El oscilador armónico

El potencial del oscilador armónico

  • Sea una partícula de masa m en movimiento unidimensional, sometida a una fuerza atractiva dirigida hacia un centro fijo x=0 y proporcional a la distancia a dicho centro, F=-kx (ley de Hooke), donde k representa una constante k>0 y se ha elegido el origen como centro de fuerzas. Se genera un movimiento oscilatorio o vibratorio alrededor de la posición de equilibrio, teniendo el correspondiente potencial la expresión:
    \vec{F}=-\nabla V \Rightarrow V(x)=\frac{1}{2}kx^2 + V_o
    donde se suele elegir V_o=0 (elección arbitraria del origen de energías).

    Potencial-HO_la-mc-blogspot-com-es
    Potencial del oscilador armónico: a y -a serían los puntos de retroceso clásicos para la E dada ( imagen del blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/).
  • El potencial del oscilador armónico constituye una excelente aproximación para la mayoría de los potenciales continuos en la proximidad de un punto de equilibrio.
    -En efecto: sea un potencial arbitrario V(x) , continuo, que desarrollado en serie de Taylor alrededor de un punto cualquiera x=x_0 , donde suponemos posee un mínimo, se expresa
    V(x)=V(x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^2V''(x_0)+\ldots
    con V''(x_0)>0 , de forma que
    V(x)\approx V(x_0)+ \frac{1}{2} (x-x_0)^2 V''(x_0)
    \Rightarrow V(y)\approx V(x_0)+\frac{1}{2}ky^2 \quad \mbox{con} \; \;k=V''(x_0)>0 .
    -Es decir, el oscilador armónico lineal es una buena aproximación para los problemas físicos en que se tienen pequeñas oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio estable, algo muy frecuente. Por ejemplo, éste es el caso de los movimientos vibracionales de los átomos y núcleos en las moléculas, como se muestra en la siguiente figura:

    Potencial-HO-aprox-pot-minimo-equilibrio_chemwiki-ucdavis-edu-278x300
    Potential energy curve of a chemical bond as a function of R, the separation between the two nuclei in the bond. The small blue curve is an approximate harmonic oscillator curve fit to the true potential energy curve at low energies (imagen de http://chemwiki.ucdavis.edu/Wikitexts/New_York_University/CHEMUA_127%3A_Advanced_General_Chemistry_I ).
  • El pozo del oscilador armónico es uno de los escasos potenciales que admite resolución analítica completa. Además, cumple la condición \lim_{x\rightarrow \pm \infty}V(x)=+\infty , de modo que el espectro del correspondiente Hamiltoniano es por completo discreto, poseyendo un número infinito de estados ligados: se trata de un potencial confinador, para el que usualmente se elige V_o=0 , de forma que todos los autovalores se fijan positivos.
  • Resolución del problema de autovalores de energía o ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
    H\psi(x)=[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2]\psi(x)=E\psi(x)
    con la condiciones de contorno:
    \psi(x)\;,\;\psi'(x) continuas \forall x.
    Nota: una buena referencia para la resolución de este tipo de EDO y las funciones especiales que aparecen es: E. D. Rainville, Intermediate Differential Equations, Chelsea Pub. Co.; N.Y., 1972.

