El pozo cuadrado finito

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El pozo cuadrado finito

Función potencial $V(x)$ :
Imagen de oer.physics.manchester.ac.uk.

$V(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{si } x \le -a \; : \; zona \;\; I \\ -V_o < 0 & \mbox{si } -a < x < a \;,\, a > 0 \;:\; zona \; \;II \\ 0 & \mbox{si } x \ge a\;: \; zona \;\; III \; \end{matrix}\right.$
Problema de autovalores de energía:
$\frac{d^2\psi}{dx^2}-\frac{2m}{\hbar^2}[V(x)-E]\psi(x)=0$ ,
y buscamos soluciones $\psi(x)$ que sean funciones ella y su derivada primera $\psi'(x)$ continuas $\forall x$ .
Dependiendo de la región espacial considerada, la forma concreta de la EDO planteada es:
Zonas I y III : $\quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi(x)=0$
Zona II : $\quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E+|V_{o}|]\psi(x)=0$
La solución general de una EDO
$\frac{d^2\psi}{dx^2} \mp k^2\psi=0$ ,
donde $k>0$ , $k \in \mathbb{R}$ , tiene la expresión:
-Signo (-) : $\psi(x)=C_1 \ e^{kx} + C_2\ e^{-kx}$
con $C_1,C_2$ escalares arbitrarios.
-Signo (+) : $\psi(x)=C_1 \ e^{+ikx} + C_2\ e^{-ikx}=C'_1 \ cos\ kx + C'_2\ sen \ kx$
con $C_1,C_2,C'_1,C'_2$ escalares arbitrarios.
Se presentan pues los casos:
1. :
  1. Zonas I y III: $x \le -a$ y $x\ge a$ , respectivamente:
    $\psi(x)=A \ e^{k_Ix} + B\ e^{-k_Ix}$
    $\psi(x)=C \ e^{k_Ix} + D\ e^{-k_Ix}$
    ambas con el mismo
    $k_I=\frac{+\sqrt{2m(-E)}}{\hbar}=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar}>0$
    y $A,B,C,D$ escalares arbitrarios.
  2. Zona II: $-a < x < a$ :
    $\psi(x)=F\ e^{k_{II}x} + G\ e^{-k_{II}x}$ con
    $k_{II}=\frac{+\sqrt{2m(-E-V_o)}}{\hbar}=\frac{+\sqrt{2m(|E|-|V_o|)}}{\hbar}>0$
    y $F,G$ escalares arbitrarios.
  3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
    -Acotación $x \rightarrow -\infty \Rightarrow B=0$
    -Acotación $x \rightarrow +\infty \Rightarrow C=0$
    -Continuidad de $\psi$ en $x=-a$ : $A \ e^{-k_Ia} = F\ e^{-k_{II}a} + G\ e^{k_{II}a}$
    -Continuidad de $\psi'$ en $x=-a$ : $k_{II}(F\ e^{-k_{II}a}-G\ e^{k_{II}a})=A k_{I}\ e^{-k_Ia}$
    -Continuidad de $\psi$ en $x=a$ : $F e^{k_{II}a} + G e^{-k_{II}a}=D e^{-k_Ia}$
    -Continuidad de $\psi'$ en $x=a$ : $k_{II}(F\ e^{+k_{II}a}-G\ e^{-k_{II}a})=-Dk_{I}\ e^{-k_Ia}$
    -Puesto que este conjunto de condiciones conduce a la solución trivial, la conclusión es que no existen efectivamente soluciones físicamente aceptables del problema de autovalores de energía para valores del parámetro de separación $E<V_o$ .
2. :
  Imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2010/07/transmision-y-reflexion-de-particulas_05.html.
  1. Expresión de la función de onda en cada zona:
    1. Zonas I y III: $x \le -a$ y $x \ge a$ , respectivamente:
      $\psi(x)=A \ e^{\beta x} + B \ e^{-\beta x}$
      $\psi(x)=C \ e^{\beta x} + D \ e^{-\beta x}$
      con un común $\beta=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar}>0$
      y $A,B,C,D$ escalares arbitrarios.
    2. Zona II: $-a < x < a$ :
      $\psi(x)= F' \ e^{i\alpha x} + G' \ e^{-i\alpha x}=F \ cos\ \alpha x + G\ sen \ \alpha x$ ; con $\alpha=\frac{+\sqrt{2m(|V_o|-|E|)}}{\hbar}>0$
      y $F,G,F',G'$ escalares arbitrarios.
  2. Los estados ligados de un potencial monodimensional simétrico en torno al origen tienen paridad definida; incorporando el requisito de paridad definida se obtienen separadamente los dos tipos de soluciones:
    1. Soluciones de paridad par :
      1. Han de satisfacer $\psi^+(x)=\psi^+(-x)$ y $\psi'^+(0)=0$ , por lo que se tiene el conjunto de condiciones:
        -Por ser una función par: $\psi'^+(0)=0 \Rightarrow G=0$
