Pozo finito dentro de un pozo infinito

Autoestados-pzo-finito-en-infinito_Eigenstates_06

Pozo cuadrado finito en seno pozo infinito

Función potencial $V(x)$ : $V(x) = \left\{ \begin{matrix} V_o >0 & \mbox{si } |a| < |x| < |b| \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ +\infty & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$ donde $V_o$ es un número real positivo, con dimensiones de energía.
-Se trata de una función con discontinuidades de segunda especie en los puntos $x=\pm b\; \; ,\;b\in \mathbb{R}\;,\; b > 0$ , puntos en los que se sitúan sendas barreras impenetrables de potencial; por lo tanto, en ellos se debe imponer la condición de frontera de anulación de la función de onda $\psi(x)$ : se produce el confinamiento o ligadura de la partícula en el interior del intervalo $(-b,b)$ de la recta real, de longitud $L=2b$ ; la derivada primera de la función de onda presentará discontinuidades en ambos extremos. Por otra parte, el potencial presenta discontinuidades de primera especie en los puntos $x=\pm a\; \; ,\;a\in \mathbb{R}\;,\; a > 0$ , puntos en los que habrá que proceder al empalme o conexión de las respectivas soluciones en las zonas I y II que garantice la continuidad de la función de onda y su primera derivada.
Problema de autovalores de energía:
$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0$ ,
y buscamos soluciones $\psi(x)$ que sean funciones continuas y con derivada primera $\psi'(x)$ también continua allí donde $V(x)$ es finito: en el intervalo $(-b,b)$ ; las funciones $\psi(x)$ tendrán sendos nodos en los puntos extremos $x=\pm b$ : $\psi(\pm b)=0$ (donde $\psi'(x)$ presentará una discontinuidad de primera especie).
La solución general de una EDO
$\frac{d^2\psi}{dx^2} \mp k^2\psi=0$ ,
donde $k>0$ , $k \in \mathbb{R}$ , tiene la expresión:
-Signo (-) : $\psi(x)=C_1 \ e^{kx} + C_2\ e^{-kx}$
con $C_1,C_2$ escalares arbitrarios.
-Signo (+) : $\psi(x)=C_1 \ e^{+ikx} + C_2\ e^{-ikx}=C'_1 \ cos\ kx + C'_2\ sen \ kx$
con $C_1,C_2,C'_1,C'_2$ escalares arbitrarios.
En las dos regiones espaciales consideradas, I: $|a| < |x| < |b|$ y II: $|x| \le a$ , las respectivas formas de la EDO planteada son:
Zona II : $|x| \le a$ : $\quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E]\psi(x)=0$
Zona I : $|a| < |x| < |b|$ : $\quad \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V_{o}]\psi(x)=0$
Puesto que el potencial es simétrico en torno al origen, sabemos de antemano que los autoestados van a tener paridad definida; por ello, iremos incorporando la paridad de partida, limitándonos además a resolver en la parte positiva del eje real.
$0 < E < V_o$ :
1. Forma A de resolución:
  1. -Zona I: $|a| < |x| < |b|$ :
    $\psi_{I}(x)=C \ e^{\beta x} + D\ e^{-\beta x}$
    con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0$ y $C,D$ escalares arbitrarios.
    -Zona II: $|x|<a$ :
    $\psi_{II}(x)=A \ cos\ kx + B\ sen \ kx$
    con $k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0$ y $A,B$ escalares arbitrarios.
    -Zona $|x| \ge b$ : $\psi(x)=0 \; , \, \forall x$ .