    1. Resolución vía los polinomios de Hermite:
      1. Realizamos los cambios
        \lambda=\frac{2E}{\hbar \omega} \quad \omega=(k/m)^{\frac{1}{2}}
        z=\alpha x \quad \alpha=(mk/\hbar^2)^{\frac{1}{4}}=(m\omega/\hbar)^{\frac{1}{2}}
        donde la nueva variable independiente z es adimensional; en términos de ella la EDO se expresa:
        \frac{d^2\psi}{dx^2}=\alpha^2\frac{d^2\psi}{dz^2}
        \Rightarrow \frac{d^2\psi}{dz^2}+(\lambda -z^2)\psi(z)=0
        expresión que recibe el nombre de “ecuación de Schrödinger reducida“.
      2. La ecuación de Schrödinger reducida carece de singularidades en el plano finito, poseyendo una única singularidad irregular en el punto z=\infty (considerada como EDO general con z \in \mathbb{C} ). Ello sugiere hacer en ella el cambio \psi(z)=y(z)e^{-\frac{z^2}{2}} .
      3. Comportamiento asintótico: a largas distancias, |z| \rightarrow \infty , para todo valor finito E se tiene que \lambda es despreciable frente a z^2 , de forma que en el \lim_{|z| \rightarrow \infty} la anterior EDO se convierte en la
        \frac{d^2\psi}{dz^2} -z^2\psi(z)=0
        que posee para |z| \rightarrow \infty soluciones particulares
        \psi_1(z)=z^be^{z^2/2} \quad , \quad \psi_2(z)=z^be^{-z^2/2} ,
        b constante finita, ya que
        \lim_{|z| \rightarrow \infty} \psi_i''(z) \approx z^2 \psi_i(z)\;,\;i=1,2
        -Este hecho sugiere de nuevo, ya que \psi debe conservarse acotado, realizar el cambio antes indicado de función en la ecuación de Schrödinger reducida,
        \psi(z)=y(z)e^{-\frac{z^2}{2}}
        obteniéndose finalmente una EDO de Hermite:
        \frac{d^2y}{dz^2}-2z\frac{dy}{dz}+(\lambda - 1)y=0
        que posee también una única singularidad irregular en z=\infty .
      4. La EDO de Hermite puede resolverse realizando un desarrollo en serie de potencias en torno al origen:
        \left \{ \begin{matrix} y(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k  \\ y'(z)=\sum_{k=0}^{\infty}ka_kz^{k-1}  \\ y''(z)=\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)a_kz^{k-2} \end{matrix}\right.
        \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)a_kz^{k-2} -2\sum_{k=0}^{\infty}ka_kz^{k}+(\lambda -1)\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k=0
        \Rightarrow \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)a_kz^{k-2} -\sum_{k=0}^{\infty}[2k-(\lambda -1)]a_kz^k=0
        \Rightarrow \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)a_kz^{k-2} -\sum_{k=2}^{\infty}[2(k-2)-(\lambda -1)]a_{k-2}z^{k-2}=0
        \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} k=0 \rightarrow a_o \cdot 0=0 \rightarrow a_o= \mbox{constante arbitraria}  \\ k=1 \rightarrow a_1 \cdot 0=0 \rightarrow a_1= \mbox{constante arbitraria}  \\ k\ge 2 \rightarrow a_k=\frac{2(k-2)-(\lambda -1)}{k(k-1)}a_{k-2}=\frac{2k-\lambda -3}{k(k-1)}a_{k-2} \end{matrix}\right.
        -Separando coeficientes pares e impares:
        Pares: k=2l\,,l=1,2,3\ldots
        \Rightarrow a_{2l}=\frac{(4l-\lambda-3)}{(2l)(2l-1)}\frac{(4l-\lambda-7)}{(2l-2)(2l-3)}\frac{(4l-\lambda-11)}{(2l-4)(2l-5)}\cdots \frac{(5-\lambda)}{(4)(3)}\frac{(1-\lambda)}{(2)(1)}a_o
        \Rightarrow a_{2l}=\frac{2^{2l}(\frac{1-\lambda}{4})_l}{(2l)!}a_o
        donde
        (\frac{1-\lambda}{4})_l=(\frac{1-\lambda}{4})(\frac{1-\lambda}{4}+1)(\frac{1-\lambda}{4}+2)\cdots (\frac{1-\lambda}{4}+l-1)
        =(\frac{1-\lambda}{4})(\frac{5-\lambda}{4})(\frac{9-\lambda}{4})\cdots (\frac{4l-\lambda -3}{4})
        =(1-\lambda)(5-\lambda)\cdots (4l-\lambda -3)\cdot 2^{-2l}
        Impares: k=2l+1\,,l=1,2,3\ldots
        \Rightarrow a_{2l+1}=\frac{(4l-\lambda-1)}{(2l+1)(2l)}\frac{(4l-\lambda-5)}{(2l-1)(2l-2)}\frac{(4l-\lambda-9)}{(2l-3)(2l-4)}\cdots \frac{(7-\lambda)}{(5)(4)}\frac{(3-\lambda)}{(3)(2)}a_1
        \Rightarrow a_{2l+1}=\frac{2^{2l}(\frac{3-\lambda}{4})_l}{(2l+1)!}a_1
        donde
        (\frac{3-\lambda}{4})_l=(\frac{3-\lambda}{4})(\frac{3-\lambda}{4}+1)(\frac{3-\lambda}{4}+2)\cdots (\frac{3-\lambda}{4}+l-1)
        =(\frac{3-\lambda}{4})(\frac{7-\lambda}{4})(\frac{11-\lambda}{4})\cdots (\frac{4l-\lambda -1}{4})
        =(3-\lambda)(7-\lambda)\cdots (4l-\lambda -1)\cdot 2^{-2l}
      5. La solución general de la EDO de Hermite anterior se expresa pues:
        y(z)=a_o[1+\sum_{l=1}^{\infty}\frac{2^{2l}(\frac{1-\lambda}{4})_l}{(2l)!}z^{2l}]+a_1[z+\sum_{l=1}^{\infty}\frac{2^{2l}(\frac{3-\lambda}{4})_l}{(2l+1)!}z^{2l+1}]
        =a_oy_1(z)+a_1y_2(z)
        donde a_o y a_1 representan constantes arbitrarias.
        -las soluciones particulares y_1 e y_2 , así como su combinación lineal, son soluciones válidas de la EDO \forall \, |z|<\infty , donde se tiene convergencia de las series.
      6. Acotación a largas distancias: a continuación se deben imponer las condiciones de contorno sobre las anteriores soluciones, a fin de extraer las soluciones físicamente aceptables del problema.
        -Para que las soluciones \psi_1=e^{-z^2/2}y_1(z) y \psi_2=e^{-z^2/2}y_2(z) permanezcan acotadas a largas distancias, las correspondientes series deben cortarse, conteniendo sólo un número finito de términos. En otras palabras, las soluciones deben reducirse a la forma de sendos polinomios finitos:

        1. y_1(z)=1+\sum_{l=1}^{\infty}\frac{2^{2l}(\frac{1-\lambda}{4})_l}{(2l)!}z^{2l}\;,\;|z| < \infty
          -Para que se corte la serie se ha de tener:
          (\frac{1-\lambda}{4})_l=0 \Rightarrow \frac{1-\lambda}{4}=-N \;,\; N=0,1,2\ldots \Rightarrow \lambda=1+4N
          \Rightarrow y_1(z)=1+\sum_{l=1}^{N}\frac{2^{2l}(-N)_l}{(2l)!}z^{2l} ,
          expresión de un polinomio finito de grado 2N .
          -Multiplicando por la constante global adecuada (elección a_o=\frac{(-1)^{n/2}n!}{(n/2)!} ) esta solución particular admite expresión en términos de los polinomios de Hermite de grado par n=2N \rightarrow \lambda_n=1+2n :
          \psi_1(z)=e^{-z^2/2}H_n(z)\;,\;n=2N=0,2,4\ldots
        2. y_2(z)=z+\sum_{l=1}^{\infty}\frac{2^{2l}(\frac{3-\lambda}{4})_l}{(2l+1)!}z^{2l+1}\;,\;|z| < \infty
          -Para que se corte la serie se ha de tener:
          (\frac{3-\lambda}{4})_l=0 \Rightarrow \frac{3-\lambda}{4}=-N \;,\; N=0,1,2\ldots \Rightarrow \lambda=3+4N
          \Rightarrow y_2(z)=z+\sum_{l=1}^{N}\frac{2^{2l}(-N)_l}{(2l+1)!}z^{2l+1} ,
          expresión de un polinomio finito de grado 2N+1 .
          -Multiplicando por la constante global adecuada (elección a_1=2\frac{(-1)^{(n-1)/2}n!}{(n/2-1/2)!} ) esta solución particular admite expresión en términos de los polinomios de Hermite de grado impar n=2N+1 \rightarrow \lambda_n=1+2n :
          \psi_2(z)=e^{-z^2/2}H_n(z)\;,\;n=2N+1=1,3,5\ldots
      7. Las condiciones que cortan las series proporcionan la cuantización de la energía:
        \lambda_n=2n+1=\frac{2E}{\hbar \omega} \Rightarrow E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega \;,\;n=0,1,2\ldots
      8. Propiedades de los polinomios de Hermite:
        1. Definición:
          H_n(z)=\sum_{l=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^ln!(2z)^{n-2l}}{l!(n-2l)!}\;,\;n=0,1,2\ldots
          donde [n/2] representa la parte entera de n/2 , o mayor entero menor o igual que n/2 .
        2. Primeros polinomios:
          H_o(z)=1
          H_1(z)=2z
          H_2(z)=4z^2-2
          H_3(z)=8z^3-12z
          H_4(z)=16z^4-48z^2+12
          H_5(z)=32z^5-160z^3+120z
        3. Fórmula de Rodrigues:
          H_n(z)=(-1)^ne^{z^2}\frac{d^ne^{-z^{2}}}{dz^n}\;,\;n=0,1,2\ldots
        4. Función generatriz:
          G(z,t)=e^{2zt-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_n(z)}{n!}t^n\;,\;|t| < \infty
          = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}[\frac{\partial^n G}{\partial t^n}]_{t=0}t^n
          \Rightarrow H_n(z)=\frac{\partial^n G}{\partial t^n}|_{t=0}
        5. Ortogonalidad:
          \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}H_m(x)H_n(x)dx=\delta_{m,n}2^nn!\sqrt{\pi}\;;\;n,m=0,1,2\ldots
        6. Relaciones de recurrencia:
          H_{n+1}(z)-2zH_n(z)+2nH_{n-1}(z)=0\;,\;n=1,2\ldots
          H_{n}(z)-2nH_{n-1}(z)=0\;,\;n=1,2\ldots
          H_{n+1}(z)-2zH_{n}(z)+H'_{n}(z)=0\;,\;n=0,1,2\ldots
        7. Otras propiedades:
          H_{2n}(0)=(-1)^n\ \frac{(2n)!}{n!}
          H_{2n+1}(0)=0
          \int_{-\infty}^{+\infty} xe^{-x^2}H_n(x)H_m(x)dx \left \{ \begin{matrix} =0 \quad \mbox{si} \quad m\ne n\pm 1  \\ =2^n(n+1)!\sqrt{\pi} \quad \mbox{si} \quad m=n+1  \\ =2^{n-1}n!\sqrt{\pi} \quad \mbox{si} \quad m=n-1 \end{matrix}\right.
          \frac{dH_n(z)}{dz}=2nH_{n-1}(z)
    2. Resolución vía la función hipergeométrica confluente:
      1. Partimos de la EDO de Hermite
        \frac{d^2y}{dz^2}-2z\frac{dy}{dz}+(\lambda - 1)y=0
        y realizamos el cambio v=z^2\;,\;\frac{dv}{dz}=2z :
        \frac{dy}{dz}=\frac{dy}{dv}\frac{dv}{dz}=2z\frac{dy}{dv}=2v^{1/2}\frac{dy}{dv}
        \frac{d^2y}{dz^2}=\frac{d}{dv}(\frac{dy}{dz})\frac{dv}{dz}=2z(v^{-1/2}\frac{dy}{dv}+2v^{1/2}\frac{d^2y}{dv^2})=2\frac{dy}{dv}+4v\frac{d^2y}{dv^2}
        \Rightarrow 4v\frac{d^2y}{dv^2}+2\frac{dy}{dv}-4v\frac{dy}{dv}+(\lambda-1)y=0
        \Rightarrow v\frac{d^2y}{dv^2}+(\frac{1}{2}-v)\frac{dy}{dv}-\frac{1-\lambda}{4}y=0
        expresión de la EDO hipergeométrica confluente, denominada así por obtenerse a partir de una EDO de Fuchs general
