Potenciales con deltas

Nota previa: La distribución delta de Dirac

  • En el enlace Funcionales y distribuciones se encuentra una introducción a las funciones generalizadas y distribuciones, incluyendo una lista de propiedades básicas de la delta de Dirac.

Potenciales tipo delta

  • Se denominan potenciales tipo delta aquellos que contienen una distribución delta de Dirac en su expresión, o sea, un potencial cuya expresión contiene al menos un término de la forma
    l \cdot V_o\ \delta(x-x_o)\;,\;l>0 ,
    donde la constante real V_o tiene dimensiones de energía y puede ser negativa (pozo) o positiva; el parámetro real positivo l tendrá por tanto dimensiones de longitud.
    -La constante \lambda=l \cdot V_o ha de tener dimensiones de energía por longitud, ya que ha de ser
    \int V(x)dx = \int \lambda \delta (x) dx=\lambda .
    -Si V_o<0 , se tratará de un pozo con una delta atractiva situada en x=x_o : habrá que estudiar la existencia de posibles estados ligados en el rango de energías E<0 , y los estados de difusión que aparecerán para E>0 :

    pozo de potencial delta de Dirac
    [latex]\alpha=-V_o \cdot l[/latex] del presente texto; en la figura, a diferencia de en este texto, el símbolo “E” se considera con valores siempre positivos (imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html).

    -Si V_o>0 , se tratará de un potencial con una delta repulsiva situada en x=x_o , sin estados ligados y para el que sólo habrá que estudiar las soluciones, estados de difusión, en el rango de energías E>0 :

    delta-Dirac-origen-potencial_la-mc-blogspot-com
    [latex]\alpha=-V_o \cdot l[/latex] del presente texto (imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html).

Ejemplo 1: Potencial pozo con delta en el origen

  • Sea el potencial de expresión
    V(x)=l \cdot V_o\ \delta(x)\;,\;V_o<0\;,\;l>0\; , \, \lambda=l \cdot V_o<0

