Luz cuasiclásica: estados coherentes (Glauber) de radiación

Fuentes: esta entrada se basa principalmente en:

  • Cap. 3, Introductory Quantum Optics, de Gerry y Knight ([GER-05]).
  • Cap. 5, Quantum Optics, de Garrison y Chiao ([GAR-08]).
  • Cap. 5, Quantum Optics. An introduction, de M. Fox ([FOX-04]).

Límite clásico de la radición: estados coherentes o Glauber

mirilla11 La coherencia de la luz describe su “estabilidad”:
-Sólo las ondas coherentes pueden mostrar un patrón estable de interferencia.
-Ondas coherentes, en teoría ondulatoria clásica, pueden definirse en general como aquéllas que tienen una diferencia finita y estable entre sus frecuencias y fases: Coherencia

mirilla11 Introducida la cuantización del campo electromagnético, los denominados estados coherentes o cuasi-clásicos, estados Glauber (1963), se consideran los estados de radiación más clásicos (límite clásico), y se identifican con los autoestados del operador destrucción \hat{a} , en los que las fluctuaciones del campo electromagnético son mínimas.

espiral J. O. Cortés-Tamayo:  Estados coherentes del campo de radiación:

circulo1 Los estados coherentes fueron descubiertos por E. Schrödinger en 1926 en el oscilador armónico simple. Él encontró funciones de onda que siguen el movimiento clásico de una partícula y cuyos perfiles son temporalmente estacionarios. Sin embargo, fueron introducidos en la óptica cuántica por Glauber en 1963 mediante el estudio de la coherencia de los campos de radiación cuantizados; fue en ese contexto que se les denominó estados coherentes.
Por un lado, el concepto de coherencia usado convencionalmente en óptica clásica implica que dos valores del campo de un haz de luz en puntos espacio-tiempo muy separados se encuentran correlacionados y que cuando se usan medios ópticos para superponerlos resultan franjas de intensidad; el ejemplo típico es el experimento de interferencia de Young. No obstante, este concepto requiere de un solo detector, el cual mide la intensidad o en otras palabras el cuadrado de la amplitud del campo y está confinado a describir haces monocromáticos y estacionarios en el tiempo. Con esto es posible caracterizar todos los experimentos típicos de la óptica clásica, como son los experimentos de difracción e interferencia. Esta coherencia clásica se introduce a través de la función de visibilidad de las franjas de interferencia en el experimento de Young, y se formula mediante la teoría estadística de cuasiprobabilidad.
Como la coherencia de un haz de luz está relacionada con las correlaciones que éste experimenta en intervalos considerables de distancia y tiempo, la idea de R.J. Glauber en 1963 fue examinar un experimento más general en que se colocan n detectores en diferentes puntos espacio-tiempo para registrar correlaciones de n fotones. Buscando que la teoría fuese consistente en el límite clásico de gran número de fotones, Glauber estudió el problema de radiación y fotoestadística mediante la discusión de sus propiedades de correlación y coherencia. De dicho estudio encontró en forma natural el concepto de estado coherente, el cual resultó único en la descripción de los haces de luz que ocurren en óptica coherente y que cuánticamente corresponden a estados en que el número de fotones es grande e intrínsecamente incierto, lo que no ofrecían otras representaciones de la luz como la formulada mediante los estados de Fock, cuyo número de fotones está bien determinado pero que describen insatisfactoriamente tales problemas. Por ejemplo, las densidades de probabilidad en la localización de los fotones, muestran diferencias apreciables con los perfiles clásicos correspondientes, pero aunque esta diferencia disminuye conforme el número de fotones crece, también crece el nivel de ruido del sistema. 
De esa manera, los estados coherentes de GIauber satisfacen el principio de correspondencia de Bohr, es decir, los campos cuánticos coherentes reproducen a las ondas electromagnéticas clásicas con gran precisión en el límite de muchos fotones; son la contraparte cuántica más próxima a un campo clásico en el límite clásico. Además mantienen al sistema con la mínima fluctuación permitida por el principio de incertidumbre de Heisenberg, correspondiente a la fluctuación del vacío, justificando que también se les llame estados de mínima incertidumbre. 

