El entrelazamiento cuántico

El entrelazamiento o enredo cuántico

mirilla11 La propiedad cuántica del entrelazamiento  (entanglement; Verschränkung originariamente en alemán) es una propiedad de algunos estados cuánticos que fue señalada por primera vez por Schrödinger en 1935:

espiral E. Schrödinger, Discussion of probability relations between separated systems, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 31 (1935) 555-562.

 circulo1La función de onda del sistema de dos partículas, que se han separado después de una interacción temporal, no puede expresarse posteriormente como producto de funciones de onda separadas y, por tanto, el conocimiento de ? no permite adscribir a cada una de las dos partículas una función de onda individual; en otras palabras, el mejor conocimiento de un todo no incluye el mejor conocimiento de sus partes.

flechaSchrödinger consideró esta característica cuántica como profundamente insatisfactoria, pero a la vez también como la característica esencial y más radical del nuevo formalismo:

circulo1It is rather discomforting that the theory should allow a system to be steered or piloted into one or the another type of state at the experimenter’s mercy in spite of his having no access to it (ibid).

 circulo1I would not call [entanglement] one but the characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical lines of thought.

 flechaEinstein, Podolsky y Rosen la considerarían como no razonable:

 espiralA. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Physical Review 47 (1935) 777-780:

circulo1This makes the reality of P and Q depend upon the process of measurement carried out on the first system, which does not disturb the second system in any way. No reasonable definition of reality could be expected to permit this.

mirilla11 Entrelazamiento o entanglement (definición de G.G. Alcaine):

espiralG. García Alcaine, “Enredo cuántico”.

circulo1Propiedad de aquellos estados de un sistema compuesto (calificados como verwickelten en alemán, entangled en inglés, enredados, entrelazados, etc. en español) que contienen correlaciones cuánticas clásicamente inalcanzables.
[…] Si el sistema total se encuentra en un estado puro (es decir, máximamente determinado), el enredo se manifiesta en que el estado total no puede expresarse como producto de estados para cada una de sus partes (desde el punto de vista matemático), y en que ninguna de dichas partes por separado se encuentra en un estado puro (desde el punto de vista físico).
[…] El enredo cuántico es responsable de algunas de las propiedades más llamativas de la Mecánica Cuántica: contradicción con las teorías de Variables Ocultas deterministas Locales, teleportación del estado para variables discretas o continuas, borrado cuántico con elección retardada, interferencia de varias partículas, enredo entre dos cavidades con un sólo fotón, aplicaciones en metrología, espectroscopía, litografía interferométrica, mejora de la relación señal-ruido (en relojes atómicos, detección de ondas gravitacionales, etc.), etc. Mención especial merecen las aplicaciones del enredo en el campo de la información cuántica, incluyendo codificación densa, comunicación cuántica, superaditividad en la comunicación, criptografía cuántica, corrección de errores cuánticos, computación cuántica…

Estados puros y estados mezcla; operador densidad

mirilla11Estado puro: Sea un sistema cuántico y sea \mathcal{H} el correspondiente espacio de Hilbert asociado para su descripción en el formalismo cuántico.

-Cuando sobre ese sistema se tiene información maximal, entonces el sistema se encuentra en un estado descrito matemáticamente por el vector de estado o ket  |\Psi(t)> \in \mathcal{H} , autoestado simultáneo de un C.C.O.C. (conjunto completo de observables compatibles). En este caso, se dice que el sistema se halla en un estado puro, representado por el correspondiente ket del Hilbert.

mirilla11Operador densidad para un estado puro:

-El operador densidad para un estado puro |\Psi(t)> se define como el producto ket-bra:

\rho_{\Psi}(t)\equiv \rho =|\Psi(t)><\Psi(t)| \equiv P_{\Psi} ,

que representa, en este caso, el proyector P_{\Psi} sobre el espacio monodimensional del correspondiente ket.

-La matriz densidad \rho_{nm} se define como la matriz cuadrada de elementos <\phi_n | \rho | \phi_m >, donde  \{|\phi_n>\} representa una base ortonormal dada del correspondiente Hilbert.

mirilla11 En términos del operador densidad \rho \equiv \rho_{\Psi}, se escriben:

-El valor esperado <A>_{\Psi} de un observable A sobre el estado normalizado |\Psi> :

<A>_{\Psi}=<\Psi | A | \Psi>=Tr(\rho A)

-La probabilidad p(A;a) de obtener como resultado de su medida sobre dicho estado su autovalor a (supuesto por simplicidad perteneciente a su espectro puntual y no degenerado), correspondiente a la autofunción |\psi_a>A|\psi_a>=a|\psi_a> , viene dada por:

p(A;a)=||\ P_{\psi_a}|\Psi> ||^2=||\ |\psi_a><\psi_a|\Psi> ||^2
=|<\Psi | P_{\psi_a} | \Psi>|=|<\Psi | \psi_a>|^2=Tr(\rho P_{\psi_a})

donde P_{\psi_a} representa el correspondiente proyector.

