Axiomática fundamental

Nota: antes de leer este punto conviene releer el previo: La función de onda \Psi, su ecuación y su interpretación probabilística

Los postulados de la Mecánica Cuántica

  • Algunos postulados fundamentales (se sigue la notación de la referencia [GAL-89]):
    1. Para la descripción mecano-cuántica de un sistema físico se establece una correspondencia del mismo con un espacio de Hilbert \mathscr{H} complejo y separable. Cada estado puro del sistema en un instante t, o estado en el que el sistema ha sido preparado de forma que el conocimiento predictivo sobre el mismo es máximo, se representa por un rayo unidad \left|\Psi(t)\right\rangle_R \subset \mathscr{H}, o conjunto de vectores de norma unidad, integrado por diferentes vectores de estado o kets  \left| \psi(t) \right\rangle \in \mathscr{H} que difieren entre sí únicamente en factores de fase (un factor de fase es un escalar de norma unidad).
      -El que la preparación del sistema en un estado puro sea maximal refiere al hecho de que se ha controlado el mayor número posible de observables compatibles: en el sentido de que la medida del correspondiente número máximo de magnitudes físicas compatibles independientes, sobre una colección de sistemas idénticos en ese mismo estado (puro) en ese instante t , dará con certeza un resultado concreto, conocido, para cada uno; las medidas para los restantes observables sí presentarán dispersión.
      -Nota: la recíproca no es cierta: no siempre los vectores de norma unidad del Hilbert representan un estado puro del sistema, ya que pueden existir reglas de superselección que restrinjan (véase [GAL-89]).Y ello porque, dado un vector del Hilbert combinación lineal arbitrario de otros varios, representativos éstos de estados puros del sistema, no siempre está asegurada la existencia de un C.C.O.C. que posibilite la preparación del sistema en un estado puro asociado a esa combinación lineal. Ejemplo: no se sabe preparar un estado puro superposición de dos estados puros correspondientes a diferentes valores de la carga eléctrica.
    2. Cada observable de un sistema físico, o magnitud física susceptible de ser medida experimentalmente sobre el sistema (la entropía, por ejemplo, no es un observable), se representa en el formalismo matemático de la Mecánica Cuántica mediante un operador lineal autoadjunto que actúa en el espacio de Hilbert \mathscr{H} del sistema físico considerado.
      -Nota: la recíproca no es cierta: no todo operador lineal autoadjunto representa un observable. De la experiencia se infieren una serie de observables que son los que conmutan con todos los observables de cada sistema físico, de manera que pueden integrarse en todo C.C.O.C. Se denominan “observables de superselección” y generan las reglas de superselección (véase [GAL-89], pp. 121-122).
    3. Sobre la medida (nota: se enuncian sólo los postulados para estados puros; para estados mezcla consultar [GAL-89], cap. 2):
      1. El resultado de medir un observable, representado por el operador autoadjunto A, es necesariamente un punto del espectro de A.
        Nota: Recuérdese que el espectro de un operador autoadjunto es siempre real (véase el tema de operadores lineales sobre espacios de Hilbert y su teoría espectral).
      2. Si un sistema físico se encuentra en el estado puro descrito por el ket o vector de estado normalizado |\Psi> \in \mathscr{H} , entonces la probabilidad de que al medir un observable A resulte un valor \lambda \in \mathbb{R} es (cualquier ket del mismo rayo unidad proporciona idénticas probabilidades):
        1. Si el valor pertenece a la parte discreta del espectro del correspondiente operador, \lambda \in \sigma_p(A) , viene dada por:
          P_{A,\Psi}(\lambda \in \sigma_p(A))= \sum_{l=1}^{d_{\lambda}} | \left\langle \psi_{\lambda,l} | \Psi \right\rangle |^2
        2. Si el valor pertenece a la parte continua del espectro, esto es, es un punto interior a un subintervalo (\lambda -\frac{\Delta}{2},\lambda +\frac{\Delta}{2} )\subset \sigma_c(A) , entonces viene dada por:
          P_{A,\Psi}(\lambda \in \sigma_c(A))= \frac{d P_{A,\Psi}(\lambda \in \sigma_c(A);\Delta \lambda)}{d\lambda}
          donde
          P_{A,\Psi}(\lambda \in \sigma_c(A);\Delta \lambda)=\int_{\lambda -\frac{\Delta}{2}}^{\lambda +\frac{\Delta}{2}} \sum_{l=1}^{d_{\lambda}} | \left\langle \psi_{\lambda,l} | \Psi \right\rangle |^2 d\lambda
        3. La probabilidad de obtener un valor \lambda \notin \sigma(A) es nula.

