Pozos de potencial 3D

Ecuación de Schrödinger para pozos tridimensionales
Nota previa: antes de abordar estos casos 3D conviene tener bien trabajado los monodimensionales, sobre todo las entradas  pozo cuadrado infinito y finito (y, por supuesto, ¡previo a los dos!, el general «Física cuántica no relativista»).

1. Ecuación de Schrödinger tridimensional

  • Consideremos el caso particular de la ecuación de Schrödinger para el siguiente sistema conservativo: una partícula material (no relativista) de masa m y sin espín, moviéndose en el seno de un potencial real V(\vec{r}) (independiente de \vec{p} y de t ); bajo estas condiciones, el Hamiltoniano clásico H\,=\, \frac{\vec{p}^2}{2m}+V(\vec{r})\; es independiente del tiempo y representa la energía total de la partícula, constituyendo una constante del movimiento.
  • La correspondiente ecuación de Schrödinger tiene la siguiente forma:
    i\hbar\frac{\partial \Psi(\vec{r};t)}{\partial t}=H\Psi(\vec{r};t)=[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})] \Psi(\vec{r};t) ,
    ecuación en derivadas parciales de segundo orden que, en los casos en que la forma particular del potencial lo permita, admite resolución por el método de separación de variables, de forma que el problema original tridimensional se reduce a inferior dimensión.
    -Tras la primera separación de variables, espacial y temporal ( V \ne V(t) ),
    \Psi(\vec{r};t)=\psi(\vec{r})\tau(t) ,
    se obtiene la ecuación de Schrödinger para los estados estacionarios de energía, a menudo denominada también como ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
    H\psi_E(\vec{r})=[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})]\psi_E(\vec{r})=E\psi_E(\vec{r}) ,
    cuya expresión es la de una ecuación de autovectores o valores propios:
    H\psi_E(\vec{r})=E\psi_E(\vec{r}) ;
    la función \psi_E(\vec{r}) se denomina función de onda independiente del tiempo.
  • Las funciones de onda de expresión separable \Psi_E(\vec{r};t)=C\,e^{-iEt/\hbar}\ \psi_E(\vec{r}) se denominan estados estacionarios de energía, y representan soluciones de la ES
    i\hbar\frac{\partial \Psi(\vec{r};t)}{\partial t}=H_{op}\Psi(\vec{r};t)
    que en el caso de un sistema conservativo son autofunciones del operador Hamiltoniano, correspondientes a los valores propios E :
    H\,\Psi_E(\vec{r};t)=E\,\Psi_E(\vec{r};t) .
  • Los estados estacionarios de energía satisfacen también la ecuación:
    i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi_E(\vec{r};t)=E\,\Psi_E(\vec{r};t) ,
    de manera que son autofunciones del operador energía i\hbar \frac{\partial}{\partial t} para los valores propios o autovalores E .
    -Nota importante: ¡Los autovalores E son los únicos valores  de energía accesibles o permitidos al sistema como resultados de las medidas de la energía, pero las autofunciones de energía \Psi_E(\vec{r};t) NO son los únicos estados accesibles o posibles para el sistema!
  • En el caso particular de un potencial central, V(\vec{r})=V(r=|\vec{r}|) , situación asociada a la invariancia rotacional, la ecuación es directamente resoluble introduciendo las coordenadas esféricas para proceder a continuación a la separación de variables radial y angulares, obteniéndose la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en coordenadas esféricas:
    H\psi(\vec{r})
    = \, \{-\frac{\hbar^2}{2m}[ \ \frac{1}{r^2 \sin \theta} \{ \sin \theta \, \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \, \frac{\partial}{\partial r}) \, + \, \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \, \frac{\partial}{\partial \theta}) \, + \, \frac{1}{\sin \theta}(\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}) \ ]  \, + \, V(r) \ \} \ \psi(\vec{r})
    = \, \{-\frac{\hbar^2}{2m}[ \ \frac{1}{r^2} \ \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \, \frac{\partial}{\partial r}) \, - \, \frac{\vec{L}^2}{\hbar^2 r^2} \ ] \, + \, V(r) \} \psi(\vec{r})
    = \, E \ \psi(\vec{r})
  • A continuación, se procede a separar las variables radiales de las angulares,
    \psi(\vec{r})\, = \, R(r) \ Y(\Omega) ,
    de donde se deriva la ES para la función radial,
    \Rightarrow \, \{ -\frac{\hbar^2}{2m} \, [ \ \frac{d^2}{d r^2} \, + \, \frac{2}{r} \ \frac{d }{d r} \, - \frac{l(l+1)}{r^2} \ ] \, + \, V(r) \ \} \, R_{El}(r) \, = \,E \, R_{El}(r) .
    Un ulterior cambio de función incógnita,
    R_{El}(r)=\frac{1}{r} \ u_{El}(r) ,
    conduce a la ecuación radial reducida en onda parcial l ,
    \{ -\frac{\hbar^2}{2m} [\ \frac{d^2}{d r^2} \, - \, \frac{l(l+1)}{r^2} \ ] \, + \, V(r) \ \} \, u_{El}(r) \, = \,E \, u_{El}(r)
    \equiv \, H_l u_{El}(r) \, = \, \{ -\frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{d^2}{d r^2} \,+ \, V_{ef_l}(r) \ \} \ u_{El}(r)\, = \,E \, u_{El}(r) ,
    donde se ha introducido un potencial efectivo de onda l ,
    V_{ef_l}(r) \,= \, \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{l(l+1)}{r^2} \, + \, V(r) \quad , \; l=0,1,2\ldots .
    El término adicional al potencial V(r) se denomina «barrera centrífuga», constituyendo un potencial repulsivo que se suma al original.
  • Por lo tanto, para los distintos sistema físicos se plantea resolver el problema de hallar los autoestados del potencial efectivo tridimensional V_{ef_l} , que debe ser definido según:
    V_{ef_l}(r) \,= \, \left\{ \begin{array}{l} \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{l(l+1)}{r^2} \, + \, V(r) \quad r >0 \\  \infty \quad r \le 0 \end{array} \right. \; , \; l=0,1,2\ldots ,
    con las condiciones de integrabilidad y regularidad (anulación en el origen) para los estados ligados; para los estados de difusión cambiará la normalización y, a menudo, también bastará exigir u_{El} finita en el origen, aunque muchas veces se tendrá su anulación.