-El nuevo estado \Psi' del sistema tras la medida de A con resultado a (no degenerado):

\rho'=\frac{P_{\psi_a}\rho P_{\psi_a}}{Tr(\rho P_{\psi_a})}

-La ecuación de Schrödinger:

i\hbar \frac{d\rho}{dt}=[H,\rho]

flechaUn estado puro es la herramienta matemática que proporciona las distribuciones de probabilidad para todos los observables del sistema (en ese estado).

mirilla11 Estado mezcla: cuando sobre un sistema cuántico no se tiene información maximal, esto es, se halla en una mezcla estadística de estados puros

\{ |\Psi_1>,|\Psi_2>,\ldots ,|\Psi_n>\}

(normalizados pero no necesariamente ortogonales),

con probabilidades normalizadas respectivas

\{p_1,p_2,\ldots ,p_n \}\; ,\; 0\le p_i\le 1\;;\; \sum_{i=1}^{n}p_i=1 ,

la descripción matemática del mismo en el formalismo cuántico se corresponde con un estado mezcla.

mirilla11Operador densidad para un estado mezcla:

-En términos del operador densidad \rho un estado mezcla se describe matemáticamente en el formalismo mecano-cuántico como:

\rho=\sum_k |\Psi_k> p_k<\Psi_k| ,

para el que, supuesta las probabilidades normalizadas, se tiene que Tr \rho =\sum_k p_k=1 .

-El valor esperado <A>_{\rho} de un observable A sobre el estado mezcla del sistema representado por el operador densidad \rho viene dado por:

<A>_{\rho}=Tr(\rho A)=\sum_{k} p_{k} <\Psi_k | A | \Psi_k>

flechaUn estado puro |\Psi> es un caso particular de estado mezcla en que todas las probabilidades p_i son nulas excepto la que corresponde precisamente al estado puro en cuestión, que es la unidad; el operador densidad entonces, para un estado puro, satisface \rho^2=\rho .

mirilla11Propiedades generales del operador densidad:

mirilla2Es acotado, autoadjunto, positivo, con traza unidad y cumpliendo \rho \ge \rho^2 (por lo tanto, compacto, de modo que su espectro es puramente puntual y discreto, salvo, a lo sumo y en su caso, con el cero como punto de acumulación).

mirilla2El cuadrado de un operador densidad tiene la expresión:

\rho^2= \rho \otimes \rho=\sum_k p_k | \Psi_k><\Psi_k| \sum_{k'} p_{k'}|\Psi_k'><\Psi_k'| =\sum_{k,k'} p_k p_{k'} \, | \Psi_k> < \Psi_k | \Psi_k'> < \Psi_k' | =\sum_{k} p_k^2 |\Psi_k> <\Psi_k |

mirilla2Sea, en particular, la expresión de un operador densidad en términos de la base ortonormal \{\psi_j\} del Hilbert asociada al operador compacto densidad \rho , esto es, su base propia:

\rho=\sum_j q_j |\psi_j><\psi_j|

con

\rho |\psi_j>=q_j |\psi_j>\;;\; Tr \rho=\sum_j q_j=1

(análoga a la definición anterior pero integrada ahora sí por proyectores ortogonales dos a dos); su expresión en otra segunda base ortonormal \{\phi_i\} del Hilbert sería (cf. [GAL-89], pp. 88ss.):

|\phi_i>=\sum_j c_{ji}|\psi_j>

donde la transformación es unitaria, esto es, se cumple

\sum_k c_{ik}c_{jk}^*=\sum_k c_{ki}c_{kj}^*=\delta_{ij} \Rightarrow |\psi_i>=\sum_j c_{ij}^*|\phi_j> \Rightarrow \rho=\sum_{i,j}|\phi_i>p_{ij}<\phi_j|

donde

p_{ij}=\sum_k c_{ki}^* q_kc_{kj}=<\phi_i| \rho | \phi_j>=\rho_{ij}

-Supuestas las dos bases como integradas por estados físicamente realizables, se tiene que:

\bullet El elemento diagonal de la matriz densidad en la base, \rho_{ii}=p_{ii} , representa la probabilidad de hallar al sistema en el estado \phi_i de la base, denominándose población de dicho estado \phi_i .