        -En las fórmulas anteriores \{ | \psi_{\lambda , l} > \} representa una base ortonormal del Hilbert integrada por autovectores del observable A :
        A| \psi_{\lambda , l} >=\lambda |\psi_{ \lambda , l} >
        (el índice l da cuenta, en su caso, de la degeneración del autovalor \lambda ).
        -Nota: Recuérdese la descomposición espectral de la identidad:
        I= \sum_{\lambda \in \sigma_p(A)} \sum_{l=1}^{d_\lambda} \left. \left| \psi_{\lambda,l}\right.\right\rangle \left\langle \left. \psi_{\lambda,l} \right| \right.  +\int_{\lambda \in \sigma_c(A)} \sum_{l=1}^{d_\lambda} \ \left. \left| \psi_{\lambda,l}\right.\right\rangle \left\langle \left. \psi_{\lambda,l} \right| \right. \ d\lambda

    4. Sobre los cambios de los estados puros tras las medidas:
      Si un sistema físico se halla preparado en el estado descrito por el ket  |\left.\Psi\right\rangle , de expresión en la correspondiente base de autofunciones del operador A (cuyo espectro suponemos ahora puramente discreto) dada por
      |\Psi> =\sum_{\lambda \in \sigma_p(A)} \sum_{l=1}^{d_\lambda} \left\langle \psi_{\lambda,l} | \Psi \right\rangle |\left.\psi_{\lambda,l}\right\rangle ,
      donde cada |\left.\psi_{\lambda,l}\right\rangle es autoestado del observable A con autovalor \lambda , entonces tras una medida sobre él del observable A con resultado (filtrante) a \in \sigma_p(A) , el sistema pasa al estado descrito por el vector normalizado
      |\left.\Psi'\right\rangle =N\sum_{l=1}^{d_a}\left. \left| \psi_{a,l}\right.\right\rangle \left\langle \left. \psi_{a,l} \right| \right.\Psi> =N\sum_{l=1}^{d_a} c_{a ,l} | \left. \psi_{a,l}\right\rangle .
      -Ejemplo: si a es un autovalor no degenerado del espectro discreto de A , tras una medida filtrante sobre |\left.\Psi\right\rangle con resultado a , el sistema pasaría a ser descrito por el ket  |\left. a \right\rangle=N|\left.a><a|\Psi \right\rangle , siendo N una constante de normalización.
      -El cumplimiento de esta condición resume el concepto de medida ideal sobre un estado puro: la que se atiene a lo postulado.
      -El cambio producido en el estado tras la medida ideal se suele denominar como reducción o colapso de la función de onda, y se trata de un cambio estocástico e irreversible. Una vez producido, en posteriores medidas (ideales) repetidas del observable A sobre el sistema se tiene certeza de obtener siempre el resultado \lambda obtenido la primera vez.
      -Nota: en notación de Dirac y para un observable general A , cuyo espectro no fuera puramente discreto, el anterior desarrollo del ket \left| \left. \,\Psi \right\rangle \right. en la correspondiente base de autofunciones del operador A se expresaría:
      \left| \left. \,\Psi \right\rangle \right. \, =\,\sum_{\lambda \in \sigma_p(A)} \sum_{l=1}^{d_\lambda} \ | \left. \psi_{\lambda,l} \right\rangle \left\langle \psi_{\lambda,l} | \Psi \right\rangle +\int_{\lambda \in \sigma_c(A)} \sum_{l=1}^{d_\lambda} \ | \left. \psi_{\lambda,l} \right\rangle \left\langle \psi_{\lambda,l} | \Psi \right\rangle \ d\lambda
    5. Sobre la evolución temporal de los estados puros entre medidas:
      -Entre dos medidas consecutivas un estado puro sigue siendo estado puro, y en el correspondiente rayo unidad existe un ket o vector estado \psi(t) representativo cuya evolución temporal viene determinada por la ecuación
      i\hbar \frac{d}{dt}\left|\psi(t)\right>= H(t)\left|\psi(t)\right> ,
      denominada ecuación de Schrödinger, donde H(t) representa el observable Hamiltoniano del sistema y \hbar es la constante de Planck h dividida por 2 \pi .
    6. Sobre los observables cuánticos con análogo clásico: Postulado de cuantización canónica:
      -Si en un sistema físico las coordenadas cartesianas de posición son q_1,q_2,\ldots,q_N y p_1,p_2,\ldots,p_N los momentos conjugados correspondientes, entonces los operadores autoadjuntos \hat{q}_i y \hat{p}_i, i=1,\ldots,N, que representan a estos observables en la Mecánica Cuántica, deben satisfacer el conjunto de reglas de conmutación:
      [\hat{q_i},\hat{q_j}]=0 ,
      [\hat{p_i},\hat{p_j}]=0 ,
      [\hat{q_i},\hat{p_j}]=i\,\hbar \delta_{ij}I .
      -Si el sistema tiene un observable cuya expresión clásica es A(q_1,\ldots, q_N,p_1,\ldots,p_N;t) , entonces en las aplicaciones usuales de la Mecánica Cuántica el operador autoadjunto representativo correspondiente \hat{A} se obtiene a partir de la expresión de A , convenientemente simetrizada y sustituyendo en ella las variables q_i y p_i por los operadores \hat{q}_i y \hat{p}_i representativos.