2. El pozo cuadrado tridimensional central finito

  • Sea el potencial de pozo cuadrado central (esféricamente simétrico) finito definido según:
    V(r)=\left\{ \begin{array}{l} -V_0 \quad 0 \le r \le a \\ 0 \quad r >a \end{array} \right. ; \quad V_0>0 \,  , \, a>0 ,
    esto es, nulo en el exterior de una esfera de radio a y con valor igual a una constante negativa en su interior, al que corresponde el potencial efectivo de onda parcial l :
    V_{ef_l}(r) \,= \, \left\{ \begin{array}{l} \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{l(l+1)}{r^2} \, - \, V_0 \quad 0 \le r \le a \\ \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{l(l+1)}{r^2}   \quad  r >a  \end{array} \right. \; , \; l=0,1,2\ldots
    un potencial para el que:
    V_+=\lim_{r \rightarrow \infty} V_{efl}(r) =0 .
    V_{efl}(r)|_{min}\equiv V_{efmin(l)}=-[|V_0| - \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{l(l+1)}{a^2}] \quad , \quad |V_{efmin}| \le |V_0| ,
    de manera que no existirán estados ligados cuando, para todos los valores l ,
    0 < V_0 \le \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{l(l+1)}{a^2} .

    -Los estados ligados de onda l, en efecto, de existir serán puntos discretos del intervalo real entre el valor -|V_{efmin(l)}| y el valor V_+=0 ; el estado fundamental, de existir, será una onda s, esféricamente simétrico.

    Pozo cuadrado central o esféricamente simétrico. Si el valor mínimo $latex -V_0$ se desplaza en una cantidad constante , $latex -V_0 + \lambda$ , las autofunciones no cambian, ocurriendo tan sólo un desplazamiento constante, de valor $latex \lambda$ , en los autovalores de energía.
    Pozo cuadrado central o esféricamente simétrico. Si el valor mínimo -V_0 se desplaza en una cantidad constante , -V_0 + \lambda , las autofunciones no cambian, ocurriendo tan sólo un desplazamiento constante, de valor \lambda , en los autovalores de energía.

