Barrera finita dentro de un pozo infinito (doble pozo)

Barrera finita en el interior de un pozo infinito
(doble pozo dentro de uno infinito)

  • Función potencial V(x) :
    V(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 >0 & \mbox{si } |a| < |x| < |b| \;:\; zona \;\; I  \\ V_o & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II  \\ +\infty & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right. ,
    donde V_o es un número real positivo, con dimensiones de energía.
    -Se trata de una función con discontinuidades de segunda especie en los puntos x=\pm b\; \; ,\;b\in \mathbb{R}\;,\; b > 0 , puntos en los que se sitúan sendas barreras impenetrables de potencial; por lo tanto, en ellos se debe imponer la condición de frontera de anulación de la función de onda \psi(x) : se produce el confinamiento o ligadura de la partícula en el interior del intervalo (-b,b) de la recta real, de longitud L=2b ; la derivada primera de la función de onda presentará discontinuidades en ambos extremos. Por otra parte, el potencial presenta discontinuidades de primera especie en los puntos x=\pm a\; \; ,\;a\in \mathbb{R}\;,\; a > 0 , puntos en los que habrá que proceder al empalme o conexión de las respectivas soluciones en las zonas I y II que garantice la continuidad de la función de onda y su primera derivada.
  • Problema de autovalores de energía:
    \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0 ,
    y buscamos soluciones \psi(x) que sean funciones continuas y con derivada primera \psi'(x) también continua allí donde V(x) es finito: en el intervalo (-b,b) ; las funciones \psi(x) tendrán sendos nodos en los puntos extremos x=\pm b : \psi(\pm b)=0 (donde \psi'(x) presentará una discontinuidad de primera especie).
  • La solución general de una EDO
    \frac{d^2\psi}{dx^2}\mp k^2\psi=0 ,
    donde k>0 , k \in \mathbb{R} , tiene la expresión:
    -Signo (-) : \psi(x)=C_1 \ e^{kx} + C_2\ e^{-kx}
    con C_1,C_2 escalares arbitrarios.
    -Signo (+) : \psi(x)=C_1 \ e^{+ikx} + C_2\ e^{-ikx}=C'_1 \ cos\ kx + C'_2\ sen \ kx
    con C_1,C_2,C'_1,C'_2 escalares arbitrarios.
  • En las dos regiones espaciales consideradas, I: |a| < |x| < |b| y II: |x| \le a , las respectivas formas de la EDO planteada son:
    Zona II : |x| \le a : \quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V_o]\psi(x)=0
    Zona I : |a| < |x| < |b| : \quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E]\psi(x)=0
  • Puesto que el potencial es simétrico en torno al origen, sabemos de antemano que los autoestados van a tener paridad definida; por ello, iremos incorporando la paridad de partida, limitándonos además a resolver en la parte positiva del eje real.
  • 0 < E < V_o :
    1. Forma A de resolución:
      1. -Zona II^+ : 0 \le x \le a :
        \psi_{II}(x)=A \ e^{\beta x} + B\ e^{-\beta x}
        con \beta=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0 y A,B escalares arbitrarios.
        -Zona I^+ : a < x< b :
        \psi_{I}(x)=C \ cos\ kx + D\ sen \ kx
        con k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0 y C,D escalares arbitrarios.
        -Zona x \ge b: \psi(x)=0 \; , \, \forall x .
      2. Soluciones pares \psi^+(x) para x \ge 0 :
        1. Por ser la función par, ha de tenerse (\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow A=B .
        2. La función de onda par tendrá la expresión general:
          \psi^+(x) = \left\{  \begin{matrix} C \ cos\ kx+ D\ sen \ kx & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\  A (e^{\beta x} + e^{-\beta x})=A'cosh \ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\  0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.
        3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
          -Anulación \psi^+ en x=b \Rightarrow
          0=C \ cos k b + D\ sen kb \Rightarrow D =-C\ cotan \ k b
          -Continuidad \psi^+ en x=+a \Rightarrow
          A' \ cosh \ ka = C \ cos \ ka - C \ cotan \ k b \ sen \ k a
          -Continuidad (\psi^+)' en x=+a \Rightarrow
          A' \ \beta \ senh \beta a=-Ck\ sen ka -Ck \ cotan kb\ cos ka
          -Obsérvese que ha de ser (\psi^+)' no nula en x=+b , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
        4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
          \beta \ tanh \ \beta a = -k\frac{sen \ ka + cotan \ kb \ cos \ ka}{cos \ ka - cotan \ kb \ sen \ ka}= -k\frac{1 + cotan \ kb \ cotan \ ka}{cotan \ ka - cotan \ kb}
          =-k \ cotan \ k (b-a)
        5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización de la energía o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones pares:
          \beta \ tanh \ \beta a =-k \ cotan \ k (a-b)
          -Las raíces E_n de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía E_n, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía 0 < E < V_o , correspondientes a las autofunciones pares.
        6. La gráfica para la resolución gráfica se esboza tras la solución impar.
        7. Expresión de las autofunciones pares \psi^+_n(x):