        -Acotación para $x \rightarrow -\infty$ : $B=0$
        -Acotación para $x \rightarrow +\infty$ : $C=0$
        -Por ser una función par: $\psi^+(-a)=\psi^+(a) \Rightarrow Ae^{-\beta a}=De^{-\beta a} \Rightarrow A=D$
        -Continuidad de $\psi$ en $x=-a$ : $Ae^{-\beta a}=Fcos\ \alpha a$
        -Continuidad de $\psi'$ en $x=-a$ : $\beta Ae^{-\beta a}=\alpha Fsen\ \alpha a$
        -Continuidad de $\psi$ en $x=a$ : $F\ cos\ \alpha a= D\ e^{-\beta a}$
        -Continuidad de $\psi'$ en $x=a$ : $-\alpha F \ sen\ \alpha a = - \beta D \ e^{-\beta a}$
      2. La autofunción par tiene pues la expresión general:
        $\psi^+(x) = \left \{ \begin{matrix} De^{\beta x} & \mbox{si } x \le -a\;:\; zona \;\; I \\ Fcos \alpha x < 0 & \mbox{si } -a < x < a \;,\, a > 0 \;:\; zona \; \;II \\ De^{-\beta x} & \mbox{si } x \ge a\;: \; zona \;\; III \; \end{matrix}\right.$
        donde
        $\left \{ \begin{matrix} De^{-\beta a}=Fcos\ \alpha a & \\ \alpha F\ sen\ \alpha a=\beta D\ e^{-\beta a}& \end{matrix}\right.$
      3. Resolviendo:
        $\alpha \ tan\ \alpha a=\beta$
        (equivalentemente, puede escribirse la ecuación logarítmica
        $\frac{dln \psi}{dx}=\frac{\psi'}{\psi}$
        e incorporar la continuidad en $x=\pm a$ ).
        -Se obtiene así una ecuación trascendente que debe resolverse para obtener las energías de los estados ligados pares.
    2. Soluciones de paridad impar :
      1. Han de satisfacer $\psi^-(x)=-\psi^-(-x)$ y $\psi^-(0)=0$ , por lo que se tiene el conjunto de condiciones:
        -Por ser una función impar: $\psi^-(0) = 0 \Rightarrow F=0$
        -Acotación para $x \rightarrow -\infty$ : $B=0$
        -Acotación para $x \rightarrow +\infty$ : $C=0$
        -Por ser una función impar: $\psi^-(-a)=-\psi^-(a) \Rightarrow Ae^{-\beta a}=-De^{-\beta a} \Rightarrow A=-D$
        -Continuidad de $\psi$ en $x=-a$ : $Ae^{-\beta a}=-Gsen\ \alpha a$
        -Continuidad de $\psi'$ en $x=-a$ : $\beta Ae^{-\beta a}=\alpha Gcos\ \alpha a$
        -Continuidad de $\psi$ en $x=a$ : $G \ sen \ \alpha a = D\ e^{-\beta a}$
        -Continuidad de $\psi'$ en $x=a$ : $\alpha G \ cos \ \alpha a = -\beta D \ e^{-\beta a}$
      2. La autofunción impar tiene pues la expresión general:
        $\psi^-(x) = \left \{ \begin{matrix} -De^{\beta x} & \mbox{si } x \le -a\;:\; zona \;\; I \\ Gsen \alpha x < 0 & \mbox{si } -a < x < a \;,\, a > 0 \;:\; zona \; \;II \\ De^{-\beta x} & \mbox{si } x \ge a\;: \; zona \;\; III \; \end{matrix}\right.$
        donde
        $\left \{ \begin{matrix} De^{-\beta a}=Gsen\ \alpha a & \\ \alpha G\ cos\ \alpha a=-\beta D\ e^{-\beta a}& \end{matrix}\right.$
      3. Resolviendo:
        $\alpha \ cotan\ \alpha a=-\beta$
        (equivalentemente, puede escribirse la ecuación logarítmica
        $\frac{dln \psi}{dx}=\frac{\psi'}{\psi}$
        e incorporar la continuidad en $x=\pm a$ , que conduce a la misma ecuación).
        -Se obtiene así una ecuación trascendente que debe resolverse para obtener las energías de los estados ligados pares.
  3. Niveles de energía: las anteriores ecuaciones transcendentes requieren resolución bien numérica, bien gráfica. La solución gráfica es directa:
    1. Gráficamente, las soluciones pares corresponden a la intersección de las siguientes curvas $f(z)$ y $g(z)$ :
      a) $z=\alpha a=\frac{a}{\hbar}\sqrt{2m(|V_o|-|E|)}\;\;,\;\;z_o^2=\frac{a^2 2m|V_o|}{\hbar^2}$
      $(\alpha^2 + \beta^2)\hbar^2 =2mV_o =z_o^2\hbar^2/a^2$
      $\Rightarrow \beta a=+\sqrt{z_o^2-z^2}=z\ tanz \Rightarrow tan\ z=+\sqrt{(z_o/z)^2-1}$
      $\left \{ \begin{matrix} f(z)=+\sqrt{(z_o/z)^2-1} \\ g(z)=tan\ z \end{matrix}\right.$
      