    pozo de potencial delta de Dirac
    [latex]\alpha=-V_o \cdot l[/latex] del presente texto; en la figura, a diferencia de en este texto, E se considera siempre positivo (imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html).
  • Problema de autovalores de energía:
    \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0 ,
    ecuación que conviene reescribir como
    \frac{d^2\psi}{dx^2}+[\epsilon-v(x)]\psi(x)=0 ,
    donde se ha introducido
    \epsilon =\frac{2m}{\hbar^2}E \quad , \quad v(x)=\frac{2m}{\hbar^2}V(x) .
    -A esta EDO (ecuación diferencial ordinaria) habrán de añadirse las condiciones de contorno adecuadas que permitan obtener las soluciones físicamente aceptables del problema planteado.
  • Buscamos soluciones \psi(x) que cumplan las condiciones:
    -función \psi(x) continua \forall x \in \mathbb{R} .
    -su derivada primera \psi'(x) continua \forall x\ne 0 y con una discontinuidad de primera especie en el puntos x=0 , en donde habrá de poseer un salto de valor:
    -En x=0:
    0=\lim_{\eta \rightarrow 0}\int_{-\eta}^{+\eta}[\frac{d^2\psi}{dx^2}+(\epsilon-v(x))\psi]dx
    =\lim_{\eta \rightarrow 0}[\psi'(+\eta)-\psi'(-\eta)+\epsilon \int_{-\eta}^{+\eta}\psi(x) dx -\lambda_1 \int_{-\eta}^{+\eta}\delta(x)\psi(x) dx]
    =\lim_{\eta \rightarrow 0}[\psi'(+\eta)-\psi'(-\eta)+\epsilon \int_{-\eta}^{+\eta}\psi dx -\lambda_1 \psi(0)]
  • \Rightarrow \lim_{\eta \rightarrow 0}[\psi'(+\eta)-\psi'(-\eta)]
    =\lambda_1 \psi(0)-\epsilon \lim_{\eta \rightarrow 0}\int_{-\eta}^{+\eta}\psi dx
    \approx \lambda_1 \psi(0) -\lim_{\eta \rightarrow 0}\epsilon \ 2\eta \ \psi(0)= \lambda_1 \psi(0)
    por continuidad de \psi en x=0 y donde \lambda_1=\frac{2mV_ol}{\hbar^2} < 0  .
    -Por tanto, las condiciones de contorno a imponer x=0 son:
    1: \psi continua en x=0
    2: \psi'(0^+)-\psi'(0^-)\approx \lambda_1 \psi(0)=\frac{2mV_ol}{\hbar^2} \psi(0)
  • Dividimos el eje OX en las dos zonas delimitadas por el punto donde se sitúa la delta, en el ejemplo el origen:
    Zona I : x<0
    Zona II : x>0
    -La forma concreta de la EDO planteada para todos los puntos donde el potencial es nulo, esto es, x\ne 0 , es:
    \quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi(x)=0
  • La solución general de una EDO
    \frac{d^2\psi}{dx^2}\mp k^2\psi=0 ,
    donde k>0 , k \in \mathbb{R} , tiene la expresión:
    -Signo (-) : \psi(x)=C_1 e^{kx} + C_2 e^{-kx}
    con C_1,C_2 escalares arbitrarios.
    -Signo (+) : \psi(x)=C_1 e^{+ikx} + C_2 e^{-ikx}=C'_1 cos kx + C'_2 sen kx
    con C_1,C_2,C'_1,C'_2 escalares arbitrarios.
    -Por tanto, identificando k=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar} > 0 , será el signo de E el que marque el tipo de solución:
  • Se presentan pues los casos:
    1. E < 0 :
      1. Solución de la EDO:
        Zona I : x<0 : \psi(x)=F e^{kx} + G e^{-kx}
        Zona II: x>0 : \psi(x)=A e^{kx} + B e^{-kx}
        donde k=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar}=\frac{+\sqrt{-2mE}}{\hbar} > 0 .
      2. Imposición condiciones de contorno:
        -Acotación x \rightarrow -\infty \Rightarrow G=0
        -Acotación x \rightarrow +\infty \Rightarrow A=0
        -Continuidad de \psi en x=0 : F=B
        -Salto de \psi' en x=0 : \psi'(0^+)-\psi'(0^-)=\lambda_1 \psi(0) :
        -kB-kF =\lambda_1 B
        \Rightarrow -2Bk=\lambda_1 B \ \Rightarrow -2k=\lambda_1
      3. Se obtiene así la condición de cuantización que proporciona los valores de energía E para los cuales existe solución físicamente aceptable:
        k=-\frac{\lambda_1}{2} \Rightarrow E=-\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=-\frac{\hbar^2\lambda_1^2}{8m}=-\frac{m\ V_o^2 l^2}{2\hbar^2}
        -Se obtiene pues un solo autovalor, con una sola autofunción asociada, de expresión:
        \psi(x)= \left\{ \begin{matrix} B e^{kx} \quad \mbox{si } x < 0  \\ Be^{-kx} \quad \mbox{si } x > 0 \end{matrix}\right.=Be^{-k|x|}\; \forall \,x
        que se representa en la siguiente figura:

        potencial-delta-de-Dirac_estado-ligado
        Imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html.

        -La constante B queda fijada por normalización:
        \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)|^2dx=1 \Rightarrow B=\sqrt{k}=\frac{\sqrt{m|V_o|l}}{\hbar}
        de manera que la autofunción normalizada es:
        \psi(x)=\frac{\sqrt{m|V_o|l}}{\hbar}e^{-\frac{m|V_o|l }{\hbar^2}|x|}\;,\;\forall x \in \mathbb{R}