          \psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} C_n \ (cos\ k_n |x| - cotan\ k_nb \ sen \ k_n |x|)& \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\  A_n cosh \ \beta_n x& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II\\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
          donde
          k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0 ; \beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0 ; E_n son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
          A_n=C_n\ \frac{cos\ k_n a - cotan\ k_n b \ sen \ k _n a}{cosh \beta_na}
          y C_n es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda \psi^+_n(x) .
      3. Soluciones impares \psi^-(x) para x \ge 0 :
        1. Por ser la función impar, ha de tenerse \psi^-(0)=0 \Rightarrow A=-B .
        2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
          \psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A(e^{\beta x} - e^{-\beta x}) =A' \ senh\ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\  C \ cos \ k x+ D\ sen \ k x & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\  0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.
        3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
          -Anulación \psi^- en x=b \Rightarrow
          0=C \ cos \ k b+ D\ sen \ k b \Rightarrow D=-C\ cotan \ k b
          -Continuidad \psi^- en x=+a \Rightarrow
          A' \ senh\ \beta a = C \ cos \ ka - C \ cotan \ k b \ sen \ k a
          -Continuidad \psi'^- en x=+a \Rightarrow
          A' \ \beta \ cosh \ \beta a-Ck \ (sen\ ka + cotan \ kb \ cos \ ka)
          -Obsérvese que ha de ser \psi_-' no nula en x=+b , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
        4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
          \beta \ cotanh \ \beta a= -k\frac{sen\ ka + cotan \ kb \ cos \ ka}{cos \ ka - cotan \ kb\ sen\ ka}= -k\frac{1 + cotan \ kb \ cotan \ ka}{cotan \ ka - cotan \ kb}
          =-k \ cotan \ k (b-a)
          =k \ cotan \ k (a-b)
        5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones impares:
          \beta \ cotanh \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)
          -Las raíces E_n de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía 0 < E < V_o , correspondientes a las autofunciones impares.
        6. Resolución gráfica: gráfica conjunta con las autofunciones pares más adelante.
        7. Expresión de las autofunciones impares \psi^-_n(x):
          \psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_n x & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  C_n (cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n x) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I\; positiva \\  C_n (-cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n x) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I\; negativa \\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
          donde
          k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0 ; \beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0 ; E_n son los distintos autovalores impares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
          A_n'=C_n \ \frac{cos \ k_n a - cotan \ k_n b \ sen \ k _n a}{senh \beta_n a}
          y C_n es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda \psi^-_n(x) .
          -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
          \psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_n x & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  C_n (cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n |x|) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
    2. Forma B de resolución:
      1. En esta segunda forma de resolución, lo que se hace es usar en la zona I para la expresión de la función de onda \psi una expresión trigonométrica para el seno de la diferencia entre dos ángulos:
      2. -Zona I^+ : a < x < b :
        \psi_{I}(x)=F \ sen\ k (x - \delta) ,
        con k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0 y F,\delta escalares arbitrarios.
        -Zona II^+v : 0 \le x \le a :
        \psi_{II}(x)=A \ e^{\beta x} + B\ e^{-\beta x}
        con \beta=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0 y A,B escalares arbitrarios.
        -Zona |x| \ge b: \psi(x)=0 \; , \, \forall x .
      3. Como ha de tenerse anulación de la función de onda en x=b , se deriva:
        \psi_{I}(b)=0=F \ sen\ k(b-\delta)=F(sen\ kb\ cos \ k\delta - cos\ kb\ sen\ k\delta)
        \Rightarrow \frac{sen\ kb}{cos\ kb}=\frac{sen\ k \delta}{cos\ k \delta} ;
        elegimos \delta=b y tomando
        \psi_I(x)=F\ sen \ k(x-b)
        conseguimos incorporar de partida en la función de onda la condición de contorno \psi(b)=0 .
      4. Soluciones pares \psi^+(x) para x \ge 0 :
        1. Por ser la función par, ha de tenerse (\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow A=B .
        2. La función de onda par tendrá la expresión general:
          \psi^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A \ (e^{\beta x} + e^{-\beta x})=A'\ cosh\ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\  F \ sen\ k(x - b)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\  0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.