      Figura (*): resolución autoestados pares; Imagen del blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com.
      
      -La gráfica proporciona los valores de z en los cuales se cortan las dos funciones $f(z)$ y $g(z)$ . En el ejemplo representado, correspondiente a unos valores determinados de los parámetros del pozo $V_o$ y $a$ , hay tres de ellos (el número que haya dependerá del valor del parámetro $z_o$ para cada pozo particular), luego el correspondiente pozo finito posee tres autoenergías o valores $E$ para los cuales el problema posee solución par, esto es , una autofunción físicamente aceptable.
    2. Y las soluciones impares corresponden análogamente a la intersección de las siguientes curvas $f(z)$ y $g(z)$ :
      $\left \{ \begin{matrix} f(z)=+\sqrt{(z_o/z)^2-1} \\ g(z)=-cotan\ z \end{matrix}\right.$
      
      Imagen del blog la-mecanica-cuantica.blogspot.com.
      
      -La gráfica proporciona los valores de z en los cuales se cortan las dos funciones $f(z)$ y $g(z)$ : el correspondiente pozo finito posee tres autoenergías o valores $E$ para los cuales el problema posee autofunción asociada impar.
    3. La siguiente gráfica reúne los autovalores correspondientes a las soluciones pares e impares, para dos valores distintos de la profundidad $V_o$ del pozo (notación: aquí, $\alpha,\beta$ ; en la figura, $k,\alpha$ ):
    4. Otra posibilidad gráfica: dibujar las tres curvas que se indican en la siguiente figura:
      
