Luz coherente y luz caótica

coherente-caotica-luz — imagen: https://departamentofisicaequimica.wordpress.com/category/2015-ano-internacional-da-luz/celda-12/

Fuentes: esta entrada se basa principalmente en:

Cap. 5, Introductory Quantum Optics, de Gerry y Knight ([GER-05]).
Cap. 5, Quantum Optics, de Garrison y Chiao ([GAR-08]).
Caps. 2, 5 y 6, Quantum Optics. An introduction, de M. Fox ([FOX-04]).

Coherencia clásica

Clásicamente, la coherencia de la luz describe su estabilidad, distinguiéndose las coherencias espacial y temporal. La primera de ellas interviene en los dispositivos de interferencia, como los interferómetros de Michelson, y viene determinada por la dispersión angular con que la radiación alcanza el dispositivo.
La coherencia de la luz describe su “estabilidad”:
-Sólo las ondas coherentes pueden mostrar un patrón estable de interferencia.
-Ondas coherentes, en teoría ondulatoria clásica, pueden definirse en general como aquéllas que tienen una diferencia finita y estable entre sus frecuencias y fases: Coherencia
La coherencia temporal de un haz de luz se cuantifica por el tiempo de coherencia $\tau_c$ o, equivalentemente, por la longitud de coherencia $L_c=c\tau_c$ . El tiempo de coherencia proporciona el intervalo de tiempo durante el cual la fase de un tren de ondas se mantiene constante: dada la fase de la onda en $(\vec{r},t_1)$ , se mantiene estable para intervalos $\Delta t=|t_2-t_1| \ll \tau_c$ ; equivalentemente, conocida la fase de la onda en $(\vec{r}_1,t)$ , no cambiará apreciablemente siempre que $\Delta r =|\vec{r}_2-\vec{r}_1|\ll L_c$ . Es obvio que una fuente perfectamente monocromática, $\Delta \omega=0$ , poseerá un tiempo de coherencia $\tau_c$ infinito.

-Así, en un experimento de doble rendija, se observarán interferencias siempre que la diferencia de caminos ópticos entre sendos haces de luz procedentes de dos rendijas satisfaga $\Delta L \ll L_c$ .

Coherencia de primer orden

La función general de coherencia de primer orden se define como:

$g^{(1)}(\vec{r}_1,t_1;\vec{r}_2,t_2)=\frac{<E(\vec{r}_1,t_1)E(\vec{r}_2,t_2)>}{ [<|E(\vec{r}_1,t_1)|^2><|E(\vec{r}_2,t_2)|^2>]^{\frac{1}{2}}}$

donde $<>$ representa promedio estadístico sobre una colectividad (ensemble: para estados no estacionarios, como pulsos, un ensemble se compondría de muchos pulsos).

-Para estados estacionarios, en los que las propiedades estadísticas se mantienen constantes en el devenir temporal, el promedio sobre la colectividad se reemplaza por el promedio temporal.

-Para ondas planas paralelas, tomando $\vec{r}_i=z$ (detectores a la misma distancia), el resultado no depende de $t_1$ , sino del retardo o diferencia $\tau=t_1-t_2$ .

La coherencia temporal clásica de la luz se cuantifica mediante la función de correlación de primer orden, $g^{(1)}(\tau)$ , definida como:

$g^{(1)}(\tau)=\frac{<E(t)E(t+\tau)>}{<|E(t)|^2>}$

donde $<>$ indica promedio sobre un intervalo de tiempo $T$ suficientemente largo,

$<E(t)E(t+\tau )>=\frac{1}{T}\int_T \ E(t)E(t+\tau)dt$

Sea un campo cuasi-monocromático de frecuencia central $\omega_0$ :

$E(t)=E_0e^{-i\omega_0t}e^{i\phi t}$ $\Rightarrow g^{(1)}(\tau)=e^{-i\omega_0\tau}<|e^{i[\phi(t+\tau)-\phi(t)]}|>$

de forma que la parte real de $g^{(1)}(\tau)$ oscila con período $\frac{2\pi}{\omega_0}$ . Esta oscilación es la responsable de la aparición del patrón de franjas en las situaciones interferenciales.