    2. E > 0 :
      1. Solución de la EDO:
        Zona I : x<0 : \psi(x)=A e^{ikx} + B e^{-ikx}
        Zona II : x>0 : \psi(x)=F e^{ikx} + G e^{-ikx}
        donde en este caso k=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar}=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar} > 0:

        pozo de potencial delta de Dirac esparcimiento particulas 2
        [latex]\alpha=-\lambda=-V_o \cdot l[/latex] de este texto y también [latex]k_1=k[/latex] (imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html).
      2. En este caso las soluciones representan estados de difusión, de forma que como soluciones particulares linealmente independientes podemos elegir las asociadas a un sentido de incidencia dado: solución \psi_{izqa} correspondiente a incidencia desde la izquierda (se fijará G=0 ), y solución \psi_{dcha} correspondiente a incidencia desde la derecha (se fijará A=0 ).
      3. Imposición condiciones de contorno para \psi_{izqa}(x):
        -Continuidad de \psi en x=0 :
        \rightarrow ecuación 1: \lim_{x \rightarrow 0^-}\psi(x)=\lim_{x \rightarrow 0^+}\psi(x)
        \Rightarrow A+ B=F
        -Salto de \psi' en x=0 :
        \rightarrow  ecuación 2: \psi'(0^+)-\psi'(0^-)=\lambda_1 \psi(0) =\frac{2m}{\hbar^2}\lambda \psi(0) :
        \Rightarrow ik(F-A+B)=\frac{2m}{\hbar^2} \lambda (A+B)=\lambda_1 (A+B)
      4. Resolución para \psi_{izqa}(x) : tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas:
        B=\frac{\lambda_1}{2ik - \lambda_1}A
        F=\frac{2ik}{2ik - \lambda_1}A .
        -Obtenida la solución, pueden calcularse los correspondientes coeficientes de reflexión y transmisión:
      5. -Se define el coeficiente de transmisión T como el cociente entre los módulos de los vectores densidad de corriente transmitida e incidente:
        T=\frac{|\vec{j}_{trans}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}=\frac{|\vec{v}| \cdot |F|^2}{|\vec{v}| \cdot |A|^2}
        -Se define el coeficiente de reflexión R como el cociente entre los módulos de los vectores densidad de corriente reflejada e incidente:
        R=\frac{|\vec{j}_{refl}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}=\frac{|\vec{v}| \cdot |B|^2}{|\vec{v}| \cdot |A|^2}
        -Ambos son independientes de la normalización aplicada y satisfacen R+T=1 .
        -En este caso:
        R=\frac{|B|^2}{|A|^2}=|\frac{\lambda_1}{2ik - \lambda_1}|^2 =\frac{1}{1+\frac{4k^2 }{\lambda_1^2}}= \frac{1}{1+\frac{2\hbar^2 E}{mV_o^2l^2}}
        T=\frac{|F|^2}{|A|^2}=1-R=\frac{4k^2}{4k^2+\lambda_1^2}=\frac{1}{1+\frac{mV_o^2l^2}{2\hbar^2 E}}
        -La siguiente figura ilustra la forma de estos coeficientes:

        Potencial-delta_coeficientes-transmision-y-reflexion
        Imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html.
      6. Los estados de difusión pertenecen a energías del continuo en el espectro del Hamiltoniano, que presenta doble degeneración: \forall E>0 aparecen dos estados de difusión linealmente independientes (por ejemplo, \psi_{izqa} y \psi_{dcha} ).
  • Nota: para el potencial con delta de expresión
    V(x)=l \cdot V_o\ \delta(x)\;,\;V_o>0\;,\;l>0 es fácil comprobar que:
    -si E<0 el potencial carece de autofunciones: el problema de autovalores de la energía no tiene solución alguna físicamente aceptable.
    -si E>0 la resolución es idéntica a la hecha en el caso \lambda <0 : son válidas las mismas expresiones para los coeficientes de reflexión y transmisión (tan sólo cambia el signo del parámetro V_o  , lo que, puesto que aparece siempre al cuadrado en las fórmulas de los coeficientes R y T , no los altera).

    delta-Dirac-origen-potencial-E-mayor_la-mc-blogspot-com
    [latex]\alpha=-\lambda=-V_o \cdot l[/latex] del texto (imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html).

