Barrera finita dentro de un pozo infinito (doble pozo)

Barrera finita en el interior de un pozo infinito
(doble pozo dentro de uno infinito)

Función potencial $V(x)$ :
$V(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 >0 & \mbox{si } |a| < |x| < |b| \;:\; zona \;\; I \\ V_o & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ +\infty & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$ ,
donde $V_o$ es un número real positivo, con dimensiones de energía.
-Se trata de una función con discontinuidades de segunda especie en los puntos $x=\pm b\; \; ,\;b\in \mathbb{R}\;,\; b > 0$ , puntos en los que se sitúan sendas barreras impenetrables de potencial; por lo tanto, en ellos se debe imponer la condición de frontera de anulación de la función de onda $\psi(x)$ : se produce el confinamiento o ligadura de la partícula en el interior del intervalo $(-b,b)$ de la recta real, de longitud $L=2b$ ; la derivada primera de la función de onda presentará discontinuidades en ambos extremos. Por otra parte, el potencial presenta discontinuidades de primera especie en los puntos $x=\pm a\; \; ,\;a\in \mathbb{R}\;,\; a > 0$ , puntos en los que habrá que proceder al empalme o conexión de las respectivas soluciones en las zonas I y II que garantice la continuidad de la función de onda y su primera derivada.
Problema de autovalores de energía:
$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0$ ,
y buscamos soluciones $\psi(x)$ que sean funciones continuas y con derivada primera $\psi'(x)$ también continua allí donde $V(x)$ es finito: en el intervalo $(-b,b)$ ; las funciones $\psi(x)$ tendrán sendos nodos en los puntos extremos $x=\pm b$ : $\psi(\pm b)=0$ (donde $\psi'(x)$ presentará una discontinuidad de primera especie).
La solución general de una EDO
$\frac{d^2\psi}{dx^2} \mp k^2 \psi=0$ ,
donde $k>0$ , $k \in \mathbb{R}$ , tiene la expresión:
-Signo (-) : $\psi(x)=C_1 \ e^{kx} + C_2\ e^{-kx}$
con $C_1,C_2$ escalares arbitrarios.
-Signo (+) : $\psi(x)=C_1 \ e^{+ikx} + C_2\ e^{-ikx}=C'_1 \ cos\ kx + C'_2\ sen \ kx$
con $C_1,C_2,C'_1,C'_2$ escalares arbitrarios.
En las dos regiones espaciales consideradas, I: $|a| < |x| < |b|$ y II: $|x| \le a$ , las respectivas formas de la EDO planteada son:
Zona II : $|x| \le a$ : $\quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V_o]\psi(x)=0$
Zona I : $|a| < |x| < |b|$ : $\quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E]\psi(x)=0$
Puesto que el potencial es simétrico en torno al origen, sabemos de antemano que los autoestados van a tener paridad definida; por ello, iremos incorporando la paridad de partida, limitándonos además a resolver en la parte positiva del eje real.
$0 < E < V_o$ :
1. Forma A de resolución:
  1. -Zona $II^+$ : $0 \le x \le a$ :
    $\psi_{II}(x)=A \ e^{\beta x} + B\ e^{-\beta x}$
    con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0$ y $A,B$ escalares arbitrarios.
    -Zona $I^+$ : $a < x< b$ :
    $\psi_{I}(x)=C \ cos\ kx + D\ sen \ kx$
    con $k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0$ y $C,D$ escalares arbitrarios.
    -Zona $x \ge b$ : $\psi(x)=0 \; , \, \forall x$ .
  2. Soluciones pares para :
    1. Por ser la función par, ha de tenerse $(\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow A=B$ .
    2. La función de onda par tendrá la expresión general:
      $\psi^{+} (x) = \left\{ \begin{matrix} C \ cos \ kx+ D \ sen \ kx & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\ A (e^{\beta x} + e^{-\beta x}) = A' cosh \ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \; : \; zona \; \; II^+ \ \ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix} \right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^+$ en $x=b \Rightarrow$
      $0=C \ cos k b + D\ sen kb \Rightarrow D =-C\ cotan \ k b$
      -Continuidad $\psi^+$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A' \ cosh \ ka = C \ cos \ ka - C \ cotan \ k b \ sen \ k a$
      -Continuidad $(\psi^+)'$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A' \ \beta \ senh \beta a$ $=-Ck\ sen ka -Ck \ cotan kb\ cos ka$
      -Obsérvese que ha de ser $(\psi^+)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
      $\beta \ tanh \ \beta a$ $= -k\frac{sen \ ka + cotan \ kb \ cos \ ka}{cos \ ka - cotan \ kb \ sen \ ka}$ $= -k\frac{1 + cotan \ kb \ cotan \ ka}{cotan \ ka - cotan \ kb}$
      $=-k \ cotan \ k (b-a)$
    5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización de la energía o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones pares:
      $\beta \ tanh \ \beta a =-k \ cotan \ k (a-b)$
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía $E_n$ , o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones pares.