        3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
          -Anulación \psi^+ en x=b : ya incorporada.
          -Continuidad \psi^+ en x=+a \Rightarrow
          A' \ cosh\ \beta a =F \ sen\ k(a - b)
          -Continuidad \psi'^+ en x=+a \Rightarrow
          A' \ \beta \ senh \beta a = Fk\ cos\ k(a-b)
          -Obsérvese que ha de ser (\psi^+)' no nula en x=+b , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
        4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones pares que se obtuvo antes por el camino A:
          \beta \ tanh \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b) .
          -Las raíces E_n de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía 0 < E < V_o , correspondientes a las autofunciones pares.
        5. Expresión de las autofunciones pares \psi^+_n(x):
          \psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ cosh\ \beta_n x& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  F_n sen k_n (|x| - b) & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
          donde
          k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0 ; \beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0 ; E_n son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
          A_n=F_n \ \frac{sen k_n (a - b)}{cosh \beta_n a}
          y F_n es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda \psi^+_n(x) .
      5. Soluciones impares \psi^-(x) para x \ge 0 :
        1. Por ser la función impar, ha de tenerse \psi^-(0)=0 \Rightarrow A=-B .
        2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
          \psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A (e^{\beta x}-e^{-\beta x})=A'\ senh\ \beta x& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\  F \ sen\ k(x - b)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\  0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.
        3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
          -Anulación \psi^- en x=b : ya incorporada.
          -Continuidad \psi^- en x=+a \Rightarrow
          A' \ senh\ \beta a =F\ sen\ k (a - b)
          -Continuidad \psi'^- en x=+a \Rightarrow
          A' \beta \ cosh \ \beta a =Fk \beta cos\ k (a - b)
          -Obsérvese que ha de ser (\psi^-)' no nula en x=+b , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
        4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma  condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones impares que se obtuvo antes por el camino A:
          \beta \ cotanh \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)
          -Las raíces E_n de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía 0 < E < V_o , correspondientes a las autofunciones impares.
        5. Expresión de las autofunciones impares \psi^-_n(x):
          \psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_nx& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  F_n sen k_n (x - b) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \; positiva \\  -F_n sen k_n (-x - b) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I \; negativa \\0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
          donde
          k_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0 ; \beta_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0 ; E_n son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
          A_n=F_n \ \frac{sen k_n (a - b)}{senh \beta_n a}
          y F_n es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda \psi^-_n(x) .
          -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
          \psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_nx& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  F_n sen k_n (|x| - b) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
    3. Esbozo de los resultados a que llevaría una resolución gráfica:
  • 0 < V_o < E :
      1. Forma A de resolución:
        1. -Zona II^+ : 0 \le x \le a :
          \psi_{II}(x)=A' \ e^{i\beta x} + B'\ e^{-i\beta x}=A \ cos\ kx + B\ sen \ kx
          con \beta=\frac{+\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}>0 y A',A,B',B escalares arbitrarios.
          -Zona I^+ : a < x< b :
          \psi_{I}(x)=C \ cos\ kx + D\ sen \ kx
          con k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0 y C,D escalares arbitrarios.
          -Zona x \ge b: \psi(x)=0 \; , \, \forall x .
        2. Soluciones pares \psi^+(x) para x \ge 0 :
          1. Por ser la función par, ha de tenerse (\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow B=0 .
          2. La función de onda par tendrá la expresión general:
            \psi^+(x) = \left\{  \begin{matrix} C \ cos\ kx+ D\ sen \ kx & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\  A\ cos \ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\  0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.
          3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
            -Anulación \psi^+ en x=b \Rightarrow
            0=C \ cos k b + D\ sen kb \Rightarrow D =-C\ cotan \ k b
            -Continuidad \psi^+ en x=+a \Rightarrow
            A \ cos \ ka = C \ cos \ ka - C \ cotan \ k b \ sen \ k a