Teoremas

  • Algunos teoremas y resultados(cf. [GAL-89]):
    1. Principio de superposición: dada la estructura lineal del espacio de Hilbert \mathscr{H},  cada superposición de vectores de estado del sistema, \sum_{i} | \psi_i(t) > representa otro estado puro del sistema (en ausencia de reglas de superselección, según notas anteriores).
      -Nota (sobre las reglas de superselección, cf. [GAL-89], pp. 121-122): las reglas de superselección limitan la posibilidad de superponer coherentemente kets del Hilbert con garantía de que dicha combinación lineal, con coeficientes escalares arbitrarios, represente otro estado puro del sistema. En efecto, para ello habría de existir un C.C.O.C. para el que dicho ket superposición fuese autofunción (simultánea de todos sus integrantes). Se acepta que pudieran existir para cada sistema una serie de observables \{Q_i\} , compatibles con todos los restantes observables, de forma que se integrarían en cada C.C.O.C. posible para el sistema. Denominados como operadores de superselección, originan las reglas de superselección: dados dos estados puros del Hilbert, |\Psi_1> y |\Psi_2> , que difieran en alguno de los números cuánticos \{q_i\} correspondientes a los operadores de superselección, entonces no puede existir ningún observable A que satisfaga <\Psi_2|A|\Psi_1> \ne 0 , de forma que ningún vector |\Psi>=\alpha|\Psi_1>+\beta|\Psi_2>\;,\;\alpha \ne 0 \ne \beta , representa un estado puro, ya que esta superposición no puede ser autofunción de los \{Q_i\} . En esta introducción a la Física Cuántica se supondrá siempre coherencia total en cada Hilbert: el principio de superposición se considerará aplicable sin restricciones.
    2. El valor medio o esperado del observable representado por el operador lineal autoadjunto A en el estado normalizado |\psi> (esto es, \left< \psi | \psi \right>=1) se define como la media de los resultados obtenidos al efectuar un gran número n de medidas de este observable en n sistemas idénticos, todos ellos preparados en el mismo estado |\psi> . Es decir: \left< A \right>_{\psi} = \left< \psi \left|A \right| \psi \right> .
      -Este valor esperado es un concepto estadístico: es la media de los resultados obtenidos, y en general no tiene por qué pertenecer siquiera al espectro del operador. Es decir, siendo siempre real, no tiene por qué coincidir con el resultado de una de las medidas realizadas (aunque pueda suceder, en particular); tampoco tiene por qué coincidir con el valor más probable.
      -Si \left. |\psi\right> es normalizable, pero no está normalizado, la expresión para el valor esperado es: \left< A \right>_{\psi} = \frac{\left<\psi \left| A \right| \psi \right>}{\left< \psi | \psi \right>} .
    3. Principio de indeterminación: Dado un sistema físico en un estado caracterizado por el ket \left| \psi \right> , y dados dos observables A y B , entonces \Delta_{ \psi}A \cdot \Delta_{ \psi}B \ge \frac{1}{2} \left|< \psi |[A,B]| \psi > \right| , donde [A,B]=AB-BA es el conmutador de los dos operadores y
      \Delta_{\psi}C=[< \psi|[C-<C>_{\psi}]^2|\psi>]^{\frac{1}{2}}=[<\psi|C^2|\psi> - <\psi|C|\psi>^2]^{\frac{1}{2}}
      representa la desviación típica del conjunto de medidas realizadas sobre una colección de sistemas idénticos entre sí e igualmente preparados en el mismo estado puro \left|\psi \right> , o indeterminación en la medida del observable C sobre el sistema en el estado \left| \psi \right> .
    4. Evolución temporal:
      1. La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial en derivadas parciales, de primer orden en la variable temporal. Consecuentemente, establecida una condición inicial, o valor de la función de onda en un instante inicial t_o , esto es, \Psi(\vec{r};t=t_o)=\Psi_o (| \left.\Psi(t=t_o)\right\rangle =|\left.\Psi_o\right\rangle ), la función \Psi(\vec{r};t) queda determinada \forall t .
      2. Se puede introducir entonces un operador de evolución temporal U(t,t_o) , definido según la ecuación
