Ondas planas y su normalización
- Consideremos una partícula de masa , moviéndose a lo largo del eje en el sentido positivo, con energía y momento bien definido ().
- Le asociamos una onda plana que viaja en la misma dirección, con número de ondas fijo, de expresión , donde es una constante (real o compleja); el número de ondas y la frecuencia vienen dados por la relación de de Broglie, y .
- Para una onda distinguimos entre la velocidad de fase, , que es la velocidad a la cual la fase de cualquier componente en frecuencia de la onda se propaga (puede ser distinta para cada frecuencia), y la velocidad de grupo, , que es la velocidad a la que se desplaza la energía contenida en la onda.
- Para una partícula material libre no relativista, , por lo que , resultando pues y .
- Puede escribirse pues , que satisface el par de ecuaciones diferenciales y .
- La generalización al caso tridimensional, para una partícula no relativista de masa , es la onda plana , donde , , satisfaciendo el par de ecuaciones diferenciales y .
- El examen de las ecuaciones anteriores muestra que, para una partícula libre de masa , la energía y el momento pueden representarse por sendos operadores diferenciales y , actuando sobre la función de onda .
- La asociación anterior constituye un postulado de la Mecánica Cuántica, que se establece para toda partícula, libre y no libre.
- La condición de normalización para la anterior función de onda, la onda plana, se encuentra con el problema de que es imposible satisfacer el requisito , en el caso monodimensional, ya que las correspondientes integrales resultan ser divergentes. Para salvar esta dificultad, y dado que , esto es, hay igual probabilidad de encontrar a la partícula en cualquier punto del espacio, optamos por asociar esta onda plana con el estado de preparación de la partícula en que ésta tiene un momento perfectamente definido y está completamente deslocalizada.
Nota: otra posibilidad será restringir la integral a una región muy extensa, pero finita: integrar sobre un volumen , muy grande pero finito, sobre cuya frontera se impone la condición de contorno de anulación de la función de onda. De esta forma, la condición de normalización pasa a ser . Este tipo de funciones de onda se usará, por ejemplo, en teoría de colisiones, y aparecerán al discutir la parte continua del espectro.
- Consecuentemente, para una partícula que presente alguna localización, tendremos que introducir alguna indeterminación en su momento: superponer ondas elementales, ondas planas, correspondientes a distintos valores del momento de la partícula: formar un «paquete de ondas», localizado ya espacialmente y, por tanto, admitiendo normalización a la unidad vía una integración a todo el espacio .
Paquetes de onda
Concepto
- Una onda plana se extiende por todo el espacio. Por ejemplo, en el caso monodimensional, la onda plana armónica de ecuación ,
no puede representar la onda de de Broglie asociada a una partícula dada, ya que ésta debe responder a la forma:
- La forma anterior responde a lo que se denomina un «paquete de ondas», o grupo de ondas, y que no es sino el resultado de la superposición de muchas ondas planas con diferentes números de ondas.
- Un ejemplo trivial lo proporciona la superposición de dos ondas planas de igual amplitud, y : , con y ; suponemos y muy próximos:
- Es decir, la onda suma resultante resulta ser el producto de una onda portadora (la de mayor frecuencia) de longitud de onda y un factor que modula la amplitud en forma de otra onda envolvente (la de menor frecuencia) de longitud . El resultado es que la intensidad se ha concentrado en ciertas regiones del espacio, frente a otras en que se ha amortiguado.
- Las siguientes figuras nos representan, respectivamente, los resultados de sumar tres ondas () y cinco ondas(), sinusoidales:
- Conforme aumenta el número de ondas elementales que se van sumando, cada una con diferentes números de ondas dentro de un intervalo estrecho de valores, las interferencias entre ellas (las ondas componentes empiezan a desfasarse entre sí, cancelándose al alejarse del punto en torno al cual se concentra al paquete) hace que se vayan espaciando las regiones de refuerzo, hasta que, con un número de sumandos infinito, se obtiene el caso límite correspondiente a un único grupo central: un paquete de ondas:
- Matemáticamente, la formación de tal paquete o grupo de ondas corresponde a la integración , donde la función da cuenta de la amplitud de cada onda de número de ondas respectivo , con las característica de ser una función que presenta un máximo muy acusado en el valor y valores apreciables sólo en un entorno estrecho en torno a . Obsérvese que el paquete de ondas en viene dado por la transformada de Fourier inversa de la función de amplitud: ().