            -Continuidad (\psi^+)' en x=+a \Rightarrow
            -A \ \beta \ sen \beta a=-Ck\ sen ka -Ck \ cotan kb\ cos ka
            -Obsérvese que ha de ser (\psi^+)' no nula en x=+b , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
          4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
            \beta \ tan \ \beta a = k\frac{sen \ ka + cotan \ kb \ cos \ ka}{cos \ ka - cotan \ kb \ sen \ ka}= k\frac{1 + cotan \ kb \ cotan \ ka}{cotan \ ka - cotan \ kb}
            =k \ cotan \ k (b-a)
          5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización de la energía o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones pares:
            \beta \ tan \ \beta a =k \ cotan \ k (b-a)
            -Las raíces E_n de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía E_n, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía 0 < E < V_o , correspondientes a las autofunciones pares.
          6. La gráfica para la resolución gráfica se esboza tras la solución impar.
          7. Expresión de las autofunciones pares \psi^+_n(x):
            \psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} C_n \ (cos\ k_n |x| - cotan\ k_nb \ sen \ k_n |x|)& \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\  A_n cos \ \beta_n x& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II\\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
            donde
            k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0 ; \beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0 ; E_n son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
            A_n=C_n\ \frac{cos\ k_n a - cotan\ k_n b \ sen \ k _n a}{cos \beta_na}
            y C_n es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda \psi^+_n(x) .
        3. Soluciones impares \psi^-(x) para x \ge 0 :
          1. Por ser la función impar, ha de tenerse \psi^-(0)=0 \Rightarrow A=0 .
          2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
            \psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B \ sen\ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\  C \ cos \ k x+ D\ sen \ k x & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\  0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.
          3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
            -Anulación \psi^- en x=b \Rightarrow
            0=C \ cos \ k b+ D\ sen \ k b \Rightarrow D=-C\ cotan \ k b
            -Continuidad \psi^- en x=+a \Rightarrow
            B \ sen\ \beta a = C \ cos \ ka - C \ cotan \ k b \ sen \ k a
            -Continuidad \psi'^- en x=+a \Rightarrow
            -B \ \beta \ cos \ \beta a-Ck \ (sen\ ka + cotan \ kb \ cos \ ka)
            -Obsérvese que ha de ser \psi_-' no nula en x=+b , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
          4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
            -\beta \ cotan \ \beta a= -k\frac{sen\ ka + cotan \ kb \ cos \ ka}{cos \ ka - cotan \ kb\ sen\ ka}= -k\frac{1 + cotan \ kb \ cotan \ ka}{cotan \ ka - cotan \ kb}
            =-k \ cotan \ k (b-a)
            =k \ cotan \ k (a-b)
          5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones impares:
            \beta \ cotan \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)
            -Las raíces E_n de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía 0 < E < V_o , correspondientes a las autofunciones impares.
          6. Resolución gráfica: gráfica conjunta con las autofunciones pares más adelante.
          7. Expresión de las autofunciones impares \psi^-_n(x):
            \psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ \beta_n x & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  C_n (cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n x) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I\; positiva \\  C_n (-cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n x) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I\; negativa \\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
            donde
            k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0 ; \beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0 ; E_n son los distintos autovalores impares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
            B_n=C_n \ \frac{cos \ k_n a - cotan \ k_n b \ sen \ k _n a}{sen \beta_n a}
            y C_n es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda \psi^-_n(x) .
            -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
            \psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ \beta_n x & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  C_n (cos \ k_n x - cotan \ k_n b\ sen \ k_n |x|) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
      2. Forma B de resolución:
        1. En esta segunda forma de resolución, lo que se hace es usar en la zona I para la expresión de la función de onda \psi una expresión trigonométrica para el seno de la diferencia entre dos ángulos:
        2. -Zona I^+ : a < x < b :
          \psi_{I}(x)=F \ sen\ k (x - \delta) ,