\bullet El término no diagonal de la matriz densidad, p_{ij} con i\ne j , da cuenta de las interferencias entre los estados \phi_i y \phi_j que surgen al expresar \psi_k en la nueva base \{\phi_i\} , cumpliéndose que |p_{ij}|^2 \le p_{ii}p_{jj} ; asimismo, p_{ii}=0 implica p_{ij}=0 \; \forall j .

\bullet Para un estado puro se tiene |p_{ij}|^2=p_{ii}p_{jj} .

\bullet Los escalares complejos p_{ij} con i\ne j se denominan como coherencias, representando la coherencia residual en \rho de los vectores \phi_i y \phi_j tras el promedio estadístico; en un estado puro, se cumple la condición de coherencia máxima: \rho_{ij}\rho_{ji}=\rho_{ii}\rho_{jj} .

\bullet Cuando en un estado mezcla al menos un par de elementos no diagonales \rho_{ij} de la matriz densidad (o coherencias) cumplen 0<\rho_{ij}\rho_{ij}<\rho_{ii}\rho_{jj}, se dice que el estado mezcla está sólo parcialmente mezclado.

\bullet Cuando en un estado mezcla al menos un par de elementos de la matriz densidad satisfacen las dos condiciones \rho_{ij}=\rho_{ji}=0 y \rho_{ii}\rho_{ij}\ne 0 , se dice que el estado mezcla está totalmente mezclado.

mirilla2Ejemplos: sean los siguientes operadores densidad, dados también en su representación matricial, en el espacio de espín \frac{1}{2}:

\bullet Ejemplo 1:

\rho=|\uparrow><\uparrow| \quad , \;    \rho =\left( \begin{matrix} 1&0 \\ 0&0 \end{matrix}\right)

-Representa el estado puro |\uparrow> , cumpliéndose 0<\rho_{12}\rho_{21}=0=\rho_{11}\rho_{22} .

\bullet Ejemplo 2:

\rho=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow>+|\downarrow>)\frac{1}{\sqrt{2}}(<\uparrow|+<\downarrow|) =\frac{1}{2}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{2}|\uparrow><\downarrow| +\frac{1}{2}|\downarrow><\uparrow| +\frac{1}{2}|\downarrow><\downarrow| \rho =\left(\begin{matrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)

-Representa el estado puro \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow>+|\downarrow>) , cumpliéndose 0<\rho_{12}\rho_{21}=\frac{1}{4}=\rho_{11}\rho_{22} .

\bullet Ejemplo 3:

\rho=\frac{3}{4}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{4}|\uparrow><\downarrow| +\frac{1}{4}|\downarrow><\uparrow| +\frac{1}{4}|\downarrow><\downarrow| \rho =\left(\begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix}\right)

-Representa un estado mezcla, parcialmente mezclado, ya que se cumple 0<\rho_{12}\rho_{12}=\frac{1}{16}<\rho_{11}\rho_{22}=\frac{3}{16} .

\bullet Ejemplo 4:

\rho=\frac{3}{4}|\uparrow><\uparrow| +\frac{1}{4}|\downarrow><\downarrow| \rho =\left(\begin{matrix} \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right)

-Representa un estado mezcla, totalmente mezclado, ya que se cumple \rho_{12}=\rho_{21}=0 y \rho_{11}\rho_{22}=\frac{3}{16}\ne 0 .

Trazas

mirilla11 La traza de un operador densidad \rho ,

Tr \rho=\sum_{k}<\psi_k | \rho | \psi_k>

es independiente de la base \{|\psi_k>\} elegida para su cálculo, y satisface las siguientes propiedades:

-Es igual a la unidad si el operador densidad representa un estado puro normalizado:

|\Psi>=\sum_{i} \alpha_i |\psi_i> \;;\; \sum_i |\alpha_i|^2=1 \Rightarrow Tr \rho=Tr(|\Psi ><\Psi |) =\sum_i <\psi_i | (\sum_j \alpha_j |\psi_j >)(\sum_k \alpha_k^*<\psi_k |)|\psi_i> =\sum_{i,j,k} \alpha_j \alpha_k^* <\psi_i | \psi_j><\psi_k | \psi_i>=\sum_i |\alpha_i|^2=1

-Es igual a la unidad si el operador densidad representa un estado mezcla (siempre que todos los estados puros de la mezcla estadística y sus probabilidades estén normalizados):

Tr \rho = \sum_i < \psi_i | (\sum_k | \Psi_k> p_k < \Psi_k | ) | \psi_i > =\sum_k p_k Tr(|\Psi_k> <\Psi_k|)=\sum_k p_k=1

flecha La traza del cuadrado de un operador densidad tiene un valor diferente para estados puros y estados mezcla:

Tr \rho^2=\sum_i <\psi_i | \rho^2 | \psi_i> =\sum_i <\psi_i | (\sum_{k} p_k^2 |\Psi_k> <\Psi_k |) | \psi_i> =\sum_k p_k^2 Tr(|\Psi_k> <\Psi_k |)

=\sum_k p_k^2\le 1 ,

por lo que:

-para un estado puro: Tr \rho^2=\sum_k p_k^2=1

-para un estado mezcla: Tr \rho^2=\sum_k p_k^2<1

Sistemas compuestos

mirilla11Si un sistema cuántico está compuesto por n subsistemas idénticos, cuyos respectivos espacios de Hilbert (complejos y separables) asociados para su descripción en el formalismo cuántico son \mathcal{H}_1,\ldots ,\mathcal{H}_n, el espacio de Hilbert para el sistema compuesto es el producto tensorial \mathcal{H}= \otimes_{i=1}^{n} \mathcal{H}_n, de dimensión dim \mathcal{H}= \Pi_{i=1}^{n} dim \mathcal{H}_i .

mirilla11 Por ejemplo, en el caso de un sistema cuántico compuesto por dos subsistemas idénticos A y B con Hilberts asociados de dimensión 2 (por ejemplo: 2 qubits), el espacio de Hilbert para el sistema compuesto es el producto tensorial \mathcal{H}=\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B, de dimensión 4, cuya base general suele representarse como:

\{ |00>,|01>,|10>|11> \}

Traza parcial

Sea un sistema bipartito compuesto por dos partes A y B.

mirilla2Por ejemplo, puede ser el caso de dos átomos, cada uno de los cuales se asocia con sendos Hilberts \mathcal{H}_i , de dimensiones respectivas 2 y3, de forma que el Hilbert del sistema sería \mathcal{H}=\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B , de dimensión 6 .

-Notando los vectores de los Hilberts de cada espacio como

\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right)\in \mathcal{H}_1 \left( \begin{matrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{matrix}\right)\in \mathcal{H}_2

un vector general del Hilbert del sistema sería

\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right) \otimes \left( \begin{matrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{matrix}\right) \doteq \left( \begin{matrix} a\alpha \\ b\alpha \\ a\beta \\ b\beta \\ a\gamma \\ b\gamma \end{matrix}\right) \in \mathcal{H}

-Los operadores C y D, actuando sobre \mathcal{H} y refiriendo sólo respectivamente a cada subsistema A y B, serán de la forma C\otimes I_B y I_A\otimes D, con expresión matricial:

C\otimes I_B=\left(\begin{matrix} C_{11}&C_{12} \\ C_{21}&C_{22}\end{matrix}\right) \otimes \left(\begin{matrix} 1&0&0 \\0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} C_{11} & C_{22} & 0 & 0&0&0\\C_{21}&C_{22}& 0 & 0&0&0\\ 0& 0&C_{11}&C_{12} &0&0\\ 0&0&C_{21} &C_{22}&0 &0\\ 0&0&0&0&C_{11}&C_{12}\\ 0&0&0&0&C_{21}&C_{22} \end{matrix}\right) I_A\otimes D=\left(\begin{matrix} 1&0 \\0&1\end{matrix}\right) \otimes\left(\begin{matrix} D_{11}&D_{12}&D_{13} \\ D_{21}&D_{22}&D_{23}\\ D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} D_{11} & D_{12} & D_{13} & 0&0&0\\D_{21}&D_{22}& D_{23} & 0&0&0\\ D_{31}& D_{32}&D_{33}&0 &0&0\\ 0&0&0&D_{11} &D_{12} &D_{13}\\ 0&0&0&D_{21}&D_{22}&D_{23}\\ 0&0&0&D_{31}&D_{32}&D_{33} \end{matrix}\right)

mirilla11La traza parcial de un operador E=C\otimes D , actuando sobre \mathcal{H} , se define entonces según:

Tr_A(E)=Tr_A(C\otimes D)\equiv D\ Tr C Tr_B(E)=Tr_B(C\otimes D)\equiv C\ Tr D

expresiones que proporcionan sendos operadores actuando sólo sobre \mathcal{H}_B y \mathcal{H}_A .
-al “tracear” un subsistema sobre el estado de un sistema compuesto, es como si lo elimináramos.

mirilla2 En el ejemplo, serían:

E=C\otimes D=\left(\begin{matrix} C_{11}&C_{12} \\ C_{21}&C_{22}\end{matrix}\right) \otimes\left(\begin{matrix} D_{11}&D_{12}&D_{13} \\ D_{21}&D_{22}&D_{23}\\ D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} C_{11}D_{11}&C_{12}D_{11} &C_{11}D_{12} &C_{12}D_{12} &C_{11}D_{13}&C_{12}D_{13} \\ C_{21}D_{11}&C_{22}D_{11} &C_{21}D_{12} &C_{22}D_{12}&C_{21}D_{13}&C_{22}D_{13} \\ C_{11}D_{21} &C_{12}D_{21}&C_{11}D_{22}&C_{12}D_{22}&C_{11}D_{23}& C_{12}D_{23}\\ C_{21}D_{21} &C_{22}D_{21} &C_{21}D_{22} &C_{22}D_{22} & C_{21}D_{23}&C_{22}D_{23} \\ C_{11}D_{31} &C_{12}D_{31} &C_{11}D_{32} & C_{12}D_{32} &C_{11}D_{33}&C_{12}D_{33}\\C_{21}D_{31} & C_{22}D_{31} &C_{21}D_{32} &C_{22}D_{32} &C_{21}D_{33}&C_{22}D_{33}\end{matrix}\right) \Rightarrow Tr_A E=\left( \begin{matrix} C_{11}+C_{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} D_{11}&D_{12}&D_{13} \\ D_{21}&D_{22}&D_{23}\\ D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{matrix}\right)

(operador que actúa sobre \mathcal{H}_B).

Tr(Tr_A E)=(C_{11}+C_{22})(D_{11}+D_{22}+D_{33})=Tr E

flechaDe manera que la traza parcial convierte el operador original sobre \mathcal{H} en un operador sobre el correspondiente espacio no traceado del subsistema implicado.

-Por ejemplo: dado el operador

E=C_1\otimes D_1 +C_2\otimes D_2 ,
se tiene:

Tr_A E=Tr_A(C_1\otimes D_1 +C_2\otimes D_2) =Tr_A(C_1\otimes D_1)+Tr_A(C_2\otimes D_2) =D_1TrC_1 + D_2TrC_2

de forma que el resultado es un operador sólo sobre \mathcal{H}_B .

flechaTodo operador sobre \mathcal{H} puede escribirse como combinación lineal de operadores actuando sólo sobre cada uno de los subsistemas.

mirilla11 La traza parcial de un operador densidad \rho , en el caso de un sistema bipartito A y B , define los denominados operadores densidad reducidos:

\rho_A\equiv Tr_B \rho =\sum_i <i^B | \rho | i^B > \rho_B\equiv Tr_A \rho =\sum_i <i^A | \rho | i^A >

flecha Los operadores densidad reducidos encierran toda la información contenida en el operador densidad \rho relativa sólo al correspondiente subsistema .

-Por ejemplo, sea el operador C_A , relativo sólo al subsistema A. Entonces, una extensión trivial suya al Hilbert \mathcal{H} viene dada por el operador C=C_A\otimes I_B y su valor esperado en el estado del sistema compuesto representado por el operador densidad \rho es:

<C_A>_{\rho}=Tr(\rho (C_A\otimes I_B))=<C_A>_{\rho_A}=Tr( \rho_A C_A)

-es decir: es posible calcular el valor esperado de un operador que actúa solamente sobre el subsistema A como si estuviese aislado y descrito por \rho_A : el operador \rho_A , obtenido traceando el subsistema B, describe el estado del subsistema A.

mirilla11 Por lo tanto: La operación de traza parcial sobre uno de los subsistemas que componen un sistema compuesto reduce el espacio de Hilbert global al espacio de Hilbert correspondiente al subsistema concreto: se ignoran las otras partes del sistema, anulando las correspondientes amplitudes de probabilidad.

flecha El operador densidad \rho_{AB}=\rho_A \otimes \rho_B sobre \mathcal{H} corresponde a la descripción de un sistema donde las respectivas variables de cada subsistema presentan correlación nula.

flecha En general, para un estado del sistema compuesto \rho \ne\rho_A \otimes \rho_B , de forma que el operador densidad \rho describe un estado en que que las variables de los dos subsistemas presentan alguna correlación.

mirilla11 Las trazas parciales de la matriz densidad de un estado puro de un sistema bipartito sobre cada uno de los dos espacios de Hilbert involucrados proporcionan como resultado general un estado mezcla.

mirilla2Ejemplo: sea un sistema de dos qubits, de forma que el Hilbert \mathcal{H} del sistema compuesto es de dimensión 4, con base

\{ |00>,|01>,|10>|11> \}

y sea el estado puro del Hilbert correspondiente al estado de Bell |\Psi^-> :

|\Psi^->=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01>-|10>) \rho=|\Psi^-><\Psi^-|=(|\Psi^-><\Psi^-|)^{\dagger} =\rho^2=\frac{1}{2}(|01>-|10>)(|01>-|10>)^{\dagger} =\frac{1}{2}(|01>-|10>)(<01|-<10|)