    6. La gráfica para la resolución gráfica se esboza tras la solución impar.
    7. Expresión de las autofunciones pares $\psi^+_n(x)$ :
      $\psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} C_n \ (cos\ k_n |x| - cotan\ k_nb \ sen \ k_n |x|)& \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ A_n cosh \ \beta_n x& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II\\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
      $A_n=C_n\ \frac{cos\ k_n a - cotan\ k_n b \ sen \ k _n a}{cosh \beta_na}$
      y $C_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
  3. Soluciones impares para :
    1. Por ser la función impar, ha de tenerse $\psi^-(0)=0 \Rightarrow A=-B$ .
    2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
      $\psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A(e^{\beta x} - e^{-\beta x}) =A' \ senh\ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\ C \ cos \ k x+ D\ sen \ k x & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^-$ en $x=b \Rightarrow$
      $0=C \ cos \ k b+ D\ sen \ k b \Rightarrow D=-C\ cotan \ k b$
      -Continuidad $\psi^-$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A' \ senh\ \beta a = C \ cos \ ka - C \ cotan \ k b \ sen \ k a$
      -Continuidad $\psi'^-$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A' \ \beta \ cosh \ \beta a$ $-Ck \ (sen\ ka + cotan \ kb \ cos \ ka)$
      -Obsérvese que ha de ser $\psi_-'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
      $\beta \ cotanh \ \beta a$ $= -k\frac{sen\ ka + cotan \ kb \ cos \ ka}{cos \ ka - cotan \ kb\ sen\ ka}$ $= -k\frac{1 + cotan \ kb \ cotan \ ka}{cotan \ ka - cotan \ kb}$
      $=-k \ cotan \ k (b-a)$
      $=k \ cotan \ k (a-b)$
    5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones impares:
      $\beta \ cotanh \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)$
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones impares.
    6. Resolución gráfica: gráfica conjunta con las autofunciones pares más adelante.
    7. Expresión de las autofunciones impares $\psi^-_n(x)$ :
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_n x & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n x) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I\; positiva \\ C_n (-cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n x) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I\; negativa \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores impares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
      $A_n'=C_n \ \frac{cos \ k_n a - cotan \ k_n b \ sen \ k _n a}{senh \beta_n a}$
      y $C_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^-_n(x)$ .
      -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_n x & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n |x|) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
2. Forma B de resolución:
  1. En esta segunda forma de resolución, lo que se hace es usar en la zona I para la expresión de la función de onda $\psi$ una expresión trigonométrica para el seno de la diferencia entre dos ángulos:
  2. -Zona $I^+$ : $a < x < b$ :
    $\psi_{I}(x)=F \ sen\ k (x - \delta)$ ,
    con $k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0$ y $F,\delta$ escalares arbitrarios.
    -Zona $II^+$ : $0 \le x \le a$ :
    $\psi_{II}(x)=A \ e^{\beta x} + B\ e^{-\beta x}$
    con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0$ y $A,B$ escalares arbitrarios.
    -Zona $|x| \ge b$ : $\psi(x)=0 \; , \, \forall x$ .
  3. Como ha de tenerse anulación de la función de onda en $x=b$ , se deriva:
    $\psi_{I}(b)=0=F \ sen\ k(b-\delta)$ $=F(sen\ kb\ cos \ k\delta - cos\ kb\ sen\ k\delta)$
    $\Rightarrow \frac{sen\ kb}{cos\ kb}=\frac{sen\ k \delta}{cos\ k \delta}$ ;
    elegimos $\delta=b$ y tomando
    $\psi_I(x)=F\ sen \ k(x-b)$
    conseguimos incorporar de partida en la función de onda la condición de contorno $\psi(b)=0$ .
  4. Soluciones pares para :
    1. Por ser la función par, ha de tenerse $(\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow A=B$ .
    2. La función de onda par tendrá la expresión general:
      $\psi^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A \ (e^{\beta x} + e^{-\beta x})=A'\ cosh\ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\ F \ sen\ k(x - b)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^+$ en $x=b$ : ya incorporada.
      -Continuidad $\psi^+$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A' \ cosh\ \beta a =F \ sen\ k(a - b)$
      -Continuidad $\psi'^+$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A' \ \beta \ senh \beta a = Fk\ cos\ k(a-b)$