Para coherencia temporal, es el módulo $|g^{(1)}(\tau)|$ el que contiene la información sobre la coherencia de la luz, teniéndose:

$|g^{(1)}(0)|=1$
Si $|g^{(1)}(\tau)|=1\; \forall \tau$ : luz perfectamente coherente, anchura espectral nula, tiempo de coherencia $\tau_c=\infty$ . Idealmente, una luz perfectamente monocromática; por ejemplo, un modo longitudinal de láser es una buena aproximación al concepto.
$|g^{(1)}(\tau)| \approx 1 \; \mbox{si} \quad 0<\tau \ll \tau_c \; (\phi(t+\tau)\approx \phi(t))$
$|g^{(1)}(\tau)|$ decrece al aumentar $\tau$ .
Si $0<|g^{(1)}(\tau)|<1$ : luz parcialmente coherente o caótica, anchura espectral $\Delta \omega \ne 0$ , tiempo de coherencia $\tau_c \approx \frac{1}{\Delta \omega}$ .
Si $|g^{(1)}(\tau)|\approx 0\;,\; \forall \tau$ : luz totalmente incoherente (completamente caótica); anchura espectral efectivamente infinita; tiempo de coherencia $\tau_c=0$ .
Para $\tau \gg \tau_c$ , $\phi(t+\tau)$ no está correlacionado con $\phi(t)$ , de forma que $|g^{(1)}(\tau)|=0$ .
Por tanto, la función es decreciente entre y en términos de la variable ; la forma funcional específica cambia reflejando el grado de coherencia:
Plot of [latex]g^{(1)}[/latex] as a function of the delay normalized to the coherence length [latex]\tau/\tau_c[/latex] . The blue curve is for a coherent state (an ideal laser or a single frequency). The red curve is for Lorentzian chaotic light (e.g. collision broadened). The green curve is for Gaussian chaotic light (e.g. Doppler broadened) (from Wikipedia)
1. Para luz con anchura espectral $\Delta \omega$ respondiendo a una distribución de Lorentz,
  $g^{(1)}(\tau)=e^{-i\omega_0\tau}e^{-\frac{|\tau|}{\tau_c}}\;,\;\tau_c=\frac{1}{\Delta \omega}$
2. Para luz con anchura espectral $\Delta \omega$ respondiendo a una distribución de Gauss,
  $g^{(1)}(\tau)=e^{-i\omega_0\tau}e^{-\frac{\pi}{2}(\frac{|\tau|}{\tau_c})^2}\;,\;\tau_c=\frac{\sqrt{8\pi\ ln2}}{\Delta \omega}$

Para la función general de coherencia de primer orden, es el módulo $|g^{(1)}(x_1,x_2)|$ ( $x_i \equiv (\vec{r}_i,t_i)$ ) el que contiene la información sobre la coherencia de la luz, cumpliendo:

Completa coherencia: $|g^{(1)}(x_1,x_2)|=1$
Coherencia parcial: $0< |g^{(1)}(x_1,x_2)|<1$
Completa incoherencia: $|g^{(1)}(x_1,x_2)|=0$

La visibilidad de las franjas de interferencia observadas se define por la fórmula de Rayleigh:
$Vis=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}$
donde $I_{max}$ e $I_{min}$ representan, respectivamente las intensidades registradas en lo máximos y mínimos,

$I_{max}=I_1+I_2 +2\sqrt{I_1I_2}|g^{(1)}|$

-Este parámetro viene determinado por la coherencia de la luz:

$Vis=|g^{(1)}(\tau)|$

-La condición de coherencia completa, $|g^{(1)}(x_1,x_2)|=1$ , es quivalente a la condición de factorización $<E^*(x_1)E(x_2)>=<E^*(x_1)><E(x_2)>$ .