Ejemplo 2: Potencial pozo con doble delta

  • El potencial pozo simétrico de doble delta tiene la expresión:
    V(x)=\lambda [\delta(x+a)+\delta(x-a)]\quad , \;a > 0\;,\;\lambda=\mbox{constante}\;,\;\lambda<0 .

    delta-doble-potencial_la-mc-blogspot-com1
    Imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html.

    Delta-doble_physics-stackexchange-300x144

    -La constante \lambda ha de tener dimensiones de energía por longitud, ya que ha de ser
    \int V(x)dx = \int \lambda \delta (x) dx=\lambda .

  • Problema de autovalores de energía:
    \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0 ,
    ecuación que conviene reescribir como
    \frac{d^2\psi}{dx^2}+[\epsilon-v(x)]\psi(x)=0 ,
    donde se ha introducido
    \epsilon =\frac{2m}{\hbar^2}E \; , \; v(x)=\frac{2m}{\hbar^2}V(x) .
    -A esta EDO (ecuación diferencial ordinaria) habrán de añadirse las condiciones de contorno adecuadas que permitan obtener las soluciones físicamente aceptables del problema planteado.
  • Buscamos soluciones \psi(x) que cumplan las condiciones:
    -función \psi(x) continua \forall x \in \mathbb{R} .
    -su derivada primera \psi'(x) continua \forall x\ne \pm a \in \mathbb{R} y con discontinuidades de primera especie en los puntos x=\pm a , en los cuales habrá de poseer un salto de valor:
    -En x=+a:
    0=\lim_{\eta \rightarrow 0}\int_{a-\eta}^{a+\eta}[\frac{d^2\psi}{dx^2}+(\epsilon-v(x))\psi]dx
    =\lim_{\eta \rightarrow 0}[\psi'(a+\eta)-\psi'(a-\eta)+\epsilon \int_{a-\eta}^{a+\eta}\psi dx
    -\lambda' \int_{a-\eta}^{a+\eta}\delta(x+a)\psi(x) dx -\lambda' \int_{a-\eta}^{a+\eta}\delta(x-a)\psi(x) dx]
    =\lim_{\eta \rightarrow 0}[\psi'(a+\eta)-\psi'(a-\eta)+\epsilon \int_{a-\eta}^{a+\eta}\psi dx -\lambda' \psi(a)]
    \Rightarrow \lim_{\eta \rightarrow 0}[\psi'(a+\eta)-\psi'(a-\eta)]
    =\lambda' \psi(a)-\epsilon \lim_{\eta \rightarrow 0}\int_{a-\eta}^{a+\eta}\psi dx
    \approx \lambda' \psi(a) -\lim_{\eta \rightarrow 0}\epsilon \ 2\eta \ \psi(a)= \lambda' \psi(a)
    por continuidad de \psi en x=a y donde \lambda'=\frac{2m}{\hbar^2}\lambda ;
    -\lambda' \int_{a-\eta}^{a+\eta}\delta(x+a)\psi(x) dx=0
    ya que -a \notin (a-\eta,a+\eta) .
    -En x=-a , análogamente:
    \lim_{\eta \rightarrow 0}[\psi'(-a+\eta)-\psi'(-a-\eta)]
    =\lambda' \psi(-a)-\epsilon \lim_{\eta \rightarrow 0}\int_{-a-\eta}^{-a+\eta}\psi dx
    \approx \lambda' \psi(-a) -\lim_{\eta \rightarrow 0}\epsilon \ 2 \eta \ \psi(-a)=\ \lambda' \psi(-a)
    -Por tanto, las condiciones de contorno a imponer en los puntos x=\pm a son:
    1: \psi continua en x=\pm a
    2: \lim_{\eta \rightarrow 0}[\psi'(\pm a+\eta)-\psi'(\pm a-\eta)]\approx \lambda' \psi(\pm a)=\frac{2m}{\hbar^2}\lambda \psi(\pm a)
  • Dividimos el eje OX en tres zonas delimitadas por los puntos x=\pm a donde se sitúan las deltas:
    Zona III : x<-a
    Zona I’ : -a<x<+a
    Zona II : x>+a
    -La forma concreta de la EDO planteada para todos los puntos donde el potencial es nulo, esto es, x\ne \pm a , es:
    \quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi(x)=0
  • La solución general de una EDO
    \frac{d^2\psi}{dx^2}\mp k^2\psi=0 ,
    donde k>0 , k \in \mathbb{R} , tiene la expresión:
    -Signo (-) : \psi(x)=C_1 e^{kx} + C_2 e^{-kx}
    con C_1,C_2 escalares arbitrarios.
    -Signo (+) : \psi(x)=C_1 e^{+ikx} + C_2 e^{-ikx}=C'_1 cos kx + C'_2 sen kx
    con C_1,C_2,C'_1,C'_2 escalares arbitrarios.
    -Por tanto, identificando k=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar} > 0 , será el signo de E el que marque el tipo de solución:

    delta-doble-E-menor-mayor-corr_la-mc-blogspot-com
    Imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html.
  • Se presentan pues los casos:
    1. E < 0 :
      1. Solución de la EDO:
        Zona III : x<-a : \psi(x)=F e^{kx} + G e^{-kx}
        Zona I’ : -a<x<+a : \psi(x)=A' e^{kx} + B' e^{-kx}
        Zona II : x>+a : \psi(x)=C e^{kx} + D e^{-kx}
        donde en este caso k=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar}=\frac{+\sqrt{-2mE}}{\hbar} > 0 .
      2. Imposición primeras condiciones de contorno y requisito de paridad:
        -Acotación x \rightarrow -\infty \Rightarrow G=0
        -Acotación x \rightarrow +\infty \Rightarrow C=0
        -Paridad de las autofunciones: las soluciones tienden a cero a largas distancias, |x| \rightarrow \infty , esto es, representan estados ligados de un potencial monodimensional: por tanto, son no degeneradas y poseen paridad definida. Incorporamos esta característica de forma que podemos limitarnos a trabajar obteniendo la forma de las correspondientes soluciones pares e impares en la semirrecta real positiva, x> 0 :
        Zona I : 0< x < +a : \psi(x)=A' e^{kx} + B' e^{-kx}=A cosh (kx) + B senh (kx)
        Zona II : x> +a :
        \psi(x)=D e^{-kx}
      3. Autofunciones ligadas pares \psi_+(x) :
        1. Imposición restantes condiciones de contorno:
          -Por ser una función par: \psi'_+(0)=0 \Rightarrow B=0
          -Continuidad de \psi_+ en x=a :
          A cosh(ka)=D e^{-ka}
          \Rightarrow D=A e^{ka}cosh(ka)
          -Salto de \psi_+' en x=a : \psi_+'(a^+)-\psi_+'(a^-)=\frac{2m}{\hbar^2}\lambda \psi_+(a) :
          -kDe^{-ka}-kA senh(ka)= \frac{2m}{\hbar^2}\lambda D e^{-ka}
          \Rightarrow kA senh(ka)=-kDe^{-ka}-\frac{2m}{\hbar^2}\lambda D e^{-ka}
        2. Dividiendo las dos ecuaciones anteriores se obtiene la condición de cuantización para las autofunciones pares o ecuación que proporciona los valores de energía E para los cuales existe solución par:
          tanh(ka)=-\frac{2m\lambda}{\hbar^2 k}-1 \Rightarrow e^{-2ka}=-(\frac{\hbar^2 k}{m\lambda}+1)
          -Se trata de una ecuación trascendente que puede resolverse representando gráficamente las dos curvas f_1(k)= e^{-2ka} y f_2(k)=-(\frac{\hbar^2 k}{m\lambda}+1):

          delta-solucion-grafica-par_la-mc-blogspot-com
          [latex]\alpha=-\lambda[/latex] del texto (imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html).