  2. Soluciones pares para :
    1. Por ser la función par, ha de tenerse $(\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow B=0$ .
    2. La función de onda par tendrá la expresión general:
      $\psi^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A \ cos\ kx& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II \\ C \ e^{\beta x} + D\ e^{-\beta x}& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^+$ en $x=b \Rightarrow$
      $0=C \ e^{\beta b} + D\ e^{-\beta b} \Rightarrow D=-Ce^{2\beta b}$
      -Continuidad $\psi^+$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A \ cos\ ka = C \ e^{\beta a} - C \ e^{2\beta b} \ e^{-\beta a}$
      -Continuidad $(\psi^+)'$ en $x=+a \Rightarrow$
      $-A \ k \ sen \ ka = C \ \beta e^{\beta a} +C \ \beta \ e^{2\beta b} \ e^{-\beta a}$
      -Obsérvese que ha de ser $(\psi^+)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
      $-k\ tan \ ka = \frac{\beta \ e^{\beta a} + \beta \ e^{2\beta b} \ e^{-\beta a}}{e^{\beta a} - e^{2\beta b} \ e^{-\beta a}} = \frac{\beta [e^{\beta (a-b)} + e^{-\beta (a-b)}]}{e^{\beta (a-b)} - e^{-\beta (a-b)}}$
      $=\beta \ cotanh \ \beta (a-b)$
    5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización de la energía o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones pares:
      $k \ tan \ ka = \beta \ cotanh \ \beta (b-a)$
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía $E_n$ , o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones pares.
    6. Resolución gráfica:
    7. Expresión de las autofunciones pares $\psi^+_n(x)$ :
      $\psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ cos\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (e^{\beta_n |x|} - e^{2\beta_n b} \ e^{-\beta_n |x|})& \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
      $A_n=C_n \ \frac{e^{\beta_n a} - e^{2\beta_n b} \ e^{-\beta_n a}}{cos k_na}$
      y $C_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
  3. Soluciones impares para :
    1. Por ser la función impar, ha de tenerse $\psi^-(0)=0 \Rightarrow A=0$ .
    2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
      $\psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B \ sen\ kx& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II \\ C \ e^{\beta x} + D\ e^{-\beta x}& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^-$ en $x=b \Rightarrow$
      $0=C \ e^{\beta b} + D\ e^{-\beta b} \Rightarrow D=-Ce^{2\beta b}$
      -Continuidad $\psi^-$ en $x=+a \Rightarrow$
      $B \ sen\ ka = C \ e^{\beta a} - C \ e^{2\beta b} \ e^{-\beta a}$
      -Continuidad $\psi'^-$ en $x=+a \Rightarrow$
      $B \ k \ cos \ ka = C \ \beta \ e^{\beta a} + C \ \beta \ e^{2\beta b} \ e^{-\beta a}$
      -Obsérvese que ha de ser $\psi'^-$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
      $k\ cotan \ ka = \frac{\beta \ e^{\beta a} + \beta \ e^{2\beta b} \ e^{-\beta a}}{e^{\beta a} - e^{2\beta b} \ e^{-\beta a}} = \frac{\beta [e^{\beta (a-b)} + e^{-\beta (a-b)}]}{e^{\beta (a-b)} - e^{-\beta (a-b)}}$
      $=\beta \ cotanh \ \beta (a-b)$
    5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización o ecuación cuyas raíces proporcionan los autovalores correspondientes a las autofunciones impares:
      $k \ cotan \ ka = \beta \ cotanh \ \beta (a-b)$
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones impares.
    6. Resolución gráfica:
    7. Expresión de las autofunciones impares $\psi^-_n(x)$ :
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (e^{\beta_n x} - e^{2\beta_n b} \ e^{-\beta_n x})& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \; positiva \\ -C_n (e^{-\beta_n x} - e^{2\beta_n b} \ e^{\beta_n x})& \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I \; negativa \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores impares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
      $B_n=C_n \ \frac{e^{\beta_n a} - e^{2\beta_n b} \ e^{-\beta_n a}}{sen k_na}$
      y $C_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^-_n(x)$ .
      -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (e^{\beta_n |x|} - e^{2\beta_n b} \ e^{-\beta_n |x|})\cdot \frac{x}{|x|}& \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \; \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
2. Forma B de resolución:
  1. En esta segunda forma de resolución, lo que se hace es usar en la zona I para la expresión de la función de onda $\psi$ una combinación lineal de funciones hiperbólicas:
  2. -Zona I: $|a| < |x| < |b|$ : $\psi_{I}(x)=C' \ cosh (\beta x) + D'\ senh(\beta x)$ con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0$ y $C',D'$ escalares arbitrarios.
    -Zona II: $|x|<a$ : $\psi_{II}(x)=A \ cos\ kx + B\ sen \ kx$ con $k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0$ y $A,B$ escalares arbitrarios.