=\frac{1}{2}(|01><01|+|10><10|-|01><10|-|10><01|) ,

cuya matriz densidad es:

\rho=\frac{1}{2} \left(\begin{matrix} 0&0&0&0 \\ 0&1&-1&0\\ 0&-1&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right)

-Finalmente, puede calcularse:

\rho_A=Tr_B \rho = \frac{1}{2}(|0><0| +|1><1|)=\frac{1}{2}I_A

que representa un estado mezcla ya que

Tr \rho_A^2=\frac{1}{2}<1 .

-Análogamente:

\rho_B=Tr_A \rho =\frac{1}{2}I_B , estado mezcla.

-Finalmente, pues, concluimos que para este estado de Bell:

\rho \ne \rho_A \otimes \rho_B .

flecha Es decir: aunque el estado de un sistema bipartito de dos qubits sea puro, cada qubit puede hallarse en un estado mezcla.

flecha Poseer información maximal sobre el estado del sistema compuesto puede no proporcionar información maximal sobre sus partes: es lo que sucede en los estados entrelazados.

Purificación

mirilla11 Dado un sistema cuántico A en un estado mezcla descrito por el operador densidad \rho_A , el proceso de purificación consiste en introducir un segundo sistema B en un sistema existente A, de tal manera que el sistema compuesto resultante A-B esté en un estado puro \rho_{AB}=|\Psi><\Psi|\;,\; |\Psi> \in \mathcal{H}=\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B , que satisface \rho_A=Tr_B \rho_{AB} .

-La purificación representa, en cierta manera, la operación inversa a la de traza parcial o traceado de un subsistema de un sistema compuesto.

flecha Es un proceso siempre posible.

Entrelazamiento en estados puros

mirilla11Sea un sistema cuántico compuesto por n subsistemas idénticos, de forma que el espacio de Hilbert para el sistema compuesto es el producto tensorial \mathcal{H}= \otimes_{i=1}^{n} \mathcal{H}_n, de dimensión dim \mathcal{H}= \Pi_{i=1}^{n} dim \mathcal{H}_i .

flecha Un estado estado puro de expresión general |\Psi(t)> \in \mathcal{H} se denomina separable cuando admite expresión en forma separable, esto es, como un producto tensorial de sendos vectores de cada uno de los Hilberts:

|\Psi(t)>=\Pi_{i=1}^{n}|\psi_1> \otimes \ldots \otimes |\psi_n>

con |\psi_i> \in \mathcal{H}_i .

mirilla11Los estado estados puros separables, o estados puros producto, corresponden a estados puros del sistema en los que la información es maximal, tanto para el sistema compuesto como para cada uno de los subsistemas que lo componen.

flecha Un estado estado puro de expresión general |\Psi(t)> \in \mathcal{H} se denomina entrelazado (entangled) cuando no admite expresión en forma separable, esto es, como un producto de factores separados de la forma:

|\Psi(t)>=\Pi_{i=1}^{n}|\psi_1> \otimes \ldots \otimes |\psi_n>

con |\psi_i> \in \mathcal{H}_i .

-Ejemplos: para un sistema de tres qubits, los 8 estados GHZ (Greenberger-Horne-Zeilinger):

|\Psi_{1\pm}> \ =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0_1 0_2 0_3> \pm |1_1 1_2 1_3>) |\Psi_{2\pm}> \ =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0_1 0_2 1_3> \pm |1_1 1_2 0_3>) |\Psi_{3\pm}> \ =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0_1 1_2 0_3> \pm |1_1 0_2 1_3>) |\Psi_{4\pm}> \ =\frac{1}{\sqrt{2}}(|1_1 0_2 0_3> \pm |0_1 1_2 1_3>)

mirilla11Los estado estados puros no-separables, o estados puros entrelazados, son estados puros del sistema para los que los operadores densidad reducidos de los subsistemas componentes (al menos para uno de ellos) no describen estados puros, sino estados mezcla.
-Para estos estados, disponer de información maximal sobre el sistema compuesto no conlleva disponer de información maximal sobre todos los subsistemas componentes.

Entrelazamiento en sistemas bipartitos

mirilla11En el caso de un sistema cuántico compuesto por dos subsistemas idénticos A y B, el espacio de Hilbert para el sistema compuesto es el producto tensorial \mathcal{H}=\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B .