Ejemplos
- Ejemplo 1: paquete de ondas gaussiano para una suma de ondas todas con igual velocidad de fase :
- Sea dado por , es decir, una gaussiana centrada en y de anchura , normalizada a la unidad, :
- La anchura de la gaussiana representa el valor para el que en la función cae a de su valor máximo o valor en el punto central : .
- Sea , de forma que se tiene
. Esta integral tendrá un valor no despreciable sólo cuando constante en la vecindad de , donde es máximo. Esto constituye la denominada «condición de fase estacionaria», , que define el centro del paquete y su velocidad de desplazamiento , que resulta ser . Si esta condición no se cumple, la fase oscila rápidamente en la vecindad de , única zona donde no es despreciable, y la integral resulta nula.
,
expresión desde la que vía el cambio de variable se llega a la
;
usando el resultado (válido para cualquier con , se obtiene a continuación
.- En se tiene, introduciendo :
,
producto de una gaussiana de anchura por un factor de fase. - Encontramos que representa una onda plana, propagándose con velocidad en el sentido positivo del eje , con una amplitud concentrada en una región espacial de amplitud o anchura , centrada alrededor del punto .
- Las siguientes imágenes muestran, para una gaussiana (nuestro ),
el correspondiente paquete de ondas (la representación se ha hecho para una mejor visualización en dos dimensiones, , suponiendo ) :
- Puesto que se satisface , cuánto más estrecha se haga la función , más ancha se hará , esto es, más ancha será la región en que el paquete de ondas posee intensidad apreciable.
- En este ejemplo, tanto el paquete como todas las ondas parciales que se suman comparten la misma velocidad de fase, establecida como , de forma que el paquete mantiene su forma en el tiempo y no sufre dispersión o desparramamiento en la evolución temporal, desplazándose con velocidad de grupo :
- ¿Hemos construido una «función de onda fotónica«?
-Sobre la tentación de considerar el anterior paquete de ondas como la función de onda de un fotón, de un cuanto de luz normalizado de frecuencia angular media y energía , vale la pena recordar que no existe hoy una función de onda aceptada para el fotón, constituyendo un tema de investigación abierto en que han sido publicados numerosos y diferentes enfoques… Lo que está claro es que la interpretación probabilística para la anterior función de onda como una densidad de probabilidad de posición (para ) no es aplicable al fotón, aunque quizás resultaría más plausible la de como una densidad de probabilidad para el número de ondas fotónico (cf. [BOH-89], cap. 4, pp. 81ss.). Feynman dijo que a la pregunta «¿Dónde está el fotón?», la respuesta es «nadie lo sabe, y lo mejor es que no se intente pensar sobre ello». Desde luego, si acudimos al concepto de fotón como un modo de excitación normal del campo, y no como una partícula, la pregunta se difumina… Información amplia sobre todo esto puede encontrarse en la referencia ¿qué es un fotón?
-Introducida la cuantización del campo electromagnético, los denominados estados coherentes o cuasi-clásicos, estados Glauber (1963), se consideran los estados de radiación más clásicos (límite clásico), y se identifican con los autoestados del operador destrucción , en los que las fluctuaciones del campo electromagnético son mínimas. La expresión de un estado Glauber en representación de posiciones es, precisamente, una gaussiana cuyo centro se comporta como el del paquete asociado a una partícula material sometida a un potencial de oscilador armónico.
- Ejemplo 2: paquete de ondas para una partícula material (cf. [BRA-00], pp. 60 ss.):
- Consideremos una partícula material libre, masa y moviéndose a lo largo del eje , con energía (tomamos caso no relativista, ) y momento ( ).