    -Zona $|x| \ge b$ : $\psi(x)=0 \; , \, \forall x$ .
  3. Como ha de tenerse anulación de la función de onda en $x=b$ , se deriva:
    $\psi_{I}(b)=0=C' \ cosh (\beta b) + D'\ senh(\beta b)$
    $\Rightarrow \frac{C'}{D'}=-\frac{senh \beta b}{cosh \beta b}$ ;
    renombramos $\frac{C'}{D'}=-\frac{senh \delta}{cosh \delta}$ ,
    eligiendo el nuevo par de constantes arbitrarias $F, \delta$ , tales que:
    $C'=F \ senh \delta$ y $D'=-F\ cosh \delta$ ,
    en términos de las cuales la función de onda en la zona I pasa a expresarse como:
    -Zona I: $|x|<a$ : $\psi_{I}(x)=F \ senh\ \delta \ cosh\ \beta x -F \ cosh\ \delta \ senh\ \beta x$
    $\Rightarrow \psi_{I}(x)=F \ senh (\beta x - \delta)$ ,
    con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar}>0$ y $F,\delta$ escalares arbitrarios.
  4. Soluciones pares para :
    1. Por ser la función par, ha de tenerse $(\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow B=0$ .
    2. La función de onda par tendrá la expresión general:
      $\psi^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A \ cos\ kx& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II \\ F \ senh (\beta x - \delta)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^+$ en $x=b \Rightarrow$
      $0=F \ senh (\beta b - \delta) \Rightarrow \delta =\beta b$
      -Continuidad $\psi^+$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A \ cos\ ka =F \ senh (\beta a - \delta)=F \ senh \beta (a - b)$
      -Continuidad $\psi'^+$ en $x=+a \Rightarrow$
      $-A \ k \ sen ka = F \beta cosh \beta (a-b)$
      -Obsérvese que ha de ser $\psi'^+$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones pares que se obtuvo antes por el camino A:
      $k \ tan \ ka = \beta \ cotanh \ \beta (b-a)$ .
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones pares.
    5. Expresión de las autofunciones pares $\psi^+_n(x)$ :
      $\psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ cos\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n senh \beta_n (|x| - b) & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
      $A_n=F_n \ \frac{senh \beta_n (a - b)}{cos k_na}$
      y $F_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
  5. Soluciones impares para :
    1. Por ser la función impar, ha de tenerse $\psi^-(0)=0 \Rightarrow A=0$ .
    2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
      $\psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B \ sen\ kx& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II \\ F \ senh (\beta x - \delta)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^-$ en $x=b \Rightarrow$
      $0=F$ $senh (\beta b - \delta) \Rightarrow$ $\delta=\beta b$
      -Continuidad $\psi^-$ en $x=+a \Rightarrow$
      $B \ sen\ ka =F senh \beta (a - b)$
      -Continuidad $\psi'^-$ en $x=+a \Rightarrow$
      $F\beta cos \ ka =F \beta cosh \beta (a - b)$
      -Obsérvese que ha de ser $\psi'^-$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma ecuación de autovalores o condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones impares que se obtuvo antes por el camino A:
      $k \ cotan \ ka = \beta \ cotanh \ \beta (a-b)$
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones impares.
    5. Expresión de las autofunciones impares $\psi^-_n(x)$ :
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n senh \beta_n (x - b) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \; positiva \\ -F_n senh \beta_n (-x - b) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I \; negativa \\0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(V_o-E_n)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
      $B_n=F_n \ \frac{senh \beta_n (a - b)}{sen k_na}$
      y $F_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
      -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n senh \beta_n (|x| - b) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
$0 < V_o < E$ :
1. Forma A de resolución:
  1. -Zona I: $|a| < |x| < |b|$ :
    $\psi_{I}(x)=C \ cos \beta x + D\ sen \beta x$
    con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}>0$ y $C,D$ escalares arbitrarios.
    -Zona II: $|x|<a$ :
    $\psi_{II}(x)=A \ cos\ kx + B\ sen \ kx$
    con $k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0$ y $A,B$ escalares arbitrarios.
    -Zona $|x| \ge b$ : $\psi(x)=0 \; , \, \forall x$ .