      Gráfica en que se muestran tanto las soluciones pares (curvas de color azul) como las soluciones impares (curvas de color rojo) para un pozo de potencial que admite seis estados discretos de energía, para lo cual se ha supuesto una anchura del pozo L=2a igual a 0.4 nanómetros (a=0.2 nm) y una profundidad del pozo de potencial de 75 eV: (figura y su pie tomadas de: http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2010/07/transmision-y-reflexion-de-particulas_05.html ; también disponible en: http://en.wikibooks.org/wiki/Materials_in_Electronics/Confined_Particles/1D_Finite_Wells).
    5. Y otra alternativa más de resolución gráfica: optar por dibujar el círculo de radio $z_o=\frac{a\sqrt{2m|V_o|}}{\hbar}$ , puesto que se satisface $(\alpha^2 a^2 + \beta^2 a^2)=z_o^2 \; \;$ y localizar los puntos de corte con las curvas $f(z)$ y $g(z)$ : $\left \{ \begin{matrix} (\alpha^2a^2 + \beta^2a^2)=z_o^2=\frac{2m|V_o|a^2}{\hbar^2} & \\ f(z)=tan\ \alpha a& \\ g(z)=-cotan\ \alpha a & \end{matrix}\right.$ ,
      respectivamente representadas en azul, púrpura y amarillo en la siguiente figura:
      
      Imagen de la Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_potential_well).
  4. Análisis: Aparece el fenómeno de la cuantización de la energía, de modo que sólo para un conjunto de valores discretos de $E$ existe solución físicamente aceptable al problema de autovalores.
    -el número de estados ligados depende del caso concreto, es decir, de los valores particulares del conjunto $(m,V_o,a)$ manejado, a través del parámetro $z_o^2=\frac{a^2 2m|V_o|}{\hbar^2}$ .
    -Las autofunciones ligadas son estados no degenerados que satisfacen el teorema de oscilación: una vez ordenados en orden creciente de energía, los estados ligados de un potencial monodimensional simétrico van alternándose en paridad, siendo la autofunción del estado fundamental par (ya que una función par tiene siempre o ninguno o un número par de nodos, mientras que una función impar posee un número impar de ceros); la n-ésima función tiene (n-1) nodos (donde $n=1,2\ldots$ ).
    -De la observación de las gráficas correspondientes a las soluciones pares, se deduce que, para pozos tales que el parámetro $z_o$ sea muy grande (esto es, pozos muy profundos y no muy estrechos, por ejemplo), entonces las intersecciones van acercándose (siempre por debajo) a los valores $z_n=n\frac{\pi}{2}\;,\; n=1,2\ldots$ , que conducen a autovalores $E_n \rightarrow V_o+\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{8ma^2}$ , es decir, los autovalores del pozo cuadrado infinito (en la figura (*), «levantar» la curva roja).
    -Cuando $z_o$ es muy pequeño, va disminuyendo el número de estados ligados, pero al menos el primer estado par está siempre presente (en la figura (*), «agachar» la curva roja).
  5. Autofunciones de los estados ligados: Las primeras autofunciones ligadas se presentan en las siguientes figuras; obsérvese que penetran en la zona exterior del pozo, regiones I y III, en las que presentan un comportamiento exponencial, según $e^{-\beta |x|}=e^{-\sqrt{2m|E|} |x|/\hbar}$ , de forma que penetran tanto más cuanto mayor sea el valor de la energía de ligadura o autovalor $E$ .
    Imagen de http://en.wikibooks.org/wiki/Materials_in_Electronics/Confined_Particles/1D_Finite_Wells.
    
    Imagen de http://en.wikibooks.org/wiki/Materials_in_Electronics/Confined_Particles/1D_Finite_Wells.
    
    -Imagen de la Wikipedia.
  6. Las siguientes figuras ilustran las diferencias entre los autoestados ligados del pozo finito frente al pozo infinito:
    Imagen de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/.
    