      -Obsérvese que ha de ser $(\psi^+)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones pares que se obtuvo antes por el camino A:
      $\beta \ tanh \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)$ .
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones pares.
    5. Expresión de las autofunciones pares $\psi^+_n(x)$ :
      $\psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ cosh\ \beta_n x& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n sen k_n (|x| - b) & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
      $A_n=F_n \ \frac{sen k_n (a - b)}{cosh \beta_n a}$
      y $F_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
  5. Soluciones impares para :
    1. Por ser la función impar, ha de tenerse $\psi^-(0)=0 \Rightarrow A=-B$ .
    2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
      $\psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A (e^{\beta x}-e^{-\beta x})=A'\ senh\ \beta x& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\ F \ sen\ k(x - b)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^-$ en $x=b$ : ya incorporada.
      -Continuidad $\psi^-$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A' \ senh\ \beta a =F\ sen\ k (a - b)$
      -Continuidad $\psi'^-$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A' \beta \ cosh \ \beta a =Fk \beta cos\ k (a - b)$
      -Obsérvese que ha de ser $(\psi^-)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones impares que se obtuvo antes por el camino A:
      $\beta \ cotanh \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)$
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones impares.
    5. Expresión de las autofunciones impares $\psi^-_n(x)$ :
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_nx& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n sen k_n (x - b) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \; positiva \\ -F_n sen k_n (-x - b) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I \; negativa \\0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
      $A_n=F_n \ \frac{sen k_n (a - b)}{senh \beta_n a}$
      y $F_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^-_n(x)$ .
      -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_nx& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n sen k_n (|x| - b) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
3. Esbozo de los resultados a que llevaría una resolución gráfica:
$0 < V_o < E$ :
1. 1. Forma A de resolución:
    1. -Zona $II^+$ : $0 \le x \le a$ :
      $\psi_{II}(x)=A' \ e^{i\beta x} + B'\ e^{-i\beta x}=A \ cos\ kx + B\ sen \ kx$
      con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}>0$ y $A',A,B',B$ escalares arbitrarios.
      -Zona $I^+$ : $a < x< b$ :
      $\psi_{I}(x)=C \ cos\ kx + D\ sen \ kx$
      con $k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0$ y $C,D$ escalares arbitrarios.
      -Zona $x \ge b$ : $\psi(x)=0 \; , \, \forall x$ .
    2. Soluciones pares para :
      1. Por ser la función par, ha de tenerse $(\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow B=0$ .
      2. La función de onda par tendrá la expresión general:
        $\psi^+(x) = \left\{ \begin{matrix} C \ cos\ kx+ D\ sen \ kx & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\ A\ cos \ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
      3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
        -Anulación $\psi^+$ en $x=b \Rightarrow$
        $0=C \ cos k b + D\ sen kb \Rightarrow D =-C\ cotan \ k b$
        -Continuidad $\psi^+$ en $x=+a \Rightarrow$
        $A \ cos \ ka = C \ cos \ ka - C \ cotan \ k b \ sen \ k a$
        -Continuidad $(\psi^+)'$ en $x=+a \Rightarrow$
        $-A \ \beta \ sen \beta a$ $=-Ck\ sen ka -Ck \ cotan kb\ cos ka$
        -Obsérvese que ha de ser $(\psi^+)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
      4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
        $\beta \ tan \ \beta a$ $= k\frac{sen \ ka + cotan \ kb \ cos \ ka}{cos \ ka - cotan \ kb \ sen \ ka}$ $= k\frac{1 + cotan \ kb \ cotan \ ka}{cotan \ ka - cotan \ kb}$
        $=k \ cotan \ k (b-a)$
      5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización de la energía o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones pares:
        $\beta \ tan \ \beta a =k \ cotan \ k (b-a)$
        -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía $E_n$ , o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones pares.
      6. La gráfica para la resolución gráfica se esboza tras la solución impar.
      7. Expresión de las autofunciones pares $\psi^+_n(x)$ :