        EDO de Fuchs: z(1-\frac{z}{b})y''+[(c-z)-\frac{(a+1)}{b}z]y'-ay=0
        (que posee sendas singularidades regulares en los puntos z=a\;,\;z=b\;,\;z=\infty\;;\;z \in \mathbb{C} ) cuando se produce la confluencia de singularidades b \rightarrow \infty :
        EDO hipergeométrica confluente: zy''+(c-z)y'-ay=0
        (que presenta dos singularidades: una regular en z=0 y otra irregular en z=\infty ).
        -La solución general de la hipergeométrica confluente se expresa como la combinación lineal con constantes arbitrarias de las dos soluciones particulares:
        y(z)=C_1\ M(a,c;z) + C_2\ z^{1-c}M(1+a-c,2-c;z)
        =C_1\ y_1(z)+C_2\ y_2(z)
        y_1 \quad \mbox{soluci\'on si} \quad c \ne 0\;,\; c\ne \mbox{entero}<0\;,\;0<|z|< \infty y_2 \quad \mbox{soluci\'on si} \quad c\ne \mbox{entero} >0\;,\;|z|< \infty
        y donde M(a,c;z) representa la función hipergeométrica confluente, o función de Kummer:
        M(a,c;z)=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(a)_kz^k}{k!(c)_k}\quad c\ne 0\;,\;c\ne \mbox{entero}<0\;,\;|z|<\infty
      2. Propiedades de la función hipergeométrica confluente:
        -Comportamiento asintótico:
        \lim_{|z| \rightarrow 0}M(a,c;z)=1
        \lim_{|z| \rightarrow \infty}M(a,c;z)
        =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)}e^{i\epsilon \pi a}z^{-a}g(a,a-c+1;-z) +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)}e^{z}z^{a-c}g(1-a,c-a;z)
        donde
        \epsilon \left \{ \begin{matrix} =+1 \quad \mbox{si} \quad -\frac{\pi}{2}<arg(z)<\frac{3\pi}{2}  \\ =-1 \quad \mbox{si} \quad -\frac{3\pi}{2}<arg(z)\le -\frac{\pi}{2} \end{matrix}\right. g(a,c;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(c)_n}{n!}z^{-n}
        y \Gamma representa la función gamma, de expresión
        \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}dt\quad ,\; \mbox{Re}(z)>0
        o, más generalmente,
        \Gamma(z)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)}{z(z+1) \cdots (z+n-1)}n^z\quad ,\; z\ne 0\;,\;z\ne \mbox{entero}<0
        -Algunas propiedades de la función gamma:
        \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
        \Gamma(1)=1
        \Gamma(n)=(n-1)!
        \Gamma(a+n)=(a)_n\Gamma(a)\quad ,\;a\in \mathbb{C}\;,\;a\ne 0\;,\;a \ne \mbox{entero}<0
      3. Por tanto, la solución general de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el potencial del oscilador armónico puede también expresarse como:
        y(v)=C_1\ M(\frac{1-\lambda}{4},\frac{1}{2};v) + C_2\ v^{\frac{1}{2}}M(\frac{3-\lambda}{4},\frac{3}{2};v)
        =C_1\ y_1(v)+C_2\ y_2(v)\quad |v|<\infty
        -Comportamiento asintótico: salvo en los casos
        1: C_2=0 \quad \mbox{y} \quad \Gamma(a=\frac{1-\lambda}{4})=0
        2: C_1=0 \quad \mbox{y} \quad \Gamma(a'=\frac{3-\lambda}{4})=0
        la función y(v) presentará un comportamiento asintótico según e^v=e^{z^2} que la hace físicamente inaceptable, de forma que debe imponerse
        C_2=0 \quad \mbox{y} \quad \Gamma(\frac{1-\lambda}{4})=0 \Rightarrow \lambda=2n+1 \Rightarrow y_1=C_1\ M(-\frac{n}{2},\frac{1}{2};v)
        C_1=0 \quad \mbox{y} \quad \Gamma(\frac{3-\lambda}{4})=0 \Rightarrow \lambda=2n+1 \Rightarrow y_2=C_2\ v^{\frac{1}{2}}M(\frac{1-n}{2},\frac{3}{2};v)
        condiciones que proporcionan la cuantización de la energía:
        \lambda_n=2n+1=\frac{2E}{\hbar \omega} \Rightarrow E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega \;,\;n=0,1,2\ldots
      4. Es obvio que esta forma de expresar las soluciones coincide con la anterior:
        M(-m,\frac{1}{2};z^2)=(-1)^m\frac{m!}{(2m)!}H_{2m}(z)\;,\;m=0,1,2\ldots
        M(-m,\frac{3}{2};z^2)=(-1)^m\frac{m!}{(2m+1)!}\frac{1}{2z}H_{2m+1}(z)\;,\;m=0,1,2\ldots
      5. Notas:
        -Otra solución particular de la ecuación hipergeométrica confuente
        zy''+(c-z)y'-ay=0
        la proporciona la función hipergeométrica confluente de 2ª clase o función de Kummer de 2ª clase:
        \psi(a,c;z)=\frac{\Gamma(1-c)}{\Gamma(1+a-c)}M(a,c;z) +\frac{\Gamma(c-1)}{\Gamma(a)}z^{1-c}M(1+a-c,2-c;z)