    -Imagen de Wikibooks: http://en.wikibooks.org/wiki/Materials_in_Electronics/Confined_Particles/1D_Finite_Wells (los valores numéricos corresponden a una elección de origen en el fondo del pozo).
3. :
  Imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2010/07/transmision-y-reflexion-de-particulas_05.html.
  1. En este caso la función de onda es combinación de funciones oscilatorias en las tres zonas:
    $\psi(x) = \left \{ \begin{matrix} A \ e^{ik_Ix} + B\ e^{-ik_Ix} & \mbox{si } x \le -a\;:\; zona \;\; I \\ F\ e^{+ik'_{II}x} + G\ e^{-ik'_{II}x} > 0 & \mbox{si } -a < x < a \;,\, a > 0 \;:\; zona \; \;II \\ C\ e^{+ik_{I}x} + D\ e^{-ik_{I}x} & \mbox{si } x \ge a\;: \; zona \;\; III \; \end{matrix}\right.$
    con $A,B,C,D,E,F$ escalares arbitrarios;
    $k_I=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0\;\;,\;\;k'_{II}=\frac{+\sqrt{2m(E+|V_o|)}}{\hbar}>0$ .
  2. Elegimos uno de los dos sentidos de incidencia posibles (según el principio de reciprocidad, los resultados son indiferentes a esta elección); por ejemplo: incidencia desde la izquierda (extremo $-\infty$ ), es decir, $D=0$ .
  3. Imponiendo las condiciones de contorno:
    -Continuidad de $\psi$ en $x=-a$ : (ecuación 1):
    $A \ e^{-ik_Ia} + B \ e^{+ik_Ia} = F \ e^{-ik'_{II}a} + G \ e^{+ik'_{II}a}$
    -Continuidad de $\psi'$ en $x=-a$ : (ecuación 2):
    $ik_I(A\ e^{-ik_Ia}-B\ e^{+ik_Ia})=ik'_{II}(F\ e^{-ik'_{II}a}-G\ e^{+ik'_{II}a})$
    -Continuidad de $\psi$ en $x=a$ : (ecuación 3):
    $F\ e^{+ik'_{II}a} + G\ e^{-ik'_{II}a}=C\ e^{+ik_{I}a}$
    -Continuidad de $\psi'$ en $x=a$ : (ecuación 4):
    $ik'_{II}(F\ e^{+ik'_{II}a} - G\ e^{-ik'_{II}a})=C\ ik_{I}\ e^{+ik_Ia}$
  4. Cálculos:
    -A partir de las ecuaciones 3 y 4:
    $F=C\frac{k'_{II}+k_I }{2k'_{II}}e^{ik_Ia} e^{-ik'_{II}a}$
    $G = C \frac{k'_{II}-k_I }{2k'_{II}} e^{ik_Ia} e^{ik'_{II}a}$
    -A partir de la ecuación 2, introduciendo en ella las expresiones para $F$ y $G$ anteriores:
    $B = -\frac{k'_{II}}{k_{I}} e^{-ik_Ia} (C \frac{k'_{II}+k_I}{2k'_{II}} e^{ik_Ia} e^{-2ik'_{II}a} - C \frac{k'_{II}-k_I} {2k'_{II}} e^{ik_Ia} e^{2ik'_{II}a} ) + A e^{-2ik_{I}a}$
    $= -C \frac{1}{k_{I}} [ -ik'_{II} sen(2k'_{II}a) + k_{I} cos(2k'_{II}a) ] + A e^{-2ik_{I}a}$ (ecuación 5)
    -A partir de la ecuación 1, introduciendo en ella las expresiones para $F$ y $G$ anteriores:
    $B= e^{-2ik'_{II}a} e^{-ik_Ia} C \frac{k'_{II}+k_I }{2k'_{II}}e^{ik_Ia} + e^{+2ik'_{II}a} e^{-ik_Ia} C \frac{k'_{II}-k_I }{2k'_{II}}e^{ik_Ia} - A e^{-2ik_{I}a}$
    $=+C[-i\frac{k_{I}}{k'_{II}} sen(2k'_{II}a) + cos(2k'_{II}a) ] -A e^{-2ik_{I}a}$ (ecuación 6)
    -Restando de la ecuación 6 la ecuación 5:
    $0=C[2cos(2k'_{II}a) -i(\frac{k_{I}}{k'_{II}} + \frac{k'_{II}}{k_I})sen(2k'_{II}a)] -2A e^{-2ik_{I}a}$
    -Simplificando, la anterior expresión conduce a: (ecuación 7):
    $\Rightarrow C=A \frac{2k'_{II}k_I e^{-2ik_Ia}}{2k'_{II}k_I cos(2k'_{II}a)-i(k_{II}^{'^{2}} + k_I ^2)sen(2k'_{II}a)}$
    -Sustituyendo la expresión 7 en la anterior 6, se obtiene a continuación: (ecuación 8):
    $\Rightarrow B=A e^{-2ik_Ia}\frac{i(k_{II}^{'^{2}} - k_I ^2) sen(2k'_{II}a)}{2k'_{II}k_I cos(2k'_{II}a)-i(k_{II}^{'^{2}} + k_I ^2 )sen(2k'_{II}a)}$
    -Las anteriores expresiones 8 y 7 nos permiten a su vez determinar los cocientes $\frac{B}{A}$ y $\frac{C}{A}$ , cuyos módulos al cuadrado proporcionan finalmente los coeficientes de reflexión y transmisión.
  5. Función de onda:
    $\Rightarrow \psi(x) = \left \{ \begin{matrix} A\ e^{ik_Ix} + A e^{-2ik_Ia} \frac{ i ( k_{II}^{'^{2}} - k_I ^2 ) sen(2k'_{II}a )}{2k'_{II}k_I cos(2k'_{II}a)-i( k_{II}^{'^{2}} + k_I ^2 ) sen(2k'_{II}a) } e^{-ik_Ix} & \mbox{si } x \le -a \\ A[ \frac{2k'_{II}k_I e^{-2ik_Ia} }{ 2k'_{II}k_I cos(2k'_{II}a)-i( k_{II}^{'^{2}} + k_I ^2 ) sen(2k'_{II}a) } \cdot \frac{k'_{II}+k_I }{2k'_{II}}e^{ik_Ia} e^{-ik'_{II}a}]e^{ik'_{II}x} \\ +A[ \frac{2k'_{II}k_I e^{-2ik_Ia} }{ 2k'_{II}k_I cos(2k'_{II}a)-i( k_{II}^{'^{2}} + k_I ^2 ) sen(2k'_{II}a) } \cdot \frac{k'_{II}-k_I }{2k'_{II}}e^{ik_Ia} e^{ik'_{II}a}]e^{-ik'_{II}x} & \mbox{si } -a < x < a \\ A \frac{2k'_{II}k_I e^{-2ik_Ia} }{ 2k'_{II}k_I cos(2k'_{II}a)-i( k_{II}^{'^{2}} + k_I ^2)sen(2k'_{II}a) }e^{ik_Ix} & \mbox{si } x \ge a \end{matrix}\right.$
1. En este caso , los coeficientes de reflexión y transmisión valen:
  1. Coeficiente de reflexión:
    $R_>=\frac{|\vec{v}||B|^2}{|\vec{v}||A|^2}=\frac{|B|^2}{|A|^2}=[1+\frac{4E(E+|V_o|)}{V_o^2 sen^2(2k'_{II}a)}]^{-1} \le 1$
    -Por tanto, el coeficiente es en general mayor que cero: puede producirse reflexión, frente a la predicción de física de partículas clásica: a veces una partícula asociada a una autofunción de energía para autovalor $E>0$ no es transmitida y no puede ser localizada en la región III.
  2. Coeficiente de transmisión:
    