Estados coherentes: Autoestados del operador destrucción

mirilla11 Sea |\alpha> un autoestado del operador \hat{a} (que no es hermítico),

\hat{a}|\alpha>=\alpha|\alpha>\, \alpha \in \mathbb{C} <\alpha|\hat{a}^+=<\alpha|\alpha^*

-Expresado en la base del espacio de Fock:

|\alpha>=\sum_n c_n|n>

\Rightarrow \hat{a}|\alpha>=\alpha |\alpha>=\alpha \sum_n c_n|n>=\sum_n c_n\hat{a}|n>=\sum_n c_n\sqrt{n}|n-1>

\Rightarrow \alpha c_0=0\;;\;\alpha c_{n-1}=c_n\sqrt{n}\; \forall n\ge 1 \Rightarrow c_n=\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\; \forall n\ge 1 \Rightarrow |\alpha>=c_0\sum_n \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n>

que normalizando resulta

|\alpha>=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}\sum_n \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n>

mirilla11 Propiedades de los estados coherentes:

  1. Valor medio del campo eléctrico (para un modo \omega ):
    <\alpha|\hat{E}_x(\vec{r},t)|\alpha>=<\alpha|i(\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0V})^{\frac{1}{2}}[\hat{a}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}-\hat{a}^+e^{-i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}]|\alpha>
    =i(\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0V})^{\frac{1}{2}}[\alpha e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}-\alpha^*e^{-i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}]
    -Introduciendo \alpha=|\alpha|e^{i\theta} :
    <\alpha|\hat{E}_x(\vec{r},t)|\alpha>=2|\alpha|(\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0V})^{\frac{1}{2}}\sin (\omega t -\vec{k}\cdot\vec{r} -\theta)
    <\alpha|\hat{E}_x^2(\vec{r},t)|\alpha>=\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0V}[1+4|\alpha|^2\sin^2 (\omega t -\vec{k}\cdot\vec{r} -\theta)]
    que tiene la forma clásica.
  2. Fluctuaciones del campo eléctrico:
    \Delta_{\alpha}\hat{E}_x=(\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0V})^{\frac{1}{2}}
    -Las fluctuaciones son las que corresponden al vacío: los estados coherentes contienen sólo el ruido del vacío.
  3. Fluctuaciones de las cuadraturas de campo:
    \Delta_{\alpha} \hat{X}_1=\Delta_{\alpha} \hat{X}_2=\frac{1}{2}
    Los estados coherentes tienen las fluctuaciones del vacío de Fock, y los operadores cuadratura saturan sobre ellos la desigualdad del principio de indeterminación.
  4. Valor medio del operador número, su cuadrado y su indeterminación:
    \overline{n}=<\alpha|\hat{n}|\alpha>=|\alpha|^2
    <\alpha|\hat{n}^2|\alpha >=|\alpha |^4+|\alpha |^2= \overline{n}^2+\overline{n}
    \Delta_{\alpha} \hat{n}=\sqrt{<\hat{n}^2>-<\hat{n}>^2}=\overline{n}^{\frac{1}{2}}
    donde la última expresión es característica de la distribución estadística de Poisson.
  5. La variancia conjunta de los operadores creación y destrucción, V_{\alpha}(\hat{a},\hat{a}^+) , es nula sobre un estado de Glauber:
    V_{\alpha}(\hat{a},\hat{a}^+)=\left\langle (\hat{a} -\left\langle \hat{a} \right\rangle) (\hat{a}^+ -\left\langle \hat{a}^+ \right\rangle)\right\rangle
    =\left\langle \hat{a}\hat{a}^+ \right\rangle - \left\langle \hat{a} \right\rangle \left\langle \hat{a}^+ \right\rangle
    =\left\langle \hat{a}\hat{a}^+\right\rangle -\left\langle \hat{a}\right\rangle \left\langle \hat{a}^+\right\rangle =0
    -Por tanto, los operadores escalera resultan estadísticamente independientes sobre un estado cuasi-clásico. Esta es una propiedad fundamental y definitoria para el límite clásico de la radiación.
  6. Expresión en representación de coordenadas:
    \hat{q}|q>=q|q>\;;\;\Psi_{\alpha}(q)=<q|\alpha>
    \rightarrow \hat{q}\Psi_{\alpha}(q)(q)=q\Psi_{\alpha}(q)
    \rightarrow \hat{p}\Psi_{\alpha}(q)(q)=-i\hbar\frac{d}{dq}\Psi_{\alpha}(q)
    \rightarrow \Psi_{\alpha}(q)=(\frac{\omega}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}}e^{-|\alpha^2|/2}\sum_n \frac{(\alpha / \sqrt{2})^n}{n!} H_n(\xi)
    =(\frac{\omega}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}}e^{-|\alpha^2|/2} e^{\xi^2/2}e^{-(\xi - \alpha /\sqrt{2})^2} ,
    una gaussiana en la que
    \xi=q\sqrt{\frac{\omega}{\hbar}}
    y H_n representa el polinomio de Hermite de grado n .
    -Su evolución temporal viene dada por:
    |\alpha , t> = e^{-i \hat{H}t/\hbar}| \alpha> =e^{-i\omega t/2}e^{-i\omega t \hat{n}}| \alpha>=e^{-i\omega t/2} |\alpha e^{-i\omega t}> ,
    \rightarrow \Psi_{\alpha}(q,t)=(\frac{\omega}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}}e^{-|\alpha^2|/2} e^{\xi^2/2}e^{-(\xi - \alpha e^{-i\omega t}/\sqrt{2})^2} ,
    de modo que el estado coherente permanece como tal estado coherente bajo evolución temporal libre, manteniendo la forma de una gaussiana cuyo centro se comporta como el del paquete asociado a una partícula material sometida a un potencial de oscilador armónico.
    -Esta conducta es análoga para todos los estados coherentes: la radiación electromagnética descrita por los estados coherentes es la que más se asemeja a la descripción Maxwelliana.