        donde
        |arg \ z| < \pi \;,\;c \ne 0\;,\; c \ne \mbox{entero}
        -La función de Hermite de grado \nu , o solución particular H_{\nu}(z) de la EDO de Hermite
        \frac{d^2y}{dz^2}-2z\frac{dy}{dz}+2\nu y=0
        se expresa como
        H_{\nu}(z)=2^{\nu}\psi(-\frac{\nu}{2},\frac{1}{2};z^2)
        =2^{\nu}\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1-\nu}{2})}M(-\frac{\nu}{2},\frac{1}{2};z^2) +2^{\nu}\frac{\Gamma(-\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{-\nu}{2})}zM(\frac{1-\nu}{2},\frac{3}{2};z^2)
        y cuando \nu es un entero, la función de Hermite se reduce al correspondiente polinomio de Hermite H_n(z) .
    3. Se obtiene pues un espectro de energías mecánico-cuántico constituido por una secuencia infinita de niveles discretos, asociados a sendos estados ligados de la partícula:
      E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega \;,\;n=0,1,2\ldots
      -Los niveles están igualmente espaciados, E(n+1)-E(n)=\hbar \omega , y no presentan degeneración; se satisface el teorema de oscilación y las autofunciones presentan paridad definida, como corresponde ya que el potencial unidimensional se ha tomado simétrico respecto al origen, V(-x)=V(x) :
      \psi_n(x)=C_n\ e^{-\alpha^2x^2/2}\ H_n(\alpha x)\;,\;n=0,1,2\ldots
      es una función par cuando n es par, e impar cuando n es impar.
    4. El nivel más bajo en energía o estado fundamental posee una energía
      E_{GS}=E_o=\frac{1}{2}\hbar \omega \ne 0
      valor denominado energía del punto cero y de existencia trabada con el principio de indeterminación (la partícula no puede estar en reposo en el origen de energías o estado fundamental).
    5. Obsérvese que, aparte de la energía del punto cero (que no afecta al cáculo de diferencias de energías entre niveles), los resultados para las energías del oscilador aquí encontrados son coherentes con el postulado de cuantización de Planck, E_n=nh\nu .
    6. Resumiendo, las autofunciones y autovalores son:
      \psi_n(x)=C_n\ e^{-\alpha^2x^2/2}\ H_n(\alpha x)\;,\;n=0,1,2\ldots
      =C_n\ e^{-\alpha^2x^2/2} \left \{ \begin{matrix} (-1)^{\frac{n}{2}}\frac{n!}{(\frac{n}{2})!}\ M(-\frac{n}{2},\frac{1}{2};\alpha^2x^2)\;,\;n=0,2,4\ldots  \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}}\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})!}\ 2\alpha x\ M(-\frac{n-1}{2},\frac{3}{2};\alpha^2x^2)\;,\;n=1,3,5\ldots \end{matrix}\right.
      -Normalización:
      \int_{-\infty}^{+\infty}|\psi_n(x)|^2dx=1
      =|C_n|^2\ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha^2x^2}\ H_n^2(\alpha x)dx
      =|C_n|^2\frac{1}{\alpha} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-z^2}\ H_n^2(z)dz=|C_n|^2\ \frac{\sqrt{\pi}}{\alpha}2^nn!
      \Rightarrow |C_n|=\frac{\sqrt{\alpha}}{\pi^{\frac{1}{4}}\sqrt{2^nn!}}
      \Rightarrow \psi_n(x)=(\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}2^nn!})^{\frac{1}{2}}e^{-\alpha^2x^2/2}\ H_n(\alpha x)\;,\;n=0,1,2\ldots
      =(\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}2^nn!})^{\frac{1}{2}}\ e^{-\alpha^2x^2/2} \left \{ \begin{matrix} (-1)^{\frac{n}{2}}\frac{n!}{(\frac{n}{2})!}\ M(-\frac{n}{2},\frac{1}{2};\alpha^2x^2)\;,\;n=0,2,4\ldots  \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}}\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})!}\ 2\alpha x\ M(-\frac{n-1}{2},\frac{3}{2};\alpha^2x^2)\;,\;n=1,3,5\ldots \end{matrix}\right.
      donde
      \alpha=(\frac{mk}{\hbar^2})^{\frac{1}{4}}=(\frac{m\omega}{\hbar})^{\frac{1}{2}}
      -Estas autofunciones constituyen un sistema ortonormal:
      \int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n^*(x)\psi_m(x)dx=\delta_{n,m}
      -Cada autofunción \psi_n(x) corresponde al autovalor de energía:
      E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega=(n+\frac{1}{2})h \nu \;,\;n=0,1,2\ldots
      donde
      \nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
      -Las siguientes figuras ilustran la forma de las primeras autofunciones y sus correspondientes densidades de probabilidad:

      Potencial-HO_wave-functions_pci-tu-bs-de-300x289
      Imagen de http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC3e_osv/Kap_III/Molekuelschwingungen.htm.
      Potencial-HO_wave-functions_physics-stackexchange-com
      Imagen de http://physics.stackexchange.com.
      Potencial-HO_Wave-functions1-8_Wikipedia-300x201
      Wavefunction representations for the first eight bound eigenstates, n = 0 to 7. The horizontal axis shows the position x. Note: The graphs are not normalized (imagen y texto de la Wikipedia).

      Potencial-HO_Densidad-probab1-8_Wikipedia-300x188
      Densidades de probabilidad correspondientes a las 8 funciones de onda de la anterior figura (imagen de la Wikipedia).
  • Valores esperados e integrales:
    1. \left\langle x \right\rangle_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n^*(x)\ x\ \psi_n(x)dx=0
    2. \left\langle \psi_n |x| \psi_m \right\rangle \left \{ \begin{matrix} =0\quad \mbox{si}\quad m\ne n\pm 1  \\ =\frac{1}{\alpha}(\frac{n+1}{2})^{\frac{1}{2}}\quad \mbox{si}\quad m= n+1  \\ =\frac{1}{\alpha}(\frac{n}{2})^{\frac{1}{2}}\quad \mbox{si}\quad m= n-1 \end{matrix}\right.
    3. \left\langle x^2 \right\rangle_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n^*(x)(x^2)\psi_n(x)dx=\frac{2n+1}{2\alpha^2}=(n+\frac{1}{2})\frac{\hbar}{m\omega}
    4. \left\langle \psi_n |x^2| \psi_m \right\rangle \left \{ \begin{matrix} =\frac{1}{2\alpha^2}[(m+1)(m+2)]^{\frac{1}{2}}\quad \mbox{si}\quad n=m+2  \\ =\frac{1}{2\alpha^2}[2m+1]\quad \mbox{si}\quad n=m  \\ =\frac{1}{2\alpha^2}[m(m-1)]^{\frac{1}{2}}\quad \mbox{si}\quad n=m-2  \\ =0 \quad \mbox{otro caso} \end{matrix}\right.
    5. \left\langle p_x \right\rangle_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n^*(x)(-i\hbar \frac{d}{dx})\psi_n(x)dx=0
    6. \left\langle p_x^2 \right\rangle_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n^*(x)(-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2})\psi_n(x)dx=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega m
    7. \left\langle V(x) \right\rangle_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n^*(x)(\frac{1}{2}kx^2)\psi_n(x)dx=\frac{1}{2}(n+\frac{1}{2})\hbar \omega=\frac{1}{2}E_n
    8. \left\langle T \right\rangle_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n^*(x)(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2})\psi_n(x)dx=\frac{1}{2}(n+\frac{1}{2})\hbar \omega =\frac{1}{2}E_n
    9. \left\langle H \right\rangle_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n^*(x)(T+V)\psi_n(x)dx=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega =E_n
  • Oscilador armónico y principio de indeterminación:
    \Delta x=\left\langle x^2 -\left\langle x \right\rangle^2 \right\rangle^{\frac{1}{2}}=(n+\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}(\frac{\hbar}{\omega m})^\frac{1}{2}
    \Delta p_x=\left\langle p_x^2 -\left\langle p_x \right\rangle^2 \right\rangle^{\frac{1}{2}}= (n+\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}(\hbar \omega m)^\frac{1}{2}
    \Rightarrow \Delta x \cdot \Delta p_x=(n+\frac{1}{2})\hbar \ge \frac{\hbar}{2}
    -La igualdad se tiene para el estado fundamental, n=0 : \psi_o(x) es una gaussiana.
  • Comparación con el caso clásico:
    1. Mientras que en el caso clásico la energía de la partícula puede tomar cualquier valor en un continuo que incluye el origen, en el oscilador mecano-cuántico aparece una cuantización o discretización de la energía, con una energía del punto cero o valor más bajo no nulo:
      E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega=(n+\frac{1}{2})h \nu \;,\;n=0,1,2\ldots
    2. Respecto a la posición de la partícula:
      1. Las siguientes figuras ilustran una comparación entre la predicción mecáno-cuántica para los resultados de las medidas del observable posición y el valor clásico:

        Potencial-HO_Animation_Wikipedia
        A harmonic oscillator in classical mechanics (A-B) and quantum mechanics (C-H). In (A-B), a ball, attached to a spring (gray line), oscillates back and forth. In (C-H), wavefunction solutions to the Time-Dependent Schrödinger Equation are shown for the same potential. The horizontal axis is position, the vertical axis is the real part (blue) or imaginary part (red) of the wavefunction. (C,D,E,F) are stationary states (energy eigenstates), which come from solutions to the Time-Independent Schrodinger Equation. (G-H) are non-stationary states, solutions to the Time-Dependent but not Time-Independent Schrödinger Equation. (G) is a randomly-generated superposition of the four states (C-F). H is a “coherent state” (“Glauber state”) which somewhat resembles the classical state B (imagen y texto de la Wikipedia).
      2. Densidad de probabilidad clásica:
        -La densidad de probabilidad clásica de encontrar a la partícula en la posición x , función P_C(x) , tiene la expresión:
        x=a\ sen\omega t\;,\;\dot{x}=a\omega \ cos\omega t
        E=K+V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\omega^2 x^2=\frac{1}{2}m\omega^2a^2
        \Rightarrow v^2=a^2\omega^2cos^2\omega t=a^2\omega^2 - \omega^2 x^2=\frac{2E}{m}-\omega^2 x^2
        v=\dot{x} \left \{ \begin{matrix} =0 \mbox{ si } x=\pm a  \\ =\sqrt{\frac{2E}{m}}=a\omega \sqrt{m} \mbox{ si }x=0 \mbox{ (m\'axima)} \end{matrix}\right.
        P_C(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\frac{\Delta t}{T\Delta x}=\frac{2}{T|\vec{v}|}=\frac{1}{\pi a[1-sen^2\omega t]^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\pi \sqrt{a^2-x^2}}
        -El movimiento clásico tiene lugar entre los límites marcados por los dos puntos de retroceso x=\pm a , o puntos en los que E=V(x) , es decir
        E=V(x) \Rightarrow x=\pm a=\pm \sqrt{\frac{2E}{k}}=\pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}
        -La función P_C(x) crece al acercarse a los puntos de retroceso, \lim_{x \rightarrow \pm a}= +\infty .
      3. Mecano-cuánticamente es posible encontrar a la partícula fuera de la zona entre los dos puntos de retroceso o zona clásicamente prohibida.
        -A diferencia del caso clásico, el resultado cuántico proporciona en general mayor probabilidad de encontrar a la partícula en otros puntos distintos a los de retroceso. Por ejemplo, en el estado fundamental es en el origen donde es más probable encontrar a la partícula.
        -Hay probabilidad no nula de encontrar a la partícula más allá de los puntos de retroceso, fuera del intervalo -a < x < a , esto es, en la zona clásicamente prohibida.
        -Dentro del intervalo -a < x < a la densidad de probabilidad |\psi_n(x)|^2 presenta oscilaciones.
      4. Las siguientes figuras permiten comparar las predicciones cuántica y clásica para la densidad de probabilidad de posición:
        Potencial-HO_classical-returning-points2-1-4_met-reading-ac-uk-300x188
        The probability density functions for the harmonic oscillator. Four cases are shown for particles in energy levels given by the quantum number n = 0, 1, 2, and 6. The dotted curves show the corresponding classical calculation of the probability density, with the dashed lines the classical limits of the oscillation (imagen y texto de http://www.met.reading.ac.uk/pplato2/h-flap/phys11_2.html).
        Potencial-HO_classical-returning-points-10_pci-tu-bs-de-aggericke-300x285
        The detection probability for the vibrational state n=10. The dashed line gives us the classical detection probability (texto e imagen de http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC3e_osv/Kap_III/Molekuelschwingungen.htm).
        Potencial-HO_probability-density-graph100_comp-physics-blogspot-com-es-300x201
        Graph of the probability distribution of the 100th state of the quantum harmonic oscillator (generated using the power series method; texto e imagen de http://comp-physics.blogspot.com.es/2013/01/maple-qho.html).