          -Obsérvese que el valor de energía
          E_+=-\frac{\hbar^2 k_+^2}{2m}< 0 ,
          o único autovalor para el que existe solución par físicamente aceptable para el problema de autovalores planteado, correspondiente al punto de corte de las dos curvas en la anterior gráfica, cumple:
          0 < k_+=\frac{+\sqrt{-2mE_+}}{\hbar} > \frac{m |\lambda|}{\hbar^2}
          -Existe pues un solo estado ligado par, de expresión:
          \psi_+(x) \left\{ \begin{matrix} A e^{ka}cosh(ka) e^{kx}=A cosh(ka) e^{k(x+a)} \quad \mbox{si } x < -a  \\ A cosh(kx) \quad \mbox{si } -a < x < +a  \\ A e^{ka}cosh(ka) e^{-kx}=A cosh(ka) e^{-k(x-a)} \quad \mbox{si } x> +a \end{matrix}\right.
          -Equivalentemente:
          \psi_+(x) \left\{ \begin{matrix} A cosh(kx) \quad \mbox{si } 0 < |x| < +a  \\ A e^{ka}cosh(ka) e^{-k|x|}=A cosh(ka) e^{-k(|x|-a)} \quad \mbox{si } |x| > +a \end{matrix}\right.
          -La constante A queda fijada por normalización:
          \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi_+(x)|^2dx=1 \Rightarrow A=[a+\frac{cosh^2ka}{k}+\frac{senh(2ka)}{2k}]^{-\frac{1}{2}}
          -En la siguiente figura se representa la forma general de esta autofunción par:

          delta-doble-funcion-par_la-MC-blogspot_corr
          [latex]\alpha=-\lambda[/latex] del texto (imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html).

           

      4. Autofunciones ligadas impares \psi_-(x) :
        1. Imposición restantes condiciones de contorno:
          -Por ser una función impar: \psi_-(0)=0 \Rightarrow A=0
          -Continuidad de \psi_- en x=a :
          B senh(ka)=D e^{-ka}
          \Rightarrow D=B e^{ka}senh(ka)
          -Salto de \psi_-' en x=a : \psi_-'(a^+)-\psi_-'(a^-)=\frac{2m}{\hbar^2}\lambda \psi_-(a) :
          -kDe^{-ka}-kB cosh(ka)= \frac{2m}{\hbar^2}\lambda D e^{-ka}
          \Rightarrow kB cosh(ka)=-kDe^{-ka}-\frac{2m}{\hbar^2}\lambda D e^{-ka}
        2. Dividiendo las dos ecuaciones anteriores se obtiene la condición de cuantización para las autofunciones impares o ecuación que proporciona los valores de energía E para los cuales existe solución impar:
          cotanh(ka)=-\frac{2m\lambda}{\hbar^2 k}-1 \Rightarrow e^{-2ka}=(\frac{\hbar^2 k}{m\lambda}+1)
          -Se trata de una ecuación trascendente que puede resolverse representando gráficamente las dos curvas f_1(k)= e^{-2ka} y f_2(k)=(\frac{\hbar^2 k}{m\lambda}+1):

          delta-doble-solucion-grafica-impar_la-mc-blogspot-com
          -Las líneas rosa y azul corresponden a la representación de la función [latex]f_2(k)[/latex] para dos valores distintos de la pendiente (imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html).

          -Obsérvese que el valor de energía
          E_-=-\frac{\hbar^2 k_-^2}{2m}< 0 ,
          o único autovalor para el que, en su caso (cuando el valor de la pendiente \frac{\hbar^2}{m\lambda} lo permita), existe solución impar físicamente aceptable para el problema de autovalores planteado, correspondiente al punto de corte de las dos curvas en la anterior gráfica, cumple:
          0 < k_-=\frac{+\sqrt{-2mE_-}}{\hbar} < \frac{m |\lambda|}{\hbar^2}
          -Por tanto, puede existir un solo estado ligado impar, de expresión:
          \psi_-(x) \left\{ \begin{matrix} -B e^{ka}senh(ka) e^{kx}=-B senh(ka) e^{k(x+a)} \quad \mbox{si } x < -a  \\ B senh(kx) \quad \mbox{si } -a < x < +a  \\ B e^{ka}senh(ka) e^{-kx}=B senh(ka) e^{-k(x-a)} \quad \mbox{si } x > +a \end{matrix}\right.
          -Equivalentemente:
          \psi_-(x) \left\{ \begin{matrix} B senh(kx) \quad \mbox{si } 0 < |x| < +a  \\ B e^{ka}senh(ka) \frac{x}{|x|}e^{-k|x|}=B cosh(ka) \frac{x}{|x|}e^{-k(|x|-a)} \quad \mbox{si } |x| > +a \end{matrix}\right.
          -La constante B queda fijada por normalización:
          \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi_-(x)|^2dx=1 \Rightarrow B=[\cdots]^{-\frac{1}{2}}
          -En la siguiente figura se representa la forma general de esta función impar:

          delta-doble-funcion-impar_la-MC-blogspot_corr
          Autofunción impar (imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-Dirac.html).
    2. E > 0 :
      delta-doble-E-mayor_la-mc-blogspot-com
      Imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html.
      1. Solución de la EDO:
        Zona III : x<-a : \psi(x)=F e^{ikx} + G e^{-ikx}
        Zona I’ : -a<x<+a : \psi(x)=A e^{ikx} + B e^{-ikx}
        Zona II : x>+a : \psi(x)=C e^{ikx} + D e^{-ikx}
        donde en este caso k=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar} = \frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar} > 0.
      2. En este caso las soluciones representan estados de difusión, de forma que como soluciones particulares linealmente independientes podemos elegir las asociadas a un sentido de incidencia dado: solución \psi_{izqa} correspondiente a incidencia desde la izquierda (se fijará D=0 ), y solución \psi_{dcha} correspondiente a incidencia desde la derecha (se fijará F=0 ).
      3. Imposición condiciones de contorno para \psi_{izqa}(x) :
        -Por simplificación, fijamos F=1 (una vez resuelto el problema, bastará renormalizar la solución).
        -a) Continuidad de \psi en x=-a :
        \rightarrow ecuación 1: \lim_{x \rightarrow -a^-}\psi(x)=\lim_{x \rightarrow -a^+}\psi(x)
        \Rightarrow e^{-ika} + G e^{ika}=A e^{-ika} + B e^{ika}
        -b) Salto de \psi' en x=-a :
        \rightarrow  ecuación 2: \psi'(-a^-)-\psi'(-a^+)=-\frac{2m}{\hbar^2}\lambda \psi(-a) :
        \Rightarrow ik (e^{-ika} - G e^{ika}-A e^{-ika}+B e^{ika})
        =-\frac{2m}{\hbar^2}\lambda (e^{-ika}+G e^{ika})
        -c) Continuidad de \psi en x=+a :
        \rightarrow  ecuación 3: \lim_{x \rightarrow +a^-}\psi(x)=\lim_{x \rightarrow +a^+}\psi(x)
        \Rightarrow A e^{ika} + B e^{-ika}=C e^{ika}
        -d) Salto de \psi' en x=+a :
        \rightarrow  ecuación 4: \psi'(+a^-)-\psi'(+a^+)=-\frac{2m}{\hbar^2}\lambda \psi(+a) :
        \Rightarrow ik(A e^{ika}-B e^{-ika}-C e^{ika})
        = -\frac{2m}{\hbar^2}\lambda C e^{ika}
      4. Resolución para \psi_{izqa}(x) :
        Paso 1: (ik x ecuación 3) + (ecuación 4):
        \Rightarrow A=C (1-\frac{2m}{\hbar^2}\frac{\lambda}{2ik})=C (1+i\frac{\alpha}{k})
        donde \alpha=\frac{m\lambda}{\hbar^2} .
        Paso 2: (ik x ecuación 3) – (ecuación 4):
        \Rightarrow B=C (-i\frac{\alpha}{k}) e^{2ika}
        Paso 3: sustitución de las anteriores expresiones para A y B en la ecuación 1 y división por ik :
        \rightarrow  ecuación 1′: C (1+i\frac{\alpha}{k}) e^{-ika} + C (-i\frac{\alpha}{k}) e^{3ika}= -e^{-ika}+G e^{ika}
        Paso 4: sustitución de las anteriores expresiones para A y B en la ecuación 2 y división por ik :
        \rightarrow  ecuación 2′: C (1+i\frac{\alpha}{k}) e^{-ika} + C (i\frac{\alpha}{k}) e^{3ika} -e^{-ika}+G e^{ika}
        =(\frac{2\alpha}{ik}) (e^{-ika}+G e^{ika})
        Paso 5: (1+2i alfa/k)(ecuación 1′) + (ecuación 2′):
        \Rightarrow C [(1+i\frac{\alpha}{k})^2e^{-2ika}+\frac{\alpha^2}{k^2}e^{2ika}]=e^{-2ika}
        Paso 6: la sustitución de la anterior expresión para C en la ecuación 1′ permite obtener B .