- El paquete de onda asociado tendrá la expresión general
, donde ahora cada onda plana individual -ésima tendrá una velocidad de fase distinta, dada por . - Supongamos ahora que la función presenta un pico muy acusado en torno a algún valor , presentando valores despreciables fuera del intervalo de anchura centrado en el valor (por ejemplo, podría ser una gaussiana).
- El paquete de ondas general para una función con tal característica (anchura estrecha en torno a un pico acusado ) resulta ser:
,
donde . - Si varía significativamente sobre el intervalo , entonces el factor de fase oscilará fuertemente y la integral que representa el paquete de ondas se anulará. Así que la intensidad del paquete de ondas, , sólo será significativa cuando se mantenga constante en el entorno de .
- La condición de fase estacionaria,
,
define el centro del paquete, un punto distinguido para el que , esto es, que se desplaza con la velocidad de grupo
,
siendo . - La velocidad de grupo debe coincidir en el límite macroscópico, cuando , con la velocidad clásica de la partícula, cuando el movimiento de la partícula sigue la ley clásica (principio de correspondencia) : la anchura del paquete se hace despreciable y .
- De la expresión para se deduce que , de forma que se obtiene la ecuación para la energía , donde la constante de integración se toma nula (elección arbitraria de origen de energía), puesto que sólo tienen interés físico las diferencias de energía (y de ahí también que las frecuencias absolutas carezcan de interpretación física para la partícula material).
- Para la onda parcial correspondiente al momento se tiene una velocidad de fase .
- Procedamos a desarrollar la energía en serie de potencias en torno a , esto es,
;
despreciando el término de segundo orden se obtiene
. - Despreciar el término de segundo orden tiene sentido cuando el tiempo se considera lo suficientemente pequeño como para que , esto es, , de forma que .
- Introduciendo lo anterior en la expresión del paquete , se llega a:
,
donde
. - El paquete de ondas anterior resulta por tanto ser el producto de una onda plana monocromática, de longitud de onda y frecuencia angular , por una función envolvente portadora, o factor modulante tal que , es decir, proporcionando la correspondiente densidad de probabilidad; la figuras siguientes representas su aspecto para la partícula libre:
- Puesto que se satisface , la onda envolvente se propaga aparentemente sin cambio de forma y con la velocidad de grupo , pero recuérdese que esto es sólo cierto para un intervalo de tiempo transcurrido tal que . Es decir, en el transcurso del tiempo, a la larga la forma del paquete cambiará durante su propagación: se produce un efecto de dispersión, debido a la diferente velocidad de fase de cada onda parcial sumada:
- Ejemplo 3: paquete de ondas gaussiano para una partícula material (cf. [BRA-00], pp. 64 ss.):
- Consideremos una partícula material libre, masa y moviéndose a lo largo del eje , con energía (tomamos caso no relativista, ) y momento .
- El paquete de onda asociado tendrá la expresión general
, donde ahora cada onda plana individual tendrá una velocidad de fase distinta, dada por . - Supongamos ahora que la función es una gaussiana de expresión , función que en efecto presenta un pico muy acusado en torno al valor y valores despreciables fuera del intervalo de anchura centrado en el valor ; la función está normalizada a la unidad, :
- El paquete de ondas resulta ser (según resultados del apartado anterior y tras un laborioso cálculo):
,
donde se ha usado , siempre que . - Simplificando la expresión anterior se llega a
,
donde . - La correspondiente densidad de probabilidad viene dada por (obtenible tras otra larga manipulación):
. - Las expresiones anteriores en proporcionan:
,
. - Ante los resultados obtenidos, vemos que:
- es también una gaussiana, y es una función tal que la densidad de probabilidad asociada, , presenta un máximo en el punto , y cae a de su valor máximo en los puntos , donde es la anchura de la distribución de valores de la variable posición . Para este paquete se tiene pues la relación y, consecuentemente: si disminuimos , de forma que la función presente un pico aún más acusado en el valor , entonces aumenta y se vuelve más deslocalizado. Recíprocamente, si aumenta, o sea, deslocalizamos , entonces se localiza más en torno al punto .