    -Los estados coherentes son estados de mínimo producto de indeterminaciones (MUS, minimum uncetainty states, como el vacío de Fock).
  7. Operador unitario desplazamiento: el operador
    \hat{d}(\alpha)=e^{\alpha \hat{a}^{\dagger}-\alpha^* \hat{a}}
    es un operador unitario (\hat{d}^{\dagger}\hat{d}=\hat{d}\hat{d}^{\dagger}=\hat{I} ) que genera sobre el vacío los estados coherentes:
    \hat{d}(\alpha)|0>=|\alpha>
    -Propiedades:
    \hat{d}(\alpha)=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}e^{\alpha \hat{a}^{\dagger}}e^{-\alpha^* \hat{a}}
    =e^{\frac{1}{2}|\alpha|^2}e^{-\alpha^* \hat{a}}e^{+\alpha \hat{a}^{\dagger}}
    \hat{d}^{\dagger}(\alpha)=\hat{d}(-\alpha) =e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}e^{-\alpha \hat{a}^{\dagger}}e^{\alpha^* \hat{a}}
    |\alpha>=\hat{d}(\alpha)|0>=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n>
    \hat{d}^{-1}(\alpha) \hat{a} \hat{d}(\alpha)=\hat{a}+\alpha
    \hat{d}^{-1}(\alpha) \hat{a}^{\dagger} \hat{d}(\alpha)=\hat{a}^{\dagger}+\alpha^*
    \hat{d}(\alpha)\hat{d}(\beta)|0>= \hat{d}(\alpha)|\beta>=e^{iIm(\alpha \beta^*)}|\alpha + \beta>
    Nota: recuérdese:
    e^{\hat{A}+\hat{B}}=e^{\hat{A}}e^{\hat{B}}e^{-\frac{1}{2}[\hat{A},\hat{B}]} ,
    [\hat{A},\hat{B}]\ne 0 y [\hat{A}, [\hat{A},\hat{B}]]=[\hat{B}, [\hat{A},\hat{B}]]=0 .
  8. Probabilidad de que el resultado de la medida del número de fotones en el campo, sobre un estado coherente, sea n :
    P(n)=|<n|\alpha>|^2=e^{-\overline{n}}\ \frac{\overline{n}^n}{n!}
    -Esta probabilidad es la correspondiente a una distribución de Poisson:
    By Gerd Breitenbach (dissertation) [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)], via Wikimedia Commons
    By Gerd Breitenbach (dissertation) CC-BY-SA-3.0, via Wikimedia Commons.
    The probability of detecting n photons, the photon number distribution, of the coherent state in Figure 3. As is necessary for a Poissonian distribution the mean photon number is equal to the variance of the photon number distribution. Bars refer to theory, dots to experimental values (Wikipedia)
    The probability of detecting n photons, the photon number distribution, of the coherent state in [previous figure]. As is necessary for a Poissonian distribution the mean photon number is equal to the variance of the photon number distribution. Bars refer to theory, dots to experimental values (from Wikipedia)