        -Las anteriores gráficas muestran como, en una ilustración del principio de correspondencia, las predicciones cuánticas convergen a las clásicas en el límite n \rightarrow +\infty , algo que la siguiente app permite visualizar:

  • En el problema estudiado, Hamiltoniano del pozo de oscilador armónico, resulta por tanto: \sigma(H)=\sigma_p(H)\subset(0,+\infty) : infinitos estados ligados, sin degeneración; se satisface el teorema de oscilación.

Referencias

[BOH-89] Bohm, D.;  “Quantum Theory”; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; “Quantum Mechanics”; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; “Mecánica Cuántica”, Eudema, 1989.

[RAI-72] Rainville, E.D., “Intermediate Differential Equations”, Chelsea Pub. Co.; N.Y., 1972.

[SCH-68] Schiff,L.I.; “Quantum Mechanics”; 3º ed., McGraw; 1968.

Páginas complementarias

http://www.met.reading.ac.uk/pplato2/h-flap/phys11_2.html

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/185-fc0606

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/187-fc0608

http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/oscilador-armonico-simple-solucion.html

APPS

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/armonico/armonico.html

http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/embed_item_3.php?anim_id=4&file_sys=index_phys

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/160-oscilador

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/161-schrodingeroscilador

http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/embed_item_3.php?anim_id=22&file_sys=index_phys

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc/162-osciladorlimiteclasico

 

 

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