          con k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0 y F,\delta escalares arbitrarios.
          -Zona II^+ : 0 \le x \le a :
          \psi_{II}(x)=A \ cos\ \beta x + B \ sen\ \beta x
          con \beta=\frac{+\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}>0 y A,B escalares arbitrarios.
          -Zona |x| \ge b: \psi(x)=0 \; , \, \forall x .
        3. Como ha de tenerse anulación de la función de onda en x=b , se deriva:
          \psi_{I}(b)=0=F \ sen\ k(b-\delta)=F(sen\ kb\ cos \ k\delta - cos\ kb\ sen\ k\delta)
          \Rightarrow \frac{sen\ kb}{cos\ kb}=\frac{sen\ k \delta}{cos\ k \delta} ;
          elegimos \delta=b y tomando
          \psi_I(x)=F\ sen \ k(x-b)
          conseguimos incorporar de partida en la función de onda la condición de contorno \psi(b)=0 .
        4. Soluciones pares \psi^+(x) para x \ge 0 :
          1. Por ser la función par, ha de tenerse (\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow B=0 .
          2. La función de onda par tendrá la expresión general:
            \psi^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A\ cos\ \beta x & \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\  F \ sen\ k(x - b)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\  0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.
          3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
            -Anulación \psi^+ en x=b : ya incorporada.
            -Continuidad \psi^+ en x=+a \Rightarrow
            A \ cos\ \beta a =F \ sen\ k(a - b)
            -Continuidad \psi'^+ en x=+a \Rightarrow
            -A \ \beta \ sen \beta a = Fk\ cos\ k(a-b)
            -Obsérvese que ha de ser (\psi^+)' no nula en x=+b , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
          4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones pares que se obtuvo antes por el camino A:
            -\beta \ tan \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b) .
            -Las raíces E_n de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía 0 < E < V_o , correspondientes a las autofunciones pares.
          5. Expresión de las autofunciones pares \psi^+_n(x):
            \psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ cos\ \beta_n x& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  F_n sen k_n (|x| - b) & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
            donde
            k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0 ; \beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0 ; E_n son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
            A_n=F_n \ \frac{sen k_n (a - b)}{cos \beta_n a}
            y F_n es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda \psi^+_n(x) .
        5. Soluciones impares \psi^-(x) para x \ge 0 :
          1. Por ser la función impar, ha de tenerse \psi^-(0)=0 \Rightarrow A=0 .
          2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
            \psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B\ sen\ \beta x& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II^+ \\  F \ sen\ k(x - b)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I^+ \\  0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.
          3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
            -Anulación \psi^- en x=b : ya incorporada.
            -Continuidad \psi^- en x=+a \Rightarrow
            B \ sen\ \beta a =F\ sen\ k (a - b)
            -Continuidad \psi'^- en x=+a \Rightarrow
            B \beta \ cos \ \beta a =Fk \beta cos\ k (a - b)
            -Obsérvese que ha de ser (\psi^-)' no nula en x=+b , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
          4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma  condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones impares que se obtuvo antes por el camino A:
            \beta \ cotan \ \beta a = k \ cotan \ k (a-b)
            -Las raíces E_n de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía 0 < E < V_o , correspondientes a las autofunciones impares.
          5. Expresión de las autofunciones impares \psi^-_n(x):
            \psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ \beta_nx& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  F_n sen k_n (x - b) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \; positiva \\  -F_n sen k_n (-x - b) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I \; negativa \\0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.
            donde
            k_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0 ; \beta_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0 ; E_n son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
            A_n=F_n \ \frac{sen k_n (a - b)}{sen \beta_n a}
            y F_n es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda \psi^-_n(x) .
            -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
            \psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ senh\ \beta_nx& \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\  F_n sen k_n (|x| - b) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\  0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.