Coherencia de segundo orden: óptica no lineal

La respuesta dieléctrica de un medio viene determinada por el vector polarización eléctrica o momento dipolar eléctrico por unidad de volumen $\vec{P}$ , satisfaciéndose

$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$

donde $\vec{D}$ es el vector desplazamiento eléctrico y $\vec{E}$ el vector campo eléctrico

-En un medio isótropo, los dipolos microscópicos se alinean según la dirección del campo eléctrico aplicado, y se aplica relación lineal aproximada

$\vec{D}=\epsilon_0\epsilon_r\vec{E}\;,\; \epsilon_r=1+\chi^{(1)}$

siendo $\chi=\chi^{(1)}$ la permitividad relativa del medio.

-Pero si la amplitud del campo es grande, la relación no puede suponerse lineal:

$P=\epsilon_0 \chi^{(1)}E+\epsilon_0 \chi^{(2)}E^2+\epsilon_0 \chi^{(3)}E^3+\cdots$

debiendo considerarse términos adicionales del desarrollo, proporcionales respectivamente a las potencias $n$ -ésimas de la intensidad $E$ del campo eléctrico, con constantes $\chi^{(n)}$ , las denominadas susceptibilidades no lineales de orden $n$ .

En segundo orden, si el medio se excita con dos ondas cosenoidales de frecuencias $\omega_i$ y amplitudes $E_i\;,\; i=1,2$ , la polarización no lineal viene dada por:

$P^{(2)}(t)=\epsilon_0\chi^{(2)}\times E_1\cos \omega_1 t \times E_2\cos \omega_2 t$ $=\epsilon_0\chi^{(2)}E_1E_2\frac{1}{2}[\cos(\omega_1 + \omega_2)t\cos(\omega_1 - \omega_2)t]$

-Así que la respuesta no lineal de segundo orden genera una polarización que oscila con frecuencias igual a la suma $\omega_+$ y a la diferencia $\omega_-$ de los campos aplicados, siendo éstas las frecuencias que radiará el medio, pudiendo diferenciándose las situaciones:

$\omega_1=\omega_2 \Rightarrow \omega_+=2\omega$ : duplicado de frecuencia
$\omega_1 \ne \omega_2 \Rightarrow \omega_+=|\omega_1 + \omega_2|$ : mezcla con suma de frecuencias
$\omega_1 \ne \omega_2 \Rightarrow \omega_-=|\omega_1 - \omega_2|$ : mezcla con resta de frecuencias

-Y también en procesos no lineales de segundo orden pueden aparecer fenómenos reversos, por ejemplo, casos en que luz incidente monocromática $\omega$ se desdobla en dos frecuencias $\omega_s$ y $\omega_i$ que suman a la inicial, $\omega=\omega_s +\omega_i$ (como en SPDHC: conversión paramétrica espontánea a la baja).

Función de coherencia de de segundo orden

La función de coherencia de de segundo orden, $g^{(2)}(\vec{r}_1,t_1;\vec{r}_2,t_2)$ , se define:

$g^{(2)}(\vec{r}_1,t_1;\vec{r}_2,t_2)=\frac{\left\langle E^*(\vec{r}_1,t_1)E^*(\vec{r}_2,t_2)E(\vec{r}_2,t_2)E(\vec{r}_1,t_1)\right\rangle}{[<|E(\vec{r}_1,t_1)|^2> <|E(\vec{r}_2,t_2)|^2>]}$

-Como para la función de primer orden, si los detectores están a la misma distancia, para ondas planas paralelas, tomando $\vec{r}=z$ , el resultado no depende de $t_1$ , sino del retardo $\tau=t_1-t_2$ .

La función de coherencia de de segundo orden temporal, $g^{(2)}(\tau)$ , se define:

$g^{(2)}(\tau)=\frac{<E^*(t)E^*(t+\tau)E(t)E(t+\tau)>}{<|E(t)|^2><|E(t+\tau)|^2>}=\frac{<I(t)I(t+\tau)>}{<I(t)><I(t+\tau)>}$

donde $<>$ indica promedio sobre un intervalo de tiempo $T$ suficientemente largo; $E(t)$ y $I(t)$ representan, respectivamente, la intensidad del campo eléctrico y de la radiación en el instante $t$ ,

$<C(t,\tau)>=\frac{1}{T}\int_T \ C(t,\tau)dt$

$\rightarrow$ Mientras que $g^{(1)}(\tau)$ cuantifica las fluctuaciones temporales del campo eléctrico $E$ , la de segundo orden cuantifica las fluctuaciones temporales de la intensidad de la radiación $I$ .

