coincidencia de fotones en un intervalo \tau es menor que en el caso de estado coherente.

    -El efecto no es posible sobre un estado de un solo modo de campo.-Luz totalmente incoherente.-Luz no clásica.

  3. g_Q^{(2)}(\tau)= g_Q^{(2)}(0): Luz ni agrupada ni anti-agrupada (random):luz-ni-agrupada-ni-antiagrupada-Los fotones se presentan aleatoriamente.

    -Ejemplo: la luz perfectamente coherente.

-Efecto clásico.

B) Segundo criterio de clasificación: valor g_Q^{(2)}(0) respecto a la unidad (resurge la clasificación por estadística):

  1. Cuando g_Q^{(2)}(0)\ge 1 : luz no sub-poissoniana.
    1. Cuando g_Q^{(2)}(\tau)=g_Q^{(2)}(0)=1 : Luz perfectamente coherente, poissoniana.
      -Ejemplo: campo en uno de los estados coherentes de Glauber, |\alpha> .
    2. Cuando g_Q^{(2)}(0)>1 : Luz parcialmente coherente o caótica, agrupada.
      -Ejemplo: Para un campo en un modo monocromático térmico: g_Q^{(2)}(\tau)=g_Q^{(2)}(0)=2>1 (alta probabilidad de detección de fotones en coincidencia).

    -Ejemplo: Toda la luz clásica (poissoniana y super-poissoniana).

  2. Cuando g_Q^{(2)}(0)<1 : luz sub-poissoniana.
    -Ejemplo: Sobre un estado de Fock |n> , autoestado del operador número:
    g_Q^{(2)}(0)=\frac{n(n-1)}{n^2}<1
    En particular, para un estado de Fock de un solo fotón, \hat{n}|\Psi>=|\Psi> , se tiene g_Q^{(2)}(0)=0<1 .
    -La condición puede ser simultánea con la de antibunching o no: son efectos diferentes.
    -La condición indica también anti-bunching cuando, siempre que g_Q^{(2)}(\tau) no sea constante, se tenga
    \lim_{\tau \rightarrow \infty} g_Q^{(2)}(\tau)\rightarrow 1
    Por ejemplo, para el caso de un solo modo de excitación de campo, se tiene g_Q^{(2)}(\tau)=g_Q^{(2)}(0) , constante, y no hay antibunching.
    -Es luz no clásica.

Luz coherente y luz comprimida o squeezed

mirilla11 Un estado de luz se define como cuadráticamente comprimido (cuadrature squeezed state) cuando:

bien \Delta_{sq} \hat{X_1} <\frac{1}{2} , bien \Delta_{sq} \hat{X_2} <\frac{1}{2}.

-Por lo tanto, los estados squeezed no son en general estados MUS, o estados de mínima indeterminación (minimum uncertainty state), ya que sobre ellos no necesariamente se satura el principio de indeterminación, alcanzándose el mínimo producto de indeterminaciones:

(\Delta_{sq} \hat{X_1})(\Delta_{sq}\hat{X_2})\ge \frac{1}{4} ,

donde \hat{X_i}\;,\;i=1,2 , representan los operadores de cuadratura del campo electromagnético:

mirilla11 Los operadores hermíticos cuadratura del campo, \hat{X}_1 y \hat{X}_2 , se definen según:

\hat{X}_1=\frac{1}{2}(\hat{a}+\hat{a}^+) \hat{X}_2=\frac{1}{2i}(\hat{a}-\hat{a}^+)

y cumplen:

[\hat{X}_1,\hat{X}_2]=\frac{i}{2} \Rightarrow (\Delta \hat{X}_1)(\Delta \hat{X}_2)\ge \frac{1}{4} \hat{E}_x(z,t)=2\mathcal{E}_0\sin(kz)(\hat{X}_1\cos \omega t +\hat{X}_2\sin \omega t )

-Estos operadores se asocian a sendas amplitudes de oscilación en cuadratura, esto es, desfasadas entre sí \frac{\pi}{2} radianes.

-En la representación número de fotones:

<n|\hat{X}_1|n>=<n|\hat{X}_2|n>=0 <n|\hat{X}_1^2|n>=<n|\hat{X}_2^2|n>=\frac{1}{4}(2n+1)

de manera que el principio de indeterminación satura sobre el vacío, ya que:

\Delta_0 \hat{X}_1=\Delta_0 \hat{X}_2=\frac{1}{2}

\Rightarrow \Delta_0 \hat{X}_1 \Delta_0 \hat{X}_2=\frac{1}{4} ,

esto es, el vacío es un estado MUS.