        $\psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} C_n \ (cos\ k_n |x| - cotan\ k_nb \ sen \ k_n |x|)& \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ A_n cos \ \beta_n x& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II\\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
        donde
        $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
        $A_n=C_n\ \frac{cos\ k_n a - cotan\ k_n b \ sen \ k _n a}{cos \beta_na}$
        y $C_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
    3. Soluciones impares para :
      1. Por ser la función impar, ha de tenerse $\psi^-(0)=0 \Rightarrow A=0$ .
      2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
        $\psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B \ sen\ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\ C \ cos \ k x+ D\ sen \ k x & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
      3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
        -Anulación $\psi^-$ en $x=b \Rightarrow$
        $0=C \ cos \ k b+ D\ sen \ k b \Rightarrow D=-C\ cotan \ k b$
        -Continuidad $\psi^-$ en $x=+a \Rightarrow$
        $B \ sen\ \beta a = C \ cos \ ka - C \ cotan \ k b \ sen \ k a$
        -Continuidad $\psi'^-$ en $x=+a \Rightarrow$
        $-B \ \beta \ cos \ \beta a$ $-Ck \ (sen\ ka + cotan \ kb \ cos \ ka)$
        -Obsérvese que ha de ser $\psi_-'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
      4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
        $-\beta \ cotan \ \beta a$ $= -k\frac{sen\ ka + cotan \ kb \ cos \ ka}{cos \ ka - cotan \ kb\ sen\ ka}$ $= -k\frac{1 + cotan \ kb \ cotan \ ka}{cotan \ ka - cotan \ kb}$
        $=-k \ cotan \ k (b-a)$
        $=k \ cotan \ k (a-b)$
      5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones impares:
        $\beta \ cotan \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)$
        -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones impares.
      6. Resolución gráfica: gráfica conjunta con las autofunciones pares más adelante.
      7. Expresión de las autofunciones impares $\psi^-_n(x)$ :
        $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ \beta_n x & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n x) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I\; positiva \\ C_n (-cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n x) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I\; negativa \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
        donde
        $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores impares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
        $B_n=C_n \ \frac{cos \ k_n a - cotan \ k_n b \ sen \ k _n a}{sen \beta_n a}$
        y $C_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^-_n(x)$ .
        -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
        $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ \beta_n x & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n |x|) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
  2. Forma B de resolución:
    1. En esta segunda forma de resolución, lo que se hace es usar en la zona I para la expresión de la función de onda $\psi$ una expresión trigonométrica para el seno de la diferencia entre dos ángulos:
    2. -Zona $I^+$ : $a < x < b$ :
      $\psi_{I}(x)=F \ sen\ k (x - \delta)$ ,
      con $k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0$ y $F,\delta$ escalares arbitrarios.
      -Zona $II^+$ : $0 \le x \le a$ :
      $\psi_{II}(x)=A \ cos\ \beta x + B \ sen\ \beta x$
      con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}>0$ y $A,B$ escalares arbitrarios.
      -Zona $|x| \ge b$ : $\psi(x)=0 \; , \, \forall x$ .
    3. Como ha de tenerse anulación de la función de onda en $x=b$ , se deriva:
      $\psi_{I}(b)=0=F \ sen\ k(b-\delta)$ $=F(sen\ kb\ cos \ k\delta - cos\ kb\ sen\ k\delta)$
      $\Rightarrow \frac{sen\ kb}{cos\ kb}=\frac{sen\ k \delta}{cos\ k \delta}$ ;
      elegimos $\delta=b$ y tomando
      $\psi_I(x)=F\ sen \ k(x-b)$
      conseguimos incorporar de partida en la función de onda la condición de contorno $\psi(b)=0$ .
    4. Soluciones pares para :
      1. Por ser la función par, ha de tenerse $(\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow B=0$ .
      2. La función de onda par tendrá la expresión general:
        $\psi^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A\ cos\ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\ F \ sen\ k(x - b)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
      3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
        -Anulación $\psi^+$ en $x=b$ : ya incorporada.
        -Continuidad $\psi^+$ en $x=+a \Rightarrow$
        $A \ cos\ \beta a =F \ sen\ k(a - b)$
        -Continuidad $\psi'^+$ en $x=+a \Rightarrow$