        |\left. \Psi(t)\right\rangle =U(t,t_o)|\left.\Psi_o\right\rangle
        y que habrá de satisfacer las condiciones:
        U(t_o,t_o)=I
        U(t,t_o)=U(t,t')U(t',t_o)
        U^{-1}(t,t_o)=U(t_o,t)
        U^+(t,t_o)U(t,t_o)=I=U^+(t,t_o)U^{-1}(t_o,t)
        U(t,t_o)=U^{-1}(t_o,t)=U^{+}(t_o,t)
        -O sea: un operador de evolución temporal isométrico, no singular e invertible: un isomorfismo isométrico: unitario.
      3. Ecuación para el operador evolución a partir de la ecuación de Schrödinger para un Hamiltoniano general H(t) :
        i\hbar\frac{\partial |\left.\Psi(t)\right\rangle}{\partial t}=H(t)|\left.\Psi(t)\right\rangle \Rightarrow i\hbar\frac{\partial U(t,t_o)|\left. \Psi_o\right\rangle}{\partial t}=H(t)U(t,t_o)|\left.\Psi_o\right\rangle
        \Rightarrow i\hbar\frac{\partial U(t,t_o)}{\partial t}=H(t)U(t,t_o)
        -A esta ecuación diferencial debe añadirse la condición inicial U(t_o,t_o)=I , que permite obtener la ecuación final general:
        \Rightarrow U(t,t_o)=I-\frac{i}{\hbar}\int_{t_o}^{t} H(t')U(t',t_o)dt'
      4. Cuando el sistema es conservativo, de forma que el Hamiltoniano H no depende explícitamente del tiempo y representa la energía del sistema, si \left|\psi_E(t_0)\right> representa un estado propio del operador H, correspondiente al valor propio E,
        H \left|\psi_E(t_0)\right>=E \left| \psi_E(t_0) \right> ,
        entonces se dice que \left|\psi_E(t_0)\right> es un estado estacionario, y su evolución temporal viene dada por
        \left| \psi_E(t) \right>=e^{-iH(t-t_0)/ \hbar}\left| \psi_E(t_0) \right>=e^{-iE(t-t_0)/ \hbar}\left| \psi_E(t_0) \right> .
      5. Teorema: En un sistema conservativo, la distribución de probabilidad para los resultados de la medida de un observable C \ne C(t) , sin dependencia temporal explícita y constante del movimiento, no presenta dependencia temporal, manteniéndose constante.
        -En efecto, en un sistema conservativo un observable C que sea constante del movimiento y no presente dependencia temporal, C \ne C(t) , necesariamente conmuta con el Hamiltoniano, [C, H] =0 , de forma que ambos son observables compatibles, esto es, pueden formar parte simultáneamente de un C.C.O.C. (conjunto completo de observables compatibles), \{ H,C,A,\ldots \} , que admiten diagonalización simultánea. En otras palabras: es posible tomar una base ortonormal constituida por autofunciones simultáneas de ambos operadores:
        -Sea \{ \left| \left. E,c,a ,\ldots \right\rangle \right. \} dicha base ortonormal común, de forma que cada vector en ella satisface
        H |E,c,a ,\ldots > =E\,|E,c,a ,\ldots >
        C |E,c,a ,\ldots > =c\,|E,c,a ,\ldots >
        A |E,c,a,\ldots > =a\,|E,c,a ,\ldots >
        \cdots
        -La probabilidad de que al medir C sobre | \Psi> se obtenga el resultado c , en el instante t , viene dada por:
        P_{C,\Psi}(c \in \sigma(C);t)= \sum_{E \in \sigma(H)}\sum_{a \in \sigma(A)} \ldots \sum_{\ldots} | \left\langle E,c,a,\ldots | \Psi (t)\right\rangle |^2
        -Análogamente, en el instante t' vendrá dada por
        P_{C,\Psi}(c \in \sigma(C);t')= \sum_{E \in \sigma(H)}\sum_{a \in \sigma(A)}\ldots \sum_{ \ldots}| \left\langle E,c,a,\ldots | \Psi (t')\right\rangle |^2
        = \sum_{E \in \sigma(H)}\sum_{a \in \sigma(A)}\ldots \sum_{ \ldots} | \left\langle E,c,a,\ldots |e^{-iH(t-t')/\hbar}|\Psi (t)\right\rangle |^2
        = \sum_{E \in \sigma(H)}\sum_{a \in \sigma(A)} \ldots \sum_{\ldots} |e^{-iE(t-t')/\hbar} \left\langle E,c,a,\ldots |\Psi (t)\right\rangle |^2
        = P_{C,\Psi}(c \in \sigma(C);t) .
        Nota: la notación se correspondería con la asunción de espectros puramente puntuales (por ejemplo, se correspondería con la normalización por confinamiento para el espectro de energías); las modificaciones para que las fórmulas sean válidas para espectros con parte continua son directas.