El parámetro tiempo de coherencia $\tau_c$ de la fuente emisora determina las fluctuaciones en la intensidad:

Cuando $\tau \gg \tau_c$ , las fluctuaciones de intensidad en dos instantes $t$ y $t+\tau$ no presentarán correlación alguna, de forma que:
$I(t)=< I > + \Delta I(t) \quad \mbox{y} \quad <\Delta I(t)>=0$
$\Rightarrow <I(t)I(t+\tau)>_{\tau \gg \tau_c}=<I>^2$
$\Rightarrow g^{(2)}(\tau \gg \tau_c)=\frac{<I(t)I(t+\tau)>}{<I(t)>^2}=\frac{<I(t)>^2}{<I(t)>^2}=1$
Cuando $\tau \ll \tau_c$ , las fluctuaciones de intensidad en dos instantes $t$ y $t+\tau$ estarán correlacionadas, de forma que, en particular:
$g^{(2)}(\tau=0)=\frac{<I(t)>^2}{<I(t)>^2}\ge 1$
Para cualquier función $I(t)$ se satisface:
$g^{(2)}(0) \ge g^{(2)}(\tau)$

Coherence_g2_Wikipedia — Plot of [latex]g^{(2)}[/latex] as a function of the delay normalized to the coherence length [latex]\tau/\tau_c[/latex] . The blue curve is for a coherent state (an ideal laser or a single frequency). The red curve is for Lorentzian chaotic light (e.g. collision broadened). The green curve is for Gaussian chaotic light (e.g. Doppler broadened) (from Wikipedia).

En general, la radiación clásica ofrece el rango de valores para la función de coherencia de segundo orden:

Para toda radiación:
1. $1 \le g^{(2)}(0) < \infty$
2. Para intensidad constante: $g^{(2)}(0)=1$
3. $g^{(2)}(\tau)\le g^{(2)}(0)$
4. Luz incoherente o caótica: $g^{(2)}(\tau)=1+|g^{(1)}(\tau)|^2 \Rightarrow 1\le |g^{(2)}(\tau)| \le 2$ y $g^{(2)}(0)=2$
(desigualdades que violará la luz cuántica)
Para luz perfectamente coherente: $g^{(2)}(\tau)=1$
Coherencia clásica de segundo orden: $|g^{(1)}(x_1,x_2)|=1=g^{(2)}(x_1,x_2;x_2,x_1)$
Para luz parcialmente incoherente o caótica, distribución de Gauss:
$g^{(2)}(\tau)=1+e^{-\pi(\tau/\tau_c)^2}$
Para luz parcialmente incoherente o caótica, distribución de Lorentz:
$g^{(2)}(\tau)=1+e^{-2|\tau|/\tau_o}$ ( $\tau_o$ es la vida media de la correspondiente transición espectral)

$\rightarrow$ Experimento y efecto Hanbury Brown-Twiss

Funciones de correlación y coherencia cuánticas

Glauber desarrolló una teoría cuántica de la coherencia en paralelismo con la clásica, introduciendo los operadores mecano-cuánticos.

Los detectores miden la intensidad de los haces de radiación vía la absorción de fotones, es decir, atenuándolos. Supuesto un detector ideal monoatómico, en el que la dimensión atómica característica es mucho menor que la longitud de onda de la radiación, la absorción de luz produce la ionización y subsiguiente emisión de un fotoelectrón: el contaje de estos electrones de ionización dará cuenta de las propiedades estadísticas de la radiación.

Sea un detector ideal para la componente en frecuencia positiva del campo, $\hat{\vec{E}}^{(+)}(\vec{r},t)$ , es decir, que trabaja vía la absorción de fotones que matemáticamente se representa por la aplicación del correspondiente operador destrucción.