    -De manera que, en este tramo de valores de $E$ , la solución es oscilatoria en las dos zonas I y II.
  2. Soluciones pares para :
    1. Por ser la función par, ha de tenerse $(\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow B=0$ .
    2. La función de onda par tendrá la expresión general:
      $\psi^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A \ cos\ kx& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II \\ C \ cos \beta x + D\ sen \beta x& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^+(x)$ en $x=b$ $\Rightarrow$
      $0=C \ cos \beta b + D\ sen \beta b \Rightarrow$ $D=-C\frac{cos \beta b}{sen \beta b}$
      -Continuidad $\psi^+(x)$ en $x=+a$ $\Rightarrow$
      $A \ cos\ ka =$ $C \ cos \beta a - C$ $\frac{cos \beta b}{sen \beta b} sen \beta a$
      -Continuidad $(\psi^+)'(x)$ en $x=+a \Rightarrow$
      $-A \ k \ sen \ ka = -C \ \beta sen \beta a -C \beta \frac{cos \beta b}{sen \beta b} cos \beta a$
      -Obsérvese que ha de ser $(\psi^+)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
      $-k\ tan \ ka = -\beta \frac{sen \beta a - \frac{cos \beta b}{sen \beta b} cos \beta a}{cos \beta a - \frac{cos \beta b}{sen \beta b} sen \beta a}$
      $\Rightarrow k\ tan \ ka =\beta \ cotan \ \beta (b-a)$
    5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización de la energía o ecuación de autovalores para las autofunciones pares:
      $k \ tan \ ka = \beta \ cotan \ \beta (b-a)$
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía $E_n$ , o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $0 < E < V_o$ , correspondientes a las autofunciones pares.
    6. Resolución gráfica: como antes.
    7. Expresión de las autofunciones pares $\psi^+_n(x)$ :
      $\psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ cos\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (cos \beta_n |x| - cotan \beta_n b \ sen k_n |x|)& \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
      $A_n=C_n (\frac{cos \beta_n a}{cos k_n a}- cotan \beta_n b \frac{sen \beta_n a}{cos k_n a})$
      y $C_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
  3. Soluciones impares para :
    1. Por ser la función impar, ha de tenerse $\psi^-(0)=0 \Rightarrow A=0$ .
    2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
      $\psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B \ sen\ kx& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II \\ C \ cos \beta x + D\ sen \beta x& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^-$ en $x=+b \Rightarrow 0 = C \ cos \beta b + D sen \beta b$ $\Rightarrow D=-C\ cotan \beta b$
      -Continuidad $\psi^-$ en $x=+a \Rightarrow B \ sen\ ka = C \ cos \beta a - C \ cotan \beta b \ sen \beta a$
      -Continuidad $\psi'^-$ en $x=+a \Rightarrow B\ k \ cos\ ka = -C \beta \ sen \beta a - C \beta cotan \beta b \ cos \beta a$
      -Obsérvese que ha de ser $(\psi^-)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda:
      $k\ cotan \ ka = -\beta \frac{sen \beta a + cotan \beta b \ cos \beta a}{cos \beta a - cotan \beta b \ sen \beta a}$ $= -\beta \frac{1 + cotan \beta b \ cotan \beta a}{cotan \beta a - cotan \beta b}$ $\Rightarrow k\ cotan \ ka =\beta \ cotan \ \beta (a-b)$
    5. Por tanto, se obtiene la condición de cuantización o ecuación de autovalores para las autofunciones impares:
      $k \ cotan \ ka = \beta \ cotan \ \beta (a-b)$
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $E > V_o$ , correspondientes a las autofunciones impares.
    6. Resolución gráfica: como antes.
    7. Expresión de las autofunciones impares $\psi^-_n(x)$ :
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (cos \beta_n x - cotan \beta_n b \ sen \beta_n x)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \; positiva \\ -C_n (cos \beta_n x - cotan \beta_n b \ sen \beta_n x)& \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I \; negativa \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores impares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
      $B_n=C_n \ \frac{cos \beta_n a - cotan \beta_n b \ sen \beta_n a}{sen k_na}$
      y $C_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^-_n(x)$ .