    , es decir, el coeficiente de transmisión puede ser en algunos casos inferior a la unidad.
    -La siguientes figura ilustra el comportamiento del coeficiente de transmisión:
    
    Imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2010/07/transmision-y-reflexion-de-particulas_05.html.
    
    -Propiedades:
    1. El coeficiente $T$ toma un valor nulo cuando $E\rightarrow 0^{+}$ .
    2. Al aumentar $E$ , presenta oscilaciones, tendiendo asintóticamente al valor unidad cuando $E > >| V_o|$ .
    3. La transmisión es total (certeza de llegar a la región III, es decir, probabilidad cero de reflexión), cuando:
      $T=1 \Leftrightarrow 2k'_{II}a=n\pi\;,\;n=1,2\ldots$ $\Leftrightarrow L=2a=2\frac{n\pi}{2k'_{II}}=\frac{n}{2}\lambda'$ .
      -Es decir: no hay reflexión cuando la anchura del pozo $L=2a$ es un número semientero o entero de veces la longitud de onda de de Broglie asociada a la partícula en la zona II o zona que abarca el pozo.
    4. El coeficiente de transmisión alcanza los mínimos de sus fluctuaciones en los valores
      $2k'_{II}a=(2n-1)\frac{\pi}{2} \;,\; n=1,2\ldots$ $\Leftrightarrow L=2a=\frac{2n-1}{4} \lambda '$ .
    5. En el caso de un pozo muy profundo y un valor $E$ positivo pero pequeño, el factor de transmisión presenta fuertes oscilaciones, siendo pequeño excepto en los máximos señalados:
      -Imagen de Wikipedia: resonancias para un pozo con $z_o=30$ .
2. Conforme al principio de reciprocidad, los resultados que se obtienen considerando incidencia desde la derecha (extremo $+\infty$ ) son por completo análogos: basta tomar $A=0$ y proceder en consecuencia.
3. En resumen: hemos encontrado dos soluciones linealmente independientes $\forall E$ en el rango $E>0$ , de forma que todos estos puntos reales pertenecen a la parte continua del espectro $\sigma_c(H)$ y son doblemente degenerados (en este rango de energías el problema de autovalores tiene dos soluciones linealmente independientes y físicamente aceptable, que se pueden escoger como las correspondientes a sendas incidencias desde la izquierda y desde la derecha).
La siguiente figura representa el factor de transmisión para un pozo de profundidad $V_o=0,3\, eV$ :
Imagen de http://www.nextnano.de/nextnano3/tutorial/1Dtutorial_Transmission_NEGF.htm .
En el problema estudiado, Hamiltoniano del pozo cuadrado finito, resulta por tanto: $\sigma(H)=\sigma_p(H) \cup \sigma_c(H)$ , donde la parte discreta contiene un número finito de valores discretos de energía, correspondientes a los estados ligados y pertenecientes al intervalo $(-V_o,0)$ ; estos estados poseen paridad definida y no presentan degeneración, satisfaciéndose el teorema de oscilación. La parte continua incluye la semirrecta real positiva y todos los valores de energía en el continuo $(0,+ \infty)$ son doblemente degenerados.

Referencias

[BOH-89] Bohm, D.; «Quantum Theory»; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; «Quantum Mechanics»; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; «Mecánica Cuántica», Eudema, 1989.

[SCH-68] Schiff,L.I.; «Quantum Mechanics»; 3º ed., McGraw; 1968.

Páginas complementarias

http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2010/07/transmision-y-reflexion-de-particulas_05.html

http://en.wikibooks.org/wiki/Materials_in_Electronics/Confined_Particles/1D_Finite_Wells

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/334-fc0303

APPS

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/pozo/pozo.htm

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/72-pozo-finito

http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/embed_item_3.php?anim_id=19&file_sys=index_phys

http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/embed_item_3.php?anim_id=18&file_sys=index_phys

Bound States of a Finite Potential Well from the Wolfram Demonstrations Project by Porscha McRobbie

Numerical Calculation of Eigenfunctions for Finite Square-Well Potential from the Wolfram Demonstrations Project by Martha Takats

Energy Spectrum for a Finite Potential Well from the Wolfram Demonstrations Project by Adam Strzebonski

Finite Potential Well from the Wolfram Demonstrations Project by Michael R. Braunstein

Scattering by a Square-Well Potential from the Wolfram Demonstrations Project by M. Hanson

Vídeo en YouTube para un paquete de ondas incidiendo sobre un pozo de potencial finito:
–https://youtu.be/cV2fkDscwvY (varios casos, primero un pozo finito y luego una barrera):

Física cuántica en la red

Un sitio para adentrarse en la física cuántica

El pozo cuadrado finito

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