        $-A \ \beta \ sen \beta a = Fk\ cos\ k(a-b)$
        -Obsérvese que ha de ser $(\psi^+)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
      4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones pares que se obtuvo antes por el camino A:
        $-\beta \ tan \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)$ .
        -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones pares.
      5. Expresión de las autofunciones pares $\psi^+_n(x)$ :
        $\psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ cos\ \beta_n x& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n sen k_n (|x| - b) & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
        donde
        $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
        $A_n=F_n \ \frac{sen k_n (a - b)}{cos \beta_n a}$
        y $F_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
    5. Soluciones impares para :
      1. Por ser la función impar, ha de tenerse $\psi^-(0)=0 \Rightarrow A=0$ .
      2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
        $\psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B\ sen\ \beta x& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\ F \ sen\ k(x - b)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
      3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
        -Anulación $\psi^-$ en $x=b$ : ya incorporada.
        -Continuidad $\psi^-$ en $x=+a \Rightarrow$
        $B \ sen\ \beta a =F\ sen\ k (a - b)$
        -Continuidad $\psi'^-$ en $x=+a \Rightarrow$
        $B \beta \ cos \ \beta a =Fk \beta cos\ k (a - b)$
        -Obsérvese que ha de ser $(\psi^-)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
      4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones impares que se obtuvo antes por el camino A:
        $\beta \ cotan \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)$
        -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones impares.
      5. Expresión de las autofunciones impares $\psi^-_n(x)$ :
        $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ \beta_nx& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n sen k_n (x - b) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \; positiva \\ -F_n sen k_n (-x - b) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I \; negativa \\0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
        donde
        $k_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
        $A_n=F_n \ \frac{sen k_n (a - b)}{sen \beta_n a}$
        y $F_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^-_n(x)$ .
        -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
        $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_nx& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n sen k_n (|x| - b) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
1. Las siguiente imágenes nos muestran los correspondiente estados ligados, que satisfacen el teorema de Sturm:
  Imagen desde: https://www.mathworks.com/examples/matlab/community/22668-double-well-schr-ouml-dinger-eigenstates; también en: http://www.chebfun.org/examples/ode-eig/DoubleWell.html
2. Nota: los resultados para $E >V_o$ se podían haber deducido sin más a partir de los correspondientes a $E<V_o$ : hubiera bastado para ello sustituir el parámetro $\beta$ del cálculo $E<V_o$ por $i \beta$ (es decir: $\beta_{E>V_o} = -i \beta_{E<V_o}$ . Por ejemplo, si partimos de la ecuación de los autovalores pares en el tramo de energías $E<V_o$ ,
  $\beta \ tanh \ \beta a =-k \ cotan \ k (a-b)$ ,
  y realizamos la sustitución indicada, se deriva:
  $i\beta \ tanh \ i\beta a = -i\beta \ tan \ \beta a$
  $\Rightarrow (\beta \ tan \ \beta a = k \ cotan \ k (b-a))_{E>V_o}$ .
3. Caso límite: En el límite $a \rightarrow b$ , se obtienen los resultados del pozo cuadrado infinito, como es fácil comprobar. En efecto, por ejemplo, el límite
  $\lim_{a \rightarrow b} (\beta \ tan \ \beta a = k \ cotan \ k (b-a))_{E<V_o}$
  proporciona:
  $\lim_{a \rightarrow b} (\beta \ tan \ \beta a) \rightarrow k \ cotan \ 0 \rightarrow +\infty$
  $\Rightarrow \beta a \rightarrow (n + \frac{1}{2}) \pi$ (autovalores de los autoestados pares del pozo infinito).
4. En el problema estudiado, Hamiltoniano del pozo cuadrado infinito con barrera interior, resulta por tanto: $\sigma(H)=\sigma_p(H)\subset(0\, ,+\infty)$ : infinitos estados ligados, sin degeneración; se satisface el teorema de oscilación.
5. La siguiente figura es una captura de pantalla de los resultados de una búsqueda por imágenes en Google con la entrada «quantum double well»: permite hacerse una idea de la variedad de potenciales que se pueden plantear… Y todos se resuelven similarmente.