- Considerando la evolución temporal, expresión , el centro del paquete de ondas se mueve uniformemente con la velocidad de grupo , y su anchura, dada la anchura de , puede obtenerse imponiendo la condición , que conduce a
,
expresión que establece el fenómeno de dispersión del paquete de ondas: su anchura aumenta con el tiempo:-Sólo para intervalos de tiempo transcurridos del orden , con (esto es, valores de tiempo que hacen ; ), el paquete de ondas mantiene su anchura.
-Universidad de St. Andrews: evolución temporal de un paquete de ondas gaussiano: - Obsérvese que, además, la forma del paquete es sólo aparentemente la de una gaussiana, pues en la expresión el factor que correspondería a la fase de la gaussiana, por la presencia de , no constituye en general un verdadero factor de fase (no se expresa como ; sí lo es cuando ).
- Para un valor dado de la anchura , cuando , esto es , , se cumple la relación la relación , pero ahora sólo aproximadamente.
- En resumen, el paquete de ondas asociado a una partícula material, masa , modifica su altura y anchura con el tiempo, es decir, se produce un fenómeno de deslocalización de la partícula, debido a que hay muchas velocidades de fase distintas, pues depende de la de la onda parcial, y en general hay numerosas diferentes presentes en el paquete.
-Mientras que se cumpla , el paquete de ondas no se deforma (salvo quizás la fase), acompañando a su centro que se desplaza con la velocidad de grupo, coincidente con la velocidad clásica. Pero en el transcurso temporal, el paquete comienza a deformarse, ensanchándose asintóticamente sin límite, de forma que la imagen clásica de partícula pierde sentido por completo.
- Ejemplos:
-Un protón, , supuesta una velocidad de , con una indeterminación en su momento , , recorrerá una distancia de hasta que se haga , esto es, (cf. [GAL-89], p. 57).
-Para un electrón, , supuesta en una localización (característica del rango atómico), se tendrá , y el paquete doblará su anchura en .
-Para una partícula macroscópica, , localizada inicialmente con , el tiempo en que el paquete duplica su anchura resulta de .
(los dos últimos ejemplos en [BRA-00], p. 66).
- Por tanto, el paquete de onda asociado a una partícula material libre de masa tiene la expresión general (caso no relativista):
, con ,
pudiendo expresarse
,
es decir: el paquete se expresa como la transformada de Fourier inversa de la función . Esta última función se asocia a lo que se denomina un «estado estacionario de energía«. - Las anteriores expresiones son también válidas para un sistema físico constituido por una partícula material de masa cuyo Hamiltoniano se exprese como , donde y representan, respectivamente, las energías cinética y potencial; ha de ser un potencial de variación suave en una longitud del orden de la longitud de onda de de Broglie asociada a la partícula, , siendo el módulo del momento clásico de la partícula.
-Por ejemplo, la figura siguiente nos presenta el aspecto del paquete de onda correspondiente a una partícula material confinada en una caja unidimensional de paredes impenetrables: - En general, (cf. [GAL-89], p. 141) «para que el movimiento de un paquete de ondas pueda asimilarse al de una partícula clásica, es necesario que: a) los valores medios de los observables posición y momento satisfagan en buena aproximación las leyes clásicas (teorema de Ehrenfest); y b) las dimensiones del paquete sean lo suficientemente pequeñas y se mantengan así en su evolución temporal«.
- Dimensiones de : las dimensiones de la función de onda del paquete monodimensional para una partícula son , donde simboliza longitud.
Paquetes de ondas y relaciones de indeterminación
- Según los resultados obtenidos en los anteriores ejemplos:
- Para el paquete de ondas del anterior ejemplo 1, en que se suman ondas parciales todas con igual velocidad de fase , las sendas anchuras del paquete y de la función de distribución de momentos satisfacen la relación : cuánto más estrecha se haga la función , más ancha se hará , esto es, más ancha será la región en que el paquete de ondas posee intensidad apreciable; y viceversa.
- Para el paquete de ondas gaussiano asociado con una partícula material, de masa , las sendas anchuras del paquete y de la función de distribución de momentos satisfacen la relación , de forma que, en general, la relación puede expresarse como .