    1. Las siguiente imágenes nos muestran los correspondiente estados ligados, que satisfacen el teorema de Sturm:

      Imagen desde: https://www.mathworks.com/examples/matlab/community/22668-double-well-schr-ouml-dinger-eigenstates; también en: http://www.chebfun.org/examples/ode-eig/DoubleWell.html
    2. Nota: los resultados para E >V_o se podían haber deducido sin más a partir de los correspondientes a E<V_o : hubiera bastado para ello sustituir el parámetro \beta del cálculo E<V_o por i \beta (es decir: \beta_{E>V_o} = -i \beta_{E<V_o} . Por ejemplo, si partimos de la ecuación de los autovalores pares en el tramo de energías E<V_o ,
      \beta \ tanh \ \beta a =-k \ cotan \ k (a-b),
      y realizamos la sustitución indicada, se deriva:
      i\beta \ tanh \ i\beta a = -i\beta \ tan \ \beta a
      \Rightarrow (\beta \ tan \ \beta a = k \ cotan \ k (b-a))_{E>V_o} .
    3. Caso límite: En el límite a \rightarrow b , se obtienen los resultados del pozo cuadrado infinito, como es fácil comprobar. En efecto, por ejemplo, el límite
      \lim_{a \rightarrow b} (\beta \ tan \ \beta a = k \ cotan \ k (b-a))_{E<V_o}
      proporciona:
      \lim_{a \rightarrow b} (\beta \ tan \ \beta a) \rightarrow k \ cotan \ 0 \rightarrow +\infty
      \Rightarrow \beta a \rightarrow (n + \frac{1}{2}) \pi (autovalores de los autoestados pares del pozo infinito).
    4. En el problema estudiado, Hamiltoniano del pozo cuadrado infinito con barrera interior, resulta por tanto: \sigma(H)=\sigma_p(H)\subset(0\, ,+\infty) : infinitos estados ligados, sin degeneración; se satisface el teorema de oscilación.
    5. La siguiente figura es una captura de pantalla de los resultados de una búsqueda por imágenes en Googlecon la entrada “quantum double well”: permite hacerse una idea de la variedad de potenciales que se pueden plantear… Y todos se resuelven similarmente.

Referencias

[BOH-89] Bohm, D.;  “Quantum Theory”; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; “Quantum Mechanics”; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; “Mecánica Cuántica”, Eudema, 1989.

[SCH-68] Schiff,L.I.; “Quantum Mechanics”; 3º ed., McGraw; 1968.

Páginas complementarias

http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_in_a_box

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/334-fc0303

http://eltamiz.com/2008/05/15/cuantica-sin-formulas-el-pozo-de-potencial-infinito/

https://pdfs.semanticscholar.org/bdfe/1f288ec26c0284505a6a61c95aa6ba32b333.pdf

http://www.hep.manchester.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/Double%20Well.html

https://arxiv.org/pdf/1209.2521.pdf

APPS

 

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