      -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n sen k_n x & \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ C_n (cos \beta_n x - cotan \beta_n b \ sen \beta_n |x|)\cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \; \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
2. Forma B de resolución:
  1. En esta segunda forma de resolución, lo que se hace es usar en la zona I para la expresión de la función de onda $\psi$ una expresión trigonométrica:
  2. -Zona I: $|a| < |x| < |b|$ :
    $\psi_{I}(x)=C' \ cos (\beta x) + D'\ sen(\beta x)$
    con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}>0$ y $C',D'$ escalares arbitrarios.
    -Zona II: $|x|<a$ :
    $\psi_{II}(x)=A \ cos\ kx + B\ sen \ kx$
    con $k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0$ y $A,B$ escalares arbitrarios.
    -Zona $|x| \ge b$ : $\psi(x)=0 \; , \, \forall x$ .
  3. Como ha de tenerse anulación de la función de onda en $x=b$ , se deriva:
    $\psi_{I}(b)=0=C' \ cos (\beta b) + D'\ sen(\beta b)$
    $\Rightarrow \frac{C'}{D'}=-\frac{sen \beta b}{cos \beta b}$ ;
    renombramos $\frac{C'}{D'}=-\frac{sen \delta}{cos \delta}$ ,
    eligiendo el nuevo par de constantes arbitrarias $F, \delta$ , tales que:
    $C'=F \ sen \delta$ y $D'=-F\ cos \delta$ ,
    en términos de las cuales la función de onda en la zona I pasa a expresarse como:
    -Zona I: $|x|<a$ : $\psi_{I}(x)=F \ sen \delta \ cos \beta x -F \ cos \delta \ sen \beta x$
    $\Rightarrow \psi_{I}(x)=F \ sen (\beta x - \delta)$ ,
    con $\beta=\frac{+\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}>0$ y $F,\delta$ escalares arbitrarios.
  4. Soluciones pares para :
    1. Por ser la función par, ha de tenerse $(\psi^+)'(0)=0 \Rightarrow B=0$ .
    2. La función de onda par tendrá la expresión general:
      $\psi^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A \ cos\ kx& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II \\ F \ sen (\beta x - \delta)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^+$ en $x=+b \Rightarrow$
      $0=F \ sen (\beta b - \delta) \Rightarrow \beta b -\delta=n\pi \, , \, n=\pm 0,\pm 1,\pm 2 \ldots$ ; elegimos $n=0 \Rightarrow \delta= \beta b$ .
      -Continuidad $\psi^+$ en $x=+a \Rightarrow$
      $A \ cos\ ka =F \ sen (\beta a - \delta)=F \ sen \beta (a - b)$
      -Continuidad $(\psi^+)'$ en $x=+a \Rightarrow$
      $-A \ k \ sen ka = F \beta cos \beta (a-b)$
      -Obsérvese que ha de ser $(\psi^+)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones pares que se obtuvo antes por el camino A:
      $k \ tan \ ka = \beta \ cotan \ \beta (b-a)$ .
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $E > V_o$ , correspondientes a las autofunciones pares.
    5. Expresión de las autofunciones pares $\psi^+_n(x)$ :
      $\psi_n^+(x) = \left\{ \begin{matrix} A_n \ cos\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n sen \beta_n (|x| - b) & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores pares;
      $A_n=F_n \ \frac{sen \beta_n (a - b)}{cos k_na}$
      y $F_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
  5. Soluciones impares para :
    1. Por ser la función impar, ha de tenerse $\psi^-(0)=0 \Rightarrow A=0$ .
    2. La función de onda impar tendrá la expresión general:
      $\psi^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B \ sen\ kx& \mbox{si } 0 \le x \le a \;:\; zona \;\; II \\ F \ sen (\beta x - \delta)& \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } x \ge b \; \end{matrix}\right.$
    3. Imponiendo las condiciones para que la solución sea físicamente aceptable:
      -Anulación $\psi^-$ en $x=b \Rightarrow$
      $0=F$ $sen (\beta b - \delta) \Rightarrow$ , elegimos $\delta=\beta b$
      -Continuidad $\psi^-$ en $x=+a \Rightarrow$
      $B \ sen\ ka =F sen \beta (a - b)$
      -Continuidad $(\psi^-)'$ en $x=+a \Rightarrow$
      $F\beta cos \ ka =F \beta cos \beta (a - b)$
      -Obsérvese que ha de ser $(\psi^-)'$ no nula en $x=+b$ , ya que, caso contrario, el conjunto de condiciones conduciría a la solución trivial.