- Cuando , esto es , , se cumple la relación . Obsérvese que para el paquete resulta ser una función de , mientras que se considera constante, puesto que aquí simboliza la anchura de la función de distribución de momentos tomada.
- Sea un paquete de ondas asociado con una partícula material, de masa , y sean dadas las condiciones tales que se cumple . Entonces se implica que, si se requiere determinar la posición de la partícula con precisión , sólo se podrá determinar simultáneamente su momento con una precisión , un resultado que no es sino un caso particular del denominado Principio de indeterminación de Heisenberg.
- Relaciones del tipo se derivan de una propiedad general de la transformada de Fourier para las correspondientes anchuras en los dos espacios involucrados (vía la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la identidad de Parseval), pero no fue éste su origen en el histórico artículo de Heisenberg de 1927.
- Si se estima el orden de magnitud del tiempo en que el paquete recorre su propia anchura, , y admitiendo una anchura o indeterminación en la energía dada por , se concluye que , un caso de la relación de indeterminación energía-tiempo.
Espacio tridimensional
Ondas planas en tres dimensiones
- Sea una partícula no relativista de masa , con onda plana asociada , donde , y .
- Se satisfacen el par de ecuaciones diferenciales:
;
. - La energía y el momento se representan (postulado) por los sendos operadores diferenciales y ,
actuando sobre la función de onda .
Paquetes tridimensionales
- El paquete de ondas tridimensional para una partícula material libre no relativista, de masa , tiene la expresión:
, donde ahora cada onda plana individual tendrá una velocidad de fase distinta. - En el caso de que la función presente un pico muy acusado en torno a algún valor , y valores despreciables fuera del intervalo de anchura centrado en el valor , denominando , la condición de fase estacionaria define el centro del paquete , para el que , proporcionando la velocidad de desplazamiento del paquete: la velocidad de grupo , que se establece igual en el límite clásico a la velocidad de la partícula (de donde se infiere , más una constante arbitraria que se fija como nula).
- Las anteriores expresiones son también válidas para un sistema físico constituido por una partícula material de masa cuyo Hamiltoniano se exprese como , donde y representan, respectivamente, las energías cinética y potencial; ha de ser un potencial de variación suave en una longitud del orden de la longitud de onda de de Broglie asociada a la partícula, , siendo el módulo del momento clásico de la partícula.
- Dimensiones de : la dimensión de la función de onda del paquete tridimensional para una partícula es de , donde simboliza longitud.
-En general, la función de onda en el espacio de posiciones o configuración, para un sistema de partículas, caso dimensional, tiene dimensiones .
Espacio de momentos y conservación de la probabilidad
Caso monodimensional
- Si consideramos el anterior paquete de ondas de expresión
,
el cual se desplaza con velocidad , donde es el valor donde la función de distribución de momentos presenta un máximo acusado, es inmediato reparar en que en el paquete representa la transformada de Fourier inversa de la función de distribución de momentos:
,
mientras que la relación inversa establece
. - Generalizando: Sea un sistema físico constituido por una partícula material de masa cuyo Hamiltoniano se exprese como , donde y representan, respectivamente las energías cinética y potencial, siendo un potencial de variación suave en una longitud del orden de la longitud de onda de de Broglie asociada a la partícula, , siendo el momento clásico de la partícula. Se introduce entonces una función tal que satisfaga que ella y una función de ondas son mutua transformada de Fourier la una de la otra:
,
. - La función se denomina función de ondas en el espacio de momentos (caso monodimensional), y su definición como transformada de Fourier es válida para cualquier función de ondas (es decir, no sólo para un paquete de ondas).
Su interpretación es: define una densidad de probabilidad de momento, por unidad de volumen:
Postulado: El cuadrado del valor absoluto de la función de onda en el espacio de momentos, , representa la densidad de probabilidad de que el resultado de un experimento de determinación del momento de la partícula sea: «momento en el instante t». - Según la identidad o teorema de Parseval, si la función está normalizada a la unidad, , se implica que la función también lo está, y además permanece normalizada durante su evolución temporal:
.