El vector de estado \left| \psi (t) \right>

  • El vector de estado \left|\psi (t)\right> y la función de onda en representación de posiciones \psi (\vec{r};t) (cf. [GAL-89]):
    1. Para una sola partícula sin espín, el vector de posición \vec{r} \in \mathbb{R}^3 determina su estado, de forma que una base ortonormal en el espacio está constituída por todos los autovectores simultáneos {\left|\vec{r}\right>} (fases por fijar) de este operador (el espectro de cada r_i es continuo y llena \mathbb{R}).
    2. La función de onda representativa del estado puro \left|\psi (t)\right> en la anterior base ortonormal, o función de onda en representación de posiciones\psi (\vec{r};t), viene dada por \psi (\vec{r};t)=\left\langle \vec{r} \left|\psi(t)\right. \right \rangle \in \mathbb{C} ({\psi (\vec{r};t)=\left \langle \vec{r} \left|\psi(t)\right. \right \rangle } \subset \mathbb{C}).
    3. La densidad de probabilidad \rho(\vec{r};t)d \vec{r}=\left| \psi \vec{r};t) \right|^2d \vec{r} representa la probabilidad de que al medir la posición de la partícula en el instante t se encuentre como resultado su localización en un volumen d \vec{r} alrededor de la posición \vec{r}.
    4. Normalización: \int_{\mathbb{R}^3}\left| \psi( \vec{r};t) \right|^2d \vec{r}=1 .
    5. Dimensiones de \Psi : según la anterior condición de normalización, las dimensiones de la función de onda, en el caso de un sistema compuesto por una sola partícula, deben ser L^{-\frac{3}{2}} , donde L simboliza longitud. En general, la función de onda para un sistema de N partículas, caso d-dimensional, tiene dimensiones L^{-\frac{d\,N}{2}} .
    6. La función de ondas no es en general una función f( \vec{r}) del espacio usual tridimensional: es una función del espacio de configuración,  que resulta ser isomorfo al espacio usual tridimensional sólo en el caso del sistema constituido por una partícula (espín aparte).  En general, para un sistema de N partículas, la función de ondas \Psi( \vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_N) pertenece a un espacio de 3N dimensiones (partículas sin espín).