-Mientras que la dimensión del subespacio integrado por los estados separables es \mathcal{H}_A+\mathcal{H}_B , la dimensión del Hilbert es mucho mayor en general, viniendo dada por

dim \mathcal{H}= dim \mathcal{H}_A \cdot dim \mathcal{H}_B

mirilla11 Ejemplos:

-el singlete de espín:

|\Psi>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1 \downarrow_2>-|\downarrow_1 \uparrow_2>)

-los 4 estados de Bell o pares EPR:

| \Psi^{\pm}(A,B)>=\frac{1}{\sqrt{2}}( | 0_A 1_B > \pm | 1_A 0_B > )\ne |\psi(A)> \otimes \; | \psi(B)> | \Phi^{\pm}(A,B)>=\frac{1}{\sqrt{2}}( | 0_A 0_B > \pm | 1_A 1_B > )\ne |\phi(A)> \otimes \; | \phi(B)>

de los que se dice que poseen un entrelazamiento máximo (rango de Schmidt máximo, véase apartado siguiente), ya que las correspondientes matrices densidad reducidas corresponden a una mezcla uniforme de los estados |00> y |11> . Para ellos, \rho_{AB} \ne \rho_A \otimes \rho_B , es decir, \rho_A \otimes \rho_B no da cuenta de las correlaciones cuánticas entre A y B.
-Como ya vimos antes para el estado de Bell | \Psi^{-}> , en estos estados puros entrelazados del sistema de los dos qubits, cada qubit individual se encuentra en un estado mezcla: no se dispone de información maximal sobre él.

 La descomposición de Schmidt: un criterio de entrelazamiento

mirilla11Para los sistemas bipartitos la descomposición de Schmidt proporciona un criterio para determinar si un estado puro del sistema es separable o entrelazado (pero no una medida precisa del grado de entrelazamiento).

flecha Teorema de descomposición biortonormal de Schmidt (1907):

Dado un estado puro |\Psi> \in \mathcal{H}=\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B de un sistema cuántico bipartito A-B, existe al menos un par de sendas bases ortonormales

\{|a_i>\}_{i=1}^{d_A=dim \mathcal{H}_A} \subset \mathcal{H}_A

\{|b_i>\}_{i=1}^{d_B=dim \mathcal{H}_B} \subset \mathcal{H}_B ,

dependientes del estado particular |\Psi> y tales que se satisface:

|\Psi>=\sum_{i=1}^{r}\sqrt{s_i}\ |a_i>\otimes |b_i>

\equiv \sum_{i=1}^{r}\sqrt{s_i}\ |a_i> |b_i> ,

donde s_i\;,\;i=1,\ldots ,r , son números reales positivos, denominados como pesos o coeficientes de Schmidt, que satisfacen la ligadura \sum_is_i=1 ; el real positivo r, que satisface r \le d=min(d_A,d_B) , se denomina número o rango de Schmidt del estado puro |\Psi> , r=Sch(|\Psi>) , y representa el número de amplitudes no nulas en la correspondiente descomposición de Schmidt.

-Obsérvese que la potencia del teorema es que aparezca en su expresión una sola sumatoria: es trivial que cualquier estado puro del Hilbert admite expresión en sendas bases \{|\psi_i>\}_{i=1}^{d_A}\} y \{|\phi_i>\}_{i=1}^{d_B}\} de \mathcal{H}_A y \mathcal{H}_A , de la forma

|\Psi>=\sum_{i=1}^{d_A}\sum_{j=1}^{d_B}c_id_j|\psi_i> \otimes |\phi_j>

\equiv \sum_{i=1}^{d_A}\sum_{j=1}^{d_B}C{ij}|\psi_i>|\phi_j> ,

donde los C_{ij} representan escalares (complejos).

-La descomposición de Schmidt implica una correlación perfecta entre entre los autovalores a_i y b_i correspondientes a cada pareja de autoestados |a_i> y |b_i> .

-Cuando el rango de Schmidt es máximo, r=min(dim \mathcal{H}_A,dim\mathcal{H}_B ) , y los módulos de todos los coeficientes son iguales, se dice que el estado es máximamente entrelazado (por ejemplo, el singlete de espín y los cuatro estados de Bell lo son).

mirilla11 Propiedades: Para un estado puro de un sistema bipartito:

-La descomposición de Schmidt es única en el sentido de que el rango y, hasta cierto orden, los pesos, son únicos; también, en el de que, dado un coeficiente no degenerado s_i , los estados asociados |a_i>|b_i> son únicos salvo factores de fase recíprocos. Pero si el espectro de \rho presenta degeneración, la base de Schmidt no es única.