Este hecho establece la conservación de la probabilidad, que se produce también en el espacio de momentos,
. - En efecto, sea por ejemplo el paquete de ondas para una partícula material de masa :
,
para el que suponemos que está normalizado, de forma que, por el teorema de Parseval, su transformada de Fourier también lo está,
.
Entonces:
,
donde ha aparecido la distribución Delta de Dirac,
, de propiedades que se suponen conocidas (en particular, recuérdese que cuando , cero en otro caso).
Caso tridimensional
- En el caso tridimensional las anteriores ecuaciones se escriben:
- Sea un sistema físico constituido por una partícula material de masa cuyo Hamiltoniano se exprese como , donde y representan, respectivamente, las energías cinética y potencial; siendo un potencial de variación suave en una longitud del orden de la longitud de onda de de Broglie asociada a la partícula, , siendo el módulo del momento clásico de la partícula.
- La función de ondas en el espacio de posiciones y la función de ondas en el espacio de momentos son mutua transformada de Fourier la una de la otra:
,
. - La función se denomina función de ondas en el espacio de momentos, y su definición como transformada de Fourier es válida para cualquier función de ondas (es decir, no sólo para un paquete de ondas).
Su interpretación es: define una densidad de probabilidad de momento, por unidad de volumen:
Postulado: El cuadrado del valor absoluto de la función de onda en el espacio de momentos, , representa la densidad de probabilidad de que el resultado de un experimento de determinación del momento de la partícula sea: «momento en el instante t». Esto es, como densidad de probabilidad de momento, por unidad de volumen. - Consecuentemente, la probabilidad de encontrar a la partícula en un elemento de volumen en el instante t viene dada por ; la de encontrarla en una región V del espacio en t es , supuesta la normalización (la probabilidad de determinar su momento situándola en algún punto de todo el espacio de momentos ha de ser la unidad).
- Dimensiones de : según la anterior condición de normalización, las dimensiones de la función de onda en el espacio de momentos, en el caso de un sistema compuesto por una sola partícula, deben ser de (momento) (esto es, ), donde simboliza longitud, masa y tiempo. En general, la función de onda para un sistema de partículas, caso dimensional, tiene dimensiones (momento) .
- Según el teorema de Parseval, si la función está normalizada a la unidad, , se implica que la función también lo está, y además permanece normalizada durante su evolución temporal:
.
Este hecho establece la conservación de la probabilidad, que se produce también en el espacio de momentos,
.
Referencias
[BOH-89] Bohm, D.; Quantum Theory; Dover; New York, 1989.
[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; Quantum Mechanics; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.
[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; Mecánica Cuántica, Eudema, 1989.
[JAM-74] Jammer, M.; The philosophy of Quantum Mechanics, Wiley, 1974.
[MEH-82] Mehra, J., Rechenberg, H.; The Historical Development of Quantum Mechanics, 6 vol., Springer-Verlag, Nueva York, 1982.
[NEU-91] Neumann, J. von; Fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica, CSIC, Raycar, Madrid, 1991.
[WHE-83] Wheeler, J.A. y Zurek, W.H., ed.; Quantum Theory and measurement, Princeton Univ., Princeton, 1983.
Páginas complementarias
Velocidad de grupo y de fase; el índice de refracción no tiene que ser siempre mayor que 1
http://physics.oregonstate.edu/~roundyd/COURSES/ph365x/366.html
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/la-particula-libre-i.html
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/la-particula-libre-ii.html
https://eva.fing.edu.uy/pluginfile.php/49091/mod_resource/content/0/materiales/PaquetesDeOndas.pdf
http://www.met.reading.ac.uk/pplato2/h-flap/phys10_3.html
http://scientificsentence.net/Waves/index.php?key=yes&Integer=wave_packets
Sobre el «Zitterbewegung»: https://cuentoscuanticos.com/2011/12/03/zitterbewegung/
APPS
Velocidad de fase y velocidad de grupo
Simulación para la velocidad de grupo (mit.ocw.universia.net).
Universidad de St. Andrews: evolución temporal de un paquete de ondas gaussiano.
Wave packet spreading en mathematica.stackexchange.com
http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/77-gauss
http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/78-particula-libre
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