Observaciones

  • El vector de estado cuántico \left| \psi (t)\right> :
    1. No representa las propiedades del sistema físico.
    2. No es una propiedad del sistema físico.
    3. No representa nuestro conocimiento subjetivo de las propiedades del sistema físico.
    4. Es la herramienta matemática que permite evaluar las distribuciones de probabilidad de los resultados de la medida de todos los observables, las magnitudes físicas medibles sobre el sistema físico a que se asocia. Estas medidas, operaciones experimentales sobre el sistema, en general no revelan en modo alguno valores preexistentes de esos observables, sino que los determinan ellas mismas: “los experimentos no realizados no tienen resultados”. Los observables para los que esto sucede se denominan como “contextuales”, y la mayoría de las magnitudes físicas comunes, como posición, momento, energía, espín, etc., son observables contextuales.
    5. En ese sentido, podría decirse que el vector estado representa una preparación experimental del sistema físico más que a este mismo (véase Lalöe, F.; “Do we really understand quantum mechanics? Strange correlations, paradoxes and theorems”, American Journal of Physics 69 (6), 2001, pp. 658-659).
  • Todo lo anterior forma parte del núcleo de la frecuentemente denominada “interpretación de Copenhague de la Mecánica Cuántica“, la (en denominación más adecuada) “interpretación ortodoxa“.
Función de onda para una partícula bidimensional encerrada en una caja. Las líneas de nivel sobre el plano inferior están relacionadas con la probabilidad de encontrar a la partícula si se mide su localización. (“The quantum wavefunction of a particle in a 2D box of dimensions [latex]L_x[/latex] and [latex]L_y[/latex] . The wavenumbers are: [latex]n_x=1, n_y=2[/latex]“, imagen y descripción procedente de la Wikipedia, by Inductiveload, free GNU licencia).

Referencias

[BOH-89] Bohm, D.;  “Quantum Theory”; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; “Quantum Mechanics”; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; “Mecánica Cuántica”, Eudema, 1989.

[JAM-74] Jammer, M.; “The philosophy of Quantum Mechanics”, Wiley, 1974.

[MEH-82] Mehra,J., Rechenberg,H.; “The Historical Development of Quantum Mechanics”, 6 vol., Springer-Verlag, Nueva York, 1982.

[NEU-91] Neumann, J. von; “Fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica”, CSIC, Raycar, Madrid, 1991.

[SCH-68] Schiff, L.I.; “Quantum Mechanics”; 3º ed., McGraw; 1968.

[WHE-83] Wheeler, J.A. y Zurek,W.H., ed.; “Quantum Theory and measurement”, Princenton Univ., Princeton, 1983.

Páginas complementarias

Bombal, F.; Los modelos matemáticos de la Mecánica Cuántica, La Ciencia en el siglo XX,
Seminario Orotava de Historia de la Ciencia, pp. 115-146, Consej. de Educación del Gobierno de Canarias, 1999.

Lalöe, F.; “Do we really understand quantum mechanics? Strange correlations, paradoxes and theorems”, American Journal of Physics 69 (6), 2001, pp. 658-659.

http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/interpretacion-probabilista-de.html

http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/interpretacion-probabilista-de-ii.html

http://www.fisicafundamental.net/ruptura/postulados.html

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/346-fc0504

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/347-fc0505

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/349-fc0506

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/350-fc0507

APPS

http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/embed_item_3.php?anim_id=7&file_sys=index_phys

http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/embed_item_3.php?anim_id=24&file_sys=index_phys

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/appletsfc

http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/index_phys.php

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/FisicaModerna.htm

http://demonstrations.wolfram.com/topic.html?topic=Quantum+Mechanics

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