-Las bases \{|a_i>\}\{|b_j>\} están integradas por autovectores de los operadores densidad reducidos \rho_A y \rho_B ,

\rho_A=Tr_B|\Psi><\Psi|=\sum_{i=1}^rs_i|a_i><a_i| \rho_B=Tr_A|\Psi><\Psi|=\sum_{i=1}^rs_i|b_i><b_i|

correspondientes respectivamente a los dos subsistemas que componen el sistema bipartito: son sus bases propias.

-Las matrices densidad reducidas \rho_A y \rho_B son autoadjuntas, positivas y de traza unidad (como corresponde a todo operador densidad).

-Las matrices densidad reducidas son diagonales, y tienen el mismo número rango de Schmidt r de autovalores positivos, que proporciona entonces su dimensión.

-Los autovalores de las matrices densidad reducidas son precisamente los coeficientes o pesos de Schmidt s_i , de forma que los espectros de los dos operadores densidad reducidos coinciden (salvo a lo sumo en la degeneración del autovalor nulo, en su caso), por lo que poseen los mismos autovalores s_i .

-El numero de Schmidt no cambia si se hacen operaciones unitarias sobre alguno de los subsistemas.

Un estado puro de un sistema bipartito es separable si y sólo si su número de Schmidt es 1.

Un estado puro de un sistema bipartito es entrelazado si y sólo si su número de Schmidt es mayor que 1.

mirilla11 La medida de Schmidt para el entrelazamiento de estados puros se define como:

Entr(|\Psi>)=log_2 \ Sch(|\Psi>)

expresándose en la unidad e-bit: los 4 estados de Bell poseen cada uno un e-bit de entrelazamiento.

-Se han introducido muchas definiciones de medidas de entrelazamiento, en términos de los coeficientes de Schmidt; dependiendo de las aplicaciones se usarán unas u otras.

-También se han introducido testigos de entrelazamiento, que son observables que presentan valores esperados distintos para estados separables y entrelazados, y que pueden expresarse en términos de operadores autoadjuntos positivos. Un ejemplo: la magnetización, en ciertos sistemas.

flechaLos estados puros separables de un sistema bipartito satisfacen todas las desigualdades del tipo Bell y admiten una descripción en términos de elementos de realidad EPR locales.

flecha Todo estado puro entrelazado viola una desigualdad de Bell.

Entrelazamiento en estados mezcla de un sistema bipartito

mirilla11Los estados mezcla de un sistema bipartito se clasifican en:

1. Estados separables producto o no correlacionados: cuando el operador densidad tiene la estructura:

\rho= \rho_A \otimes \rho_B

2. Estados separables generales: cuando el operador densidad admite expresión (no única en general) como suma de de estados producto de la forma:

\rho= \sum _i p_i \rho_A^i \otimes \rho_B^i

donde 0\le p_i\le 1 y \sum_i p_i=1 y la cardinalidad del estado se define como el menor número de sumandos presente en el conjunto de todas las sumas convexas anteriores posibles.

-Todo estado producto es puro y trivialmente separable.

-A estos estados se les denomina a veces como clásicamente correlacionados (Werner).

3. Estados entrelazados o no-separables: todo estado que no es separable.

-También se denominan como estados cuánticamente correlacionados.

-Nota: sin embargo, un estado mezcla separable también puede exhibir correlaciones no clásicas, aunque sólo los estados mezcla entrelazados presentan correlaciones similares a las vistas en los estados puros entrelazados.

mirilla11 Una condición necesaria para la separabilidad es que se satisfagan todas las desigualdades de Bell, y en particular las de CHSH, para cualquier conjunto de 4 observables, pero no es condición suficiente (cf. G. García Alcaine, Enredo cuántico, p. 22).

mirilla11Para la medida de entrelazamiento de los estados mezcla también se han desarrollado numerosos métodos, entre ellos: las entropías de von Neumann (1927), de Renyi, de Tsallis…

espiralVéase:G. García Alcaine, Enredo cuántico, pp. 22ss.

Sistemas tripartitos

mirilla11 Sobre el entrelazamiento en sistemas tripartitos, pueden consultarse los siguientes trabajos de investigación:

espiral Clasificación y medida del entrelazamiento en sistemas de tres qubits

espiral A quantitative witness for Greenberger-Horne-Zeilinger entanglement

espiralRealización experimental del entrelazamiento de tres fotones

Desarrollos recientes

espiral 2012: Entanglement Between Photons that have Never Coexisted ; The first quantum entanglement of photons through space and time ; la noticia en Science.

espiral 2013: nuevo test para determinar entrelazamiento en sistemas cuánticos

Ejercicio final

El teorema EPR, revisitado a la luz del formalismo del operador densidad y los estados entrelazados:

espiralDensity-Matrix Description of the EPR Paradox

Bibliografía

 

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