-En la absorción de un fotón del campo, éste realiza una transición desde el estado $|i>$ hacia el $|f>$ , y la razón de transición para esa absorción viene dada por la regla de oro de Fermi, $W_{fi}=\frac{dP_{fi}}{dt}$ :

$W_{fi}=|<f|\hat{\vec{E}}^{(+)}(\vec{r},t)|i>|^2$

-Sumando sobre todos los estados $|f>$ , ya que se busca determinar la razón de contaje del detector, se obtiene la intensidad detectada $I(\vec{r},t)$ :

$I(\vec{r},t)=\sum_f |<f|\hat{\vec{E}}^{(+)}(\vec{r},t)|f>|^2$ $=<i|\hat{\vec{E}}^{(-)}(\vec{r},t)|f><f|\hat{\vec{E}}^{(+)}(\vec{r},t)|i>$ $=<i|\hat{\vec{E}}^{(-)}(\vec{r},t)\hat{\vec{E}}^{(+)}(\vec{r},t)|i>$

-En el caso de que el estado inicial del campo fuese una mezcla estadística de estados, descrita por el operador densidad $\hat{\rho}$ , el anterior resultado se expresaría:

$I(\vec{r},t)=Tr(\hat{\rho}\hat{\vec{E}}^{(-)}(\vec{r},t)\hat{\vec{E}}^{(+)}(\vec{r},t))$

Un ejemplo sencillo: Sea el estado inicial dado por un estado de Fock $|n_k>$ ; sea la componente del campo que describe la absorción es la componente de frecuencia positiva, que es la que contiene el operador aniquilación,

$\hat{\vec{E}}^{(+)}(\vec{r},t)=i\sum_{\vec{k},s}(\frac{\hbar\omega_k}{2\epsilon_0})^{\frac{1}{2}}\vec{u}_{\vec{k}s}(\vec{r})\hat{a}_{\vec{k}s} e^{i\omega_k t}$ ;

su adjunto, la componente en frecuencia negativa, tiene la expresión

$\hat{\vec{E}}^{(-)}(\vec{r},t)=(\hat{\vec{E}}^{(+)}(\vec{r},t))^{\dagger}$

donde $u_{\vec{k}s}(\vec{r})$ es la componente en el modo correspondiente $(\vec{k}s)$ del desarrollo en serie de Fourier para el campo eléctrico en un volumen finito; en el caso de un cubo de lado $L$ con condiciones de contorno periódicas se expresa como

$u_{\vec{k}s}(\vec{r})=\frac{1}{L^3}\vec{e}_{\vec{k}s}e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}$

-Se obtiene entonces para la intensidad:

$I(\vec{r},t)=<n_k|\hat{\vec{E}}^{(-)}(\vec{r},t)\hat{\vec{E}}^{(+)}(\vec{r},t)|n_k>=n_k\frac{\hbar\omega_k}{2\epsilon_0}|u_{\vec{k}s}(\vec{r})|^2$

Las funciones de correlación cuántica, de orden $n$ , se definen como:

(notación: $x_i \equiv (\vec{r}_i,t_i)$ )

$G^{(n)}(x_1,\ldots ,x_n;x_n,\ldots ,x_1)=Tr(\rho \hat{\vec{E}}^{(-)}(x_1)\ldots \hat{\vec{E}}^{(-)}(x_n)\hat{\vec{E}}^{(+)}(x_{n})\ldots \hat{\vec{E}}^{(+)}(x_{1}))$

cumpliéndose

$I(\vec{r},t)=G^{(1)}(x_i;x_i)$

-De estas funciones:

$G^{(1)}(x_i;x_i)$ es la intensidad de la luz que llega a un detector desde $x_i$

$G^{(1)}(x_i;x_j)$ es una medida de la correlación entre la luz que llega desde $x_i$ y $x_j$ , o sea, una medida de su interferencia.

$G^{(2)}(x_i,x_j;x_j,x_i)$ es el promedio sobre el ensemble del producto de intensidades $I(x_i)I(x_j)$ .