    4. Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones tercera y segunda, se llega a la misma condición de cuantización para los autovalores de energía correspondientes a las autofunciones impares que se obtuvo antes por el camino A:
      $k \ cotan \ ka = \beta \ cotan \ \beta (a-b)$
      -Las raíces $E_n$ de esta ecuación trascendente constituyen los autovalores de la energía, o puntos espectrales del Hamiltoniano, en el tramo de energía $E > V_o$ , correspondientes a las autofunciones impares.
    5. Expresión de las autofunciones impares $\psi^-_n(x)$ :
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n sen \beta_n (x - b) & \mbox{si } a < x < b \;:\; zona \;\; I \; positiva \\ -F_n sen \beta_n (|x| - b) & \mbox{si } -b < x < -a \;:\; zona \;\; I \; negativa \\0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
      donde
      $k_n=\frac{+\sqrt{2mE_n}}{\hbar}>0$ ; $\beta_n=\frac{+\sqrt{2m(E_n-V_o)}}{\hbar}>0$ ; $E_n$ son los distintos autovalores pares, obtenidos a partir de la resolución de la ecuación de autovalores impares;
      $B_n=F_n \ \frac{sen \beta_n (a - b)}{sen k_na}$
      y $F_n$ es una constante a determinar por normalización de la correspondiente función de onda $\psi^+_n(x)$ .
      -Nota: equivalentemente, se puede expresar:
      $\psi_n^-(x) = \left\{ \begin{matrix} B_n \ sen\ k_nx& \mbox{si } 0 \le |x| \le a \;:\; zona \;\; II \\ F_n sen \beta_n (|x| - b) \cdot \frac{x}{|x|} & \mbox{si } a < |x| < b \;:\; zona \;\; I \\ 0 & \mbox{si } |x| \ge b \; \end{matrix}\right.$
Las siguiente imágenes nos muestran los correspondiente estados ligados, que satisfacen el teorema de Sturm:

Imagen desde: https://www.mathworks.com/examples/matlab/community/22670-eigenstates-of-the-schroedinger-equation
Nota: los resultados para $E >V_o$ se podían haber deducido sin más a partir de los correspondientes a $E<V_o$ : hubiera bastado para ello sustituir el parámetro $\beta$ del cálculo $E<V_o$ por $i \beta$ (es decir: $\beta_{E>V_o} = -i \beta_{E<V_o}$ . Por ejemplo, si partimos de la ecuación de los autovalores pares en el tramo de energías $E<V_o$ ,
$(k \ tan \ ka = \beta \ cotanh \ \beta (b-a))_{E<V_o}$ ,
y realizamos la sustitución indicada, se deriva:
$k \ tan \ ka = i\beta \ cotanh \ i\beta (b-a)$
$= i\beta \ (-i \ cotan \ \beta (b-a))$
$\Rightarrow (k \ tan \ ka = \beta \ cotan \ \beta (b-a))_{E>V_o}$ .
Caso límite: En el límite $a \rightarrow b$ , se obtienen los resultados del pozo cuadrado infinito, como es fácil comprobar. En efecto, por ejemplo, el límite
$\lim_{a \rightarrow b} (k \ tan \ ka = \beta \ cotanh \ \beta (b-a))_{E<V_o}$
proporciona:
$\lim_{a \rightarrow b} (k \ tan \ ka) \rightarrow \beta \ cotanh \ 0 \rightarrow \infty$
$\Rightarrow ka \rightarrow (n + \frac{1}{2}) \pi$ (autovalores de los autoestados pares del pozo infinito).
En el problema estudiado, Hamiltoniano del pozo cuadrado infinito, o caja de paredes impenetrables, resulta por tanto: $\sigma(H)=\sigma_p(H)\subset(0\, ,+\infty)$ : infinitos estados ligados, sin degeneración; se satisface el teorema de oscilación.