Referencias

[BOH-89] Bohm, D.; «Quantum Theory»; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; «Quantum Mechanics»; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; «Mecánica Cuántica», Eudema, 1989.

[SCH-68] Schiff,L.I.; «Quantum Mechanics»; 3º ed., McGraw; 1968.

Páginas complementarias

http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_in_a_box

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/334-fc0303

http://eltamiz.com/2008/05/15/cuantica-sin-formulas-el-pozo-de-potencial-infinito/

https://pdfs.semanticscholar.org/bdfe/1f288ec26c0284505a6a61c95aa6ba32b333.pdf

http://www.hep.manchester.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/Double%20Well.html

https://arxiv.org/pdf/1209.2521.pdf

APPS

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/pozo/caja.htm
http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/70-pozo-infinito
http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/71-paquete-pozo-infinito
http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/embed_item_3.php?anim_id=24&file_sys=index_phys
Wave Packets for Particle in a Box from the Wolfram Demonstrations Project by Andrés Santos.
Probability Density in an Infinite Square Well from the Wolfram Demonstrations Project by Carlos Anton Solanas.
Quantum Particles in an Infinite Square Potential Well from the Wolfram Demonstrations Project by Jeff Bryant.
Exact Solution for Rectangular Double-Well Potential from the Wolfram Demonstrations Project, por S.M. Blinder: http://demonstrations.wolfram.com/ExactSolutionForRectangularDoubleWellPotential/
El doble pozo en MATLAB: https://www.mathworks.com/examples/matlab/community/22668-double-well-schr-ouml-dinger-eigenstates; también en: http://www.chebfun.org/examples/ode-eig/DoubleWell.html.
Otros tipos de pozos en MATLAB: https://www.mathworks.com/examples/matlab/community/22670-eigenstates-of-the-schroedinger-equation .
El paquete de ondas gaussiano en un potencial con dos mínimos:
https://www.youtube.com/watch?v=SKatmNFzmis (created by Biswaroop Mukherjee under the guidance of Dr. Antonio Nassar as a part of a Studies in Scientific Research project in Harvard-Westlake School, North Hollywood, CA.):

This plot shows the progression of the probability density of the single-dimensional wavepacket in time. This is a Quantum Tunneling simulation in Mathematica that solves the time-dependent schroedinger equation. Here, a gaussian wavepacket is placed in a potential system that has two stable states (bistable). This simulation was created as a quantum extension of the classic stochastic resonance phenomenon, where a particle oscillates between the two stable states. Here, however, the probability density function (pdf) of the particle’s position is not a delta function (and thus could have a finite density in both wells simultaneously). However, in this case, the pdf seems to pass through a half-period of oscillation between two wells, and it is possible that a longer simulation will reveal the clear oscillation. However, this is still not a recreation of stochastic resonance – which needs a periodic and a random fluctuation of the potential.

Física cuántica en la red

Un sitio para adentrarse en la física cuántica

Barrera finita dentro de un pozo infinito (doble pozo)

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