      5. Obtenida la solución, pueden calcularse los correspondientes coeficientes de reflexión y transmisión:
        -Se define el coeficiente de transmisión T como el cociente entre los módulos de los vectores densidad de corriente transmitida e incidente:
        T=\frac{|\vec{j}_{trans}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}=\frac{|\vec{v}| \cdot |C|^2}{|\vec{v}| \cdot |F|^2}
        -Se define el coeficiente de reflexión R como el cociente entre los módulos de los vectores densidad de corriente reflejada e incidente:
        R=\frac{|\vec{j}_{refl}(x;t)|}{|\vec{j}_{inci}(x;t)|}=\frac{|\vec{v}| \cdot |G|^2}{|\vec{v}| \cdot |F|^2}
        -Ambos son independientes de la normalización aplicada y satisfacen R+T=1 .
        -En este caso (la normalización impuesta ha fijado F=1 ) :
        T=|C|^2=[1+4\frac{\alpha^2}{k^2}[cos(2ka)+\frac{\alpha}{k}sen(2ka)]^2]^{-1}
        R=|G|^2=1-T
        donde \alpha=\frac{m\lambda}{\hbar^2} .
      6. La figura siguiente nos muestra el aspecto típico del factor de transmisión T en estos problemas:
        pot-delta-doble-transmision_Wolfram
      7. Los estados de difusión pertenecen a energías del continuo en el espectro del Hamiltoniano, que presenta doble degeneración: \forall E>0 aparecen dos estados de difusión linealmente independientes (por ejemplo, \psi_{izqa} y \psi_{dcha} ).
  • Nota: para el potencial con doble delta de expresión
    V(x)=\lambda [\delta(x+a)+\delta(x-a)]\quad , \;a > 0\;,\;\lambda=\mbox{constante}\;,\;\lambda>0
    es fácil comprobar que:
    -si E<0 el potencial carece de autofunciones: el problema de autovalores de la energía no tiene solución alguna físicamente aceptable.
    -si E>0 la resolución es idéntica a la hecha en el caso \lambda <0 : son válidas las mismas expresiones para los coeficientes de reflexión y transmisión (tan sólo cambia el signo del parámetro \alpha ).
  • En el problema resuelto, se ha supuesto un doble pozo de potencial delta donde ambas deltas llevan el mismo coeficiente \lambda , esto es, tienen la misma intensidad. La resolución del doble pozo de potencial con deltas de intensidades diferentes requiere pequeñas modificaciones  del ejemplo desarrollado.
  • El interés físico del pozo de potencial de doble delta es la representación (idealizada) de átomos individuales como cargas puntuales, permitiendo modelar y tratar mecano-cuánticamente una molécula diatómica.

Referencias

[BOH-89] Bohm, D.;  “Quantum Theory”; Dover; New York, 1989.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; “Mecánica Cuántica”, Eudema, 1989.

[SCH-68] Schiff,L.I.; “Quantum Mechanics”; 3º ed., McGraw; 1968.

Páginas complementarias

http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node154.html

http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html

http://physicspages.com/2011/02/24/delta-function-well-bound-state/

http://physicspages.com/2012/08/02/double-delta-function-well-scattering-states/

http://physicspages.com/2012/08/01/double-delta-function-well/

http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node155.html

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