La función de coherencia cuántica de orden $n$ se define ( $x_i \equiv (\vec{r}_i,t_i)$ ):

$g^{(n)}_Q (x_1,\ldots ,x_n;x_n, \ldots ,x_1)=\frac{G^{(n)}(x_1,\ldots ,x_n;x_n,\ldots ,x_1)}{[G^{(1)}(x_1,x_1)\ldots G^{(1)}(x_n,x_n)]}$

de forma que las de órdenes primero y segundo son:

$g^{(1)}_Q(x_1,x_2)=\frac{G^{(1)}(x_1,x_2)}{[G^{(1)}(x_1,x_1)G^{(1)}(x_2,x_2)]^{\frac{1}{2}}}$ $g^{(2)}_Q (x_1,x_2;x_2,x_1)=\frac{G^{(2)}(x_1,x_2;x_2,x_1)}{[G^{(1)}(x_1,x_1)G^{(1)}(x_2,x_2)]}$

donde $g^{(2)}_Q (x_1,x_2;x_2,x_1)$ representa la probabilidad conjunta de detección de un fotón en $(\vec{r}_1,t_1)$ y otro en $(\vec{r}_2,t_2)$ .

Un campo se dice que es $m$ -coherente si cumple:
$|g^{(n)}_Q (x_1,\ldots ,x_n;x_n, \ldots ,x_1)|=1\;,\; \forall n\le m$
para lo que debe satisfacerse $\forall n\le m$ que
$G^{(m)}(x_1,\ldots ,x_m;x_m,\ldots ,x_1)=G^{(1)}(x_1,x_1)G^{(1)}(x_2,x_2)\ldots G^{(1)}(x_m,x_m)$ ,

condición que cumplen todos los estados coherentes.

-Y se dice que es totalmente coherente cuando lo es para todo $n$

(lo es en el límite $\lim_{n\rightarrow \infty}$ ).

En una posición fija, $g^{(2)}_Q$ depende sólo del retardo o diferencia $\tau=t_2-t_1$ , convirtiéndose en la función de coherencia temporal

$g_Q^{(2)}(\tau)=\frac{\left\langle \hat{E}^-(t)E^-(t+\tau)\hat{E}^+(t+\tau)\hat{E}^+(t)\right\rangle}{<\hat{E}^-(t)\hat{E}^+(t)> <\hat{E}^-(t+\tau)\hat{E}^+(t+\tau)>}$ ,

second-order-correlation_ex4 — Véase http://qutip.org/docs/3.1.0/guide/guide-correlation.html

representando la probabilidad condicional de que se detecte, en una posición dada, un fotón en $t$ y también otro en $t+\tau$ , esto es, con un retardo $\tau$ .
-Si $g_Q^{(2)}(\tau)=1$ , entonces los fotones van llegando de forma independiente.
$\rightarrow$ Puede esperarse que $\lim_{\tau \rightarrow \infty} g_Q^{(2)}(\tau)\rightarrow 1$ para cualquier estado del campo, es decir, que, transcurrido un intervalo de tiempo suficientemente grande, la memoria del primer fotón detectado desaparezca.

Estas funciones cuánticas satisfacen:

Función de correlación de primer orden:
1. $G^{(1)}(x_1,x_2)=[G^{(1)}(x_2,x_1)]^*$
2. $G^{(1)}(x_i,x_i)\ge 0$
3. $G^{(1)}(x_1,x_1)G^{(1)}(x_2,x_2)\ge |G^{(1)}(x_1,x_2)|^2$
  ( $G^{(1)}(x_1,x_1)G^{(1)}(x_2,x_2)=|G^{(1)}(x_1,x_2)|^2$ implica máxima visibilidad de las franjas de interferencia).
Función de coherencia de primer orden:
1. $0 \le |g_Q^{(1)}(x_1,x_2)|\le 1$
2. Completa coherencia: $|g_Q^{(1)}(x_1,x_2)|=1$
3. Coherencia o caos parcial: $0< |g_Q^{(1)}(x_1,x_2)|<1$
4. Completa incoherencia o caos total: $|g_Q^{(1)}(x_1,x_2)|=0$
La caracterización de la coherencia en términos de la función de primer orden es por completo análoga a la clásica.
Función de coherencia de segundo orden:
1. Sobre un estado del campo correspondiente a un solo modo de excitación, propagándose con vector número de ondas $\vec{k}$ ( $\hat{E}^{(+)}=i(\frac{\hbar \omega}{2\epsilon_0 V})^{\frac{1}{2}}e^{i\vec{k}\cdot \vec{r} -\omega t}$ ) :
  $g_Q^{(2)}(\tau)=1+ \frac{<\hat{a}^{\dagger} \hat{a}^{\dagger} \hat{a} \hat{a} >}{< \hat{a}^{\dagger} \hat{a} > }=1+\frac{<(\Delta \hat{n})^2>-<\hat{n}>}{<\hat{n}>^2}=g_Q^{(2)}(0) \ne f(\tau)$
2. Sobre un estado de campo que es coherente o estado Glauber $|\alpha>$ :
  $g_Q^{(2)}(\tau)=g_Q^{(2)}(0)=1$ : se satisface la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
  $\rightarrow$ los fotones llegan distribuidos al azar.
  $\rightarrow$ este estado es coherente en segundo orden.
  $\rightarrow$ la probabilidad de una detección en coincidencia es independiente del tiempo.
  $\rightarrow$ luz cuasi-clásica.
3. Sobre un estado del campo en un solo modo térmico (modo de radiación en una cavidad en equilibrio térmico):
  $g_Q^{(2)}(\tau)=g_Q^{(2)}(0)=2$
  $\rightarrow$ hay alta probabilidad de que se produzcan detecciones en coincidencia de fotones.
4. Sobre un estado del campo multimodal térmico (mezcla de modos de radiación en una cavidad en equilibrio térmico):
  $1 \le (g_Q^{(2)}(\tau)= 1 + |g_Q^{(1)}(\tau)|^2)\le 2$
  $\rightarrow$ el resultado coincide con el clásico.
5. Puede tenerse $g_Q^{(2)}(\tau)<g_Q^{(2)}(0)$ :se satisface la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
  $\rightarrow$ photon bunching: los fotones tienden a aparecer juntos.
  $\rightarrow$ la probabilidad de que se produzca la detección de un segundo fotón después de un retardo $\tau$ decrece con $\tau$ .
  $\rightarrow$ se trata de un efecto clásico.
  -El efecto no es posible sobre un estado de un solo modo de campo.
6. Puede tenerse $g_Q^{(2)}(\tau)>g_Q^{(2)}(0)$ : se viola la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
  $\rightarrow$ photon antibunching: los fotones tienden a aparecer separados.
  $\rightarrow$ la probabilidad de que se produzca la detección de un segundo fotón después de un retardo $\tau$ crece con $\tau$ .
  $\rightarrow$ los fotones tienden a llegar con intervalo temporal fijo.
  $\rightarrow$ la probabilidad de que se produzcan detecciones en coincidencia de fotones en un intervalo $\tau$ es menor que en el caso de estado coherente.
  -El efecto no es posible sobre un estado de un solo modo de campo.
  $\rightarrow$ resultado incompatible con la teoría clásica.
7. Puede tenerse $g_Q^{(2)}(0)<1$ :
  $\rightarrow$ estados sub-poissonianos.
  $\rightarrow$ la condición puede ser simultánea con la de antibunching o no: son efectos diferentes.
  $\rightarrow$ la condición indica también anti-bunching cuando, siempre que $g_Q^{(2)}(\tau)$ no sea constante, se tenga $\lim_{\tau \rightarrow \infty} g_Q^{(2)}(\tau)\rightarrow 1$
  -Por ejemplo, para el caso de un solo modo de excitación de campo, se tiene $g_Q^{(2)}(\tau)=g_Q^{(2)}(0)$ , constante, y no hay antibunching.
  $\rightarrow$ la probabilidad de que se produzcan detecciones en coincidencia de fotones en un intervalo $\tau$ es menor que en el caso de estado coherente
  $\rightarrow$ resultado incompatible con la teoría clásica.
8. Sobre un estado de Fock $|n>$ , autoestado del operador número:
  $g_Q^{(2)}(0)=\frac{n(n-1)}{n^2}<1$
  $\rightarrow$ estado sub-poissoniano.
  -En particular, para un estado de Fock de un solo fotón, $\hat{n}|\Psi>=|\Psi>$ , se tiene $g_Q^{(2)}(0)=0<1$ .