    Credit: http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_3/ls3_u3/ls3_unit_3.html
    COHERENT STATE PHOTON STATISTICS (http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_3/ls3_u3/ls3_unit_3.html)

    Credit: http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_3/ls3_u3/ls3_unit_3.html
    COHERENT STATE PHOTON STATISTICS (http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_3/ls3_u3/ls3_unit_3.html)
  9. Distribución de fase: para un estado coherente |\alpha> , la correspondiente función de distribución de fase viene dada por:
    P(\varphi)=\frac{1}{2\pi} |<\varphi|\alpha>|^2=\frac{1}{2\pi}e^{-|\alpha|^2|\sum_ne^{in(\varphi - \theta)}\frac{|\alpha|^n}{\sqrt{n!}}|^2}
    -Para |\alpha| grande, la distribución de Poisson puede aproximarse por la de Gauss, derivándose:
    P(\varphi)\approx (\frac{2|\alpha|^2}{\pi})^{\frac{1}{2}}e^{-2|\alpha|^2(\varphi-\theta)^2} ,
    que no es sino una gaussiana con máximo en \varphi=\theta , y cuya anchura va disminuyendo conforme \overline{n}=|\alpha|^2 aumenta: los estados coherentes devienen en bien localizados en fase al aumentar el número medio de fotones.
  10. Los estados coherentes constituyen una base del espacio de Fock, ya que resuelven la identidad en el espacio de fases, pero son sólo estrictamente ortogonales cuando |\alpha -\beta| es grande:
    <\beta|\alpha>=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2-\frac{1}{2}|\beta|^2+\alpha \beta^*}

flecha Pese a todas las características anteriores, un estado coherente presenta siempre características cuánticas: a la forma sinusoidal del campo se superponen las fluctuaciones cuánticas, con un efecto tanto mayor cuanto menor es |\alpha| .

mirilla11 En las siguientes figuras, se representa el campo electromagnético asociado a un estado coherente, con |\alpha| disminuyendo de una a otra, hacia abajo:

Imagen de R.V. Jones: http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_3/ls3_u3/ls3_unit_3.html
Imagen de R.V. Jones, Harvard lectures.
R. V. Jones
Imagen de R.V. Jones, Harvard lectures.
 R.V. Jones
Imagen de R.V. Jones, Harvard lectures.

-El ruido relativo del campo eléctrico aumenta al disminuir |\alpha| , con una dependencia según |\alpha|^{-\frac{1}{2}} .

-Conforme |\alpha| aumenta, el campo tiende a un comportamiento más clásico.

mirilla11Los estados coherentes o de Glauber se conceptualizan como los estados cuánticos de luz más próximos a los estados clásicos de luz coherente.

-Un estado coherente puede generarse por una corriente oscilante, por ejemplo.

Bibliografía

  • [FOX-04] Fox, M.; Quantum Optic. An introduction. Oxford Univ. Press; Oxford, 2004. ISBN: 0-19?856672-7, 978-0-19-856672-4.
  • [GAR-08] Garrison, J. C. and R. Y. Chiao, Quantum Optics, Oxford Univ. Press, Oxford, 2008. ISBN: 978-0-19-850886-1.
  • [GER-05] Gerry, C. C. and Knight, P. L., Introductory Quantum Optics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005. ISBN: 0-521-82035-9.
  • J. O. Cortés-Tamayo:
    espiral Estados coherentes del campo de radiación

 

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