-También los estados coherentes |\alpha> (estados de Glauber) son estados MUS:

\Delta_{\alpha} \hat{X}_1=\Delta_{\alpha} \hat{X}_2=\frac{1}{2} \Rightarrow (\Delta_{\alpha} \hat{X}_1) (\Delta_{\alpha} \hat{X}_2)=\frac{1}{4}

flecha  Los estados comprimidos |sq> son estados sobre los que la indeterminación de uno de las dos operadores cuadratura del campo X_i es menor que \frac{1}{2} , por lo que la del otro, X_j\;,\;j\ne i ha de ser mayor que  \frac{1}{2} , de forma que sobre ellos las indeterminaciones de los dos operadores cuadratura son diferentes.

flecha  Los estados comprimidos |sq> son estados sobre los que uno de los dos operadores cuadratura posee menos ruido que sobre un estado MUS como el vacío o como cualquier estado coherente; el otro, en cambio, posee más ruido.

-Algunos estados comprimidos pueden también saturar la desigualdad del principio de indeterminación, es decir, pueden ser estados MUS, pero en general no lo son.

-La compresión o squeezing no es un fenómeno clásico.

mirilla11 Clasificación de la luz en términos de su compresión o squeezing:

  1. Luz no comprimida:\Delta \hat{X_1} \ge \frac{1}{2}\quad \mbox{y} \quad \Delta \hat{X_2}\ge \frac{1}{2}-Ejemplo: toda la luz clásica.
  2. Luz comprimida:\Delta \hat{X_1} <\frac{1}{2} \quad \mbox{o} \quad \Delta \hat{X_2} <\frac{1}{2}

Luz cuasi-clásica (cuántica) y no-clásica (radicalmente cuántica)
Q=\frac{<(\Delta \hat{n})^2>-<\hat{n}>}{<\hat{n}>}

  1. Luz clásica (¡también cuántica!):g_Q^{(2)}(0)\ge 1 \quad \mbox{y} \quad g_Q^{(2)}(\tau)> g_Q^{(2)}(0)\quad \mbox{y ambos} \quad \Delta \hat{X_i} (i=1,2) \ge \frac{1}{2}-Perfectamente coherente cuando g_Q^{(2)}(0)=g_Q^{(2)}(\tau)=1 ; Q=0 (fotones al azar).-Parcialmente coherente o caótica cuando g_Q^{(2)}(0)>1 ; superpoissoniana: Q>0 (fotones agrupados).-Nunca subpoissoniana.-Nunca anti-agrupada.-Nunca comprimida.
  2. Luz no clásica (o radicalmente cuántica):g_Q^{(2)}(0)< 1 \quad \mbox{o} \quad g_Q^{(2)}(\tau)< g_Q^{(2)}(0)\quad \mbox{o} \quad\Delta \hat{X_1} <\frac{1}{2}\quad \mbox{o} \quad\Delta \hat{X_2} <\frac{1}{2}-Sub-poissoniana cuando g_Q^{(2)}(0)< 1 ; -1 \le Q<0 .-Anti-agrupada cuando g_Q^{(2)}(\tau) < g_Q^{(2)}(0) .-Comprimida cuando \Delta \hat{X_1} <\frac{1}{2} \quad \mbox{o} \quad \Delta \hat{X_2} <\frac{1}{2}

Nota: un criterio claro de clasicidad/no-clasicidad para un estado de luz puede darse en términos de la distribución de cuasi-probabilidad P(\alpha) , o función de Glauber-Sudarshan, definida como la función tal que
\hat{\rho}=\int P(\alpha)|\alpha><\alpha|d^2\alpha
\rightarrow Se consideran cuasi-clásicos los estados de luz para los cuales P(\alpha) es positiva o “no más singular que una función delta” (cf. [GER-05], p. 60).
Bibliografía

[FOX-04] Fox, M.; Quantum Optic. An introduction. Oxford Univ. Press; Oxford, 2004. ISBN: 0?19?856672?7, 978?0?19?856672?4.

[GAR-08] Garrison, J. C. and R. Y. Chiao, Quantum Optics, Oxford Univ. Press, Oxford, 2008. ISBN: 978-0-19-850886-1.

[GER-05] Gerry, C. C. and Knight, P. L., Introductory Quantum Optics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005. ISBN: 0-521-82035-9.

espiral Hartmann, TUM: Lecture notes: Theoretical Quantum Optics

espiral L. Scheel, Lecture notes: Quantum Optics

espiral Representaciones gráficas del campo cuántico en cavidades:

http://www.cqed.org/spip.php?article254

espiral Representaciones en el espacio de fases: funciones Q y de Wigner:

http://www.physics.miami.edu/~curtright/TimeDependentWignerFunctions.html

espiralhttp://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.54.1061

espiralhttp://www.cifar.ca/squeeze-my-uncertainty-quantum-noise-hits-its-limits

 

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