    Potencial efectivo para algunas ondas parciales
    Aspecto del potencial efectivo, en unidades \frac{\hbar^2}{2ma^2} , para algunas ondas parciales (ejemplo general, \beta^2 \equiv V_0 y \mu=m ) (imagen en referencia [BER-18], https://doi.org/10.1007/978-3-319-68598-4_10) .
  • Expresada la función de ondas como
    \psi_{Elm}=R_{El}(r)Y_{lm}(\Omega)=\frac{1}{r}u_{El}(r)Y_{lm}(\Omega) ,
    las ecuaciones radial y reducida son:
    \left. \begin{array}{l} \{ -\frac{\hbar^2}{2m} \, [ \ \frac{d^2}{d r^2} \, + \, \frac{2}{r} \ \frac{d }{d r} \, - \frac{l(l+1)}{r^2} \ ] \, - \, V_0 \ \} \, R_{El}(r) \, = \,E \, R_{El}(r) \quad 0 \le r \le a \\ \{ -\frac{\hbar^2}{2m} \, [ \ \frac{d^2}{d r^2} \, + \, \frac{2}{r} \ \frac{d }{d r} \, - \frac{l(l+1)}{r^2} \ ] \} \, R_{El}(r) \, = \,E \, R_{El}(r)\quad r >a \end{array} \right\}
    \left. \begin{array}{l} \{ -\frac{\hbar^2}{2m} [\ \frac{d^2}{d r^2} \, - \, \frac{l(l+1)}{r^2} \ ] \, - \, V_0 \ \} \, u_{El}(r) \, = \,E \, u_{El}(r) \quad 0 \le r \le a \\ \{ -\frac{\hbar^2}{2m} [\ \frac{d^2}{d r^2} \, - \, \frac{l(l+1)}{r^2} \ ] \ \} \, u_{El}(r) \, = \,E \, u_{El}(r) \quad r >a \end{array} \right\}
    \equiv \, H_l u_{El}(r) \, = \, \{ -\frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{d^2}{d r^2} \,+ \, V_{ef_l}(r) \ \} \ u_{El}(r)\, = \,E \, u_{El}(r) ;
    las soluciones buscadas han de satisfacer la condición de regularidad,
    u_{El}(0)\, = \, 0 \, , \, \forall l ,
    con u_{El}(r) \ \xrightarrow{r\rightarrow 0} \ 0 más rápido que r\xrightarrow{r\rightarrow 0} \ 0 , ya que R_{El}(r)=u(r)_{El} /r debe ser continua (finita) en el origen para todos los valores l ; adicionalmente, los estados ligados (no así los estados de difusión) han de de cumplir también la condición de integrabilidad:
    \int_0^{\infty} \ |u_{El} |^2 \ dr \, = \, 1 .
  • Obtención de los estados ligados : intervalo energético -V_{0} < E \le 0 :
    1. Región 0 \le r \le a e intervalo energético -V_{0} < E < 0 :
      -Ecuación radial:
      \{ -\frac{\hbar^2}{2m} \, [ \ \frac{d^2}{d r^2} \, + \, \frac{2}{r} \ \frac{d }{d r} \, - \frac{l(l+1)}{r^2} \ ] \, - \, V_0 \ \} \, R_{El}(r) \, = \,E \, R_{El}(r)
      -Se realiza el cambio de variable independiente:
      \rho=k r \quad , \quad k=\frac{+\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}=\frac{+\sqrt{2m(|V_0|-|E|)}}{\hbar}>0 \, , \,   \in \mathbb{R} ,
      mediante el cual la anterior ecuación se convierte en la ecuación diferencial esférica de Bessel,
      [ \ \frac{d^2}{d \rho^2} \, + \, \frac{2}{\rho} \ \frac{d }{d \rho} \,+\, (1 \ - \ \frac{l(l+1)}{\rho^2}) \ ] \, R_{El}(\rho)=0 ,
      ecuación de soluciones bien conocidas: las funciones esféricas de Bessel (de primera especie) j_l(\rho=kr) , y de segunda especie o funciones esféricas de Neumann, n_l(\rho=kr) \equiv y_l(\rho=kr) .
      -En terminos de ellas, la solución general de la EDO se expresa:
      R_{El}(\rho)\, = \, C_1 \ j_l(\rho=kr) \, + \, C_2 \ n_l(\rho=kr) ,
      donde C_1, C_2 son constantes arbitrarias.
      -La función esférica de Neumann n_l(\rho) posee un polo de orden l+1 en el origen, por lo que la función radial reducida no es analítica en el origen:
      n_l(\rho) \ \xrightarrow{\rho \rightarrow 0} \ -\frac{(2l-1)!!}{\rho^{l+1}} \Rightarrow \lim_{\rho \rightarrow 0}u_{El}(\rho)=\lim_{\rho \rightarrow 0} \rho \ n_{l}(\rho)=\lim_{\rho \rightarrow 0} \ -\frac{(2l-1)!!}{\rho^{l}} .
      -Por el contrario, la solución particular función esférica de Bessel de primer orden sí proporciona una solución analítica en el origen:
      j_l(\rho) \ \xrightarrow{\rho \rightarrow 0} \ \frac{\rho^{l}}{(2l+1)!!} \Rightarrow \lim_{\rho \rightarrow  0}u_{El}(\rho)=\lim_{\rho \rightarrow 0} \rho \ j_{l}(\rho)=\lim_{\rho \rightarrow 0} \ \frac{\rho^{l+1}}{(2l-1)!!}
      -Por tanto, la parte radial de la onda parcial l solución de la ES para valores de energía -V_{0} < E < 0 y que cumple las condiciones de contorno requeridas, toma la expresión final:
      R_{El}(r) \, = \, C_1 \ j_l(kr)\, , \, 0 \le r \le a ,
      k=\frac{+\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar} .
    2. Región r >a e intervalo energético -V_{0} < E < 0 :
      -se realiza el cambio de variable independiente:
      \rho=i \lambda r \quad , \quad \lambda =\frac{+\sqrt{-2mE}}{\hbar}=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar}>0 \, , \, \lambda \in \mathbb{R}
      mediante el cual la anterior ecuación se convierte en la ecuación diferencial esférica de Bessel,
      [ \ \frac{d^2}{d \rho^2} \, + \, \frac{2}{\rho} \ \frac{d }{d \rho} \,+\, (1 \ - \ \frac{l(l+1)}{\rho^2}) \ ] \, R_{El}(\rho)=0 ,
      ecuación de soluciones bien conocidas: las funciones esféricas de Bessel (de primera especie) j_l(\rho) , y de segunda especie o funciones esféricas de Neumann, n_l(\rho) \equiv y_l(\rho) , o, también, las funciones esféricas de Bessel de tercera clase, o funciones esféricas de Hankel de primera y segunda especie, h_l^{(1)}(z)= j_l(z) +in_l(z) y h_l^{(2)}(z)= j_l(z) -in_l(z) , respectivamente.
      -En terminos de ellas, la solución general de la EDO se expresa:
      R_{El}(\rho)\, = \, C_1' \ j_l(\rho) \, + \, C_2' \ n_l(\rho) ,
      o, alternativamente,
      R_{El}(\rho)\, = \, A \ h_l^{(1)}(\rho) \, + \, B \ h_l^{(2)}(\rho) ,
      donde C_1', C_2', A, B son constantes arbitrarias.
      -El intervalo de valores considerado ahora no contiene al origen, de forma que por su comportamiento en r=0 todos estos tipos de soluciones particulares serían en principio aceptables, pero puesto que las largas distancias corresponden a valores r >a la combinación lineal ha de proporcionar soluciones acotadas a largas distancias. En este límite (r\rightarrow \infty \ , \ \rho=i\lambda r \ , \ \lambda > 0 ) se tienen los siguientes comportamientos asintóticos:
      \lim_{r \rightarrow \infty } j_l(\rho) = \lim_{r \rightarrow \infty } \frac{1}{\rho}\cos[\rho -\frac{(l+1)\pi}{2}] = \lim_{r \rightarrow \infty } \frac{-1}{2 \lambda r} [ e^{-\lambda r -i\frac{(l+1)\pi}{2}}-e^{  \lambda r + i\frac{(l+1)\pi}{2}} ] \rightarrow \infty
      \lim_{r \rightarrow \infty } n_l(\rho) = \lim_{r \rightarrow \infty } \frac{1}{\rho}\sin[\rho -\frac{(l+1)\pi}{2}] = \lim_{r \rightarrow \infty } \frac{-i}{ \lambda r} \sin [i\lambda r -\frac{(l+1)\pi}{2} ] \rightarrow \infty
      \lim_{r \rightarrow \infty } h_l^{(1)}(\rho) = \lim_{r \rightarrow \infty } \frac{1}{\rho}e^{[i\rho -\frac{(l+1)\pi}{2}]} =\lim_{r \rightarrow \infty } \frac{-i}{\lambda r}e^{[-\lambda r -i\frac{(l+1)\pi}{2}]} \rightarrow 0
      \lim_{r \rightarrow \infty } h_l^{(2)}(\rho) = \lim_{r \rightarrow \infty } \frac{1}{\rho}e^{-i[\rho -\frac{(l+1)\pi}{2}]} = \lim_{r \rightarrow \infty } \frac{-i}{\lambda r}e^{[\lambda r + i\frac{(l+1)\pi}{2}]} \rightarrow \infty
      \Rightarrow R_{El}(\rho =i \lambda r )\, = \,A \ h_l^{(1)}(\rho )\, = \,A \ (j_l(\rho) +in_l(\rho)) \, , \, r >a
    3. Por tanto, la onda parcial l solución de la ES, autofunción simultánea de los operadores \{ H,\vec{L}^2,L_z \} para valores de energía -V_{0} < E < 0 y que cumple las condiciones de contorno requeridas, toma la expresión final:
      \psi_{Elm}(\vec{r})\, = \, R_{El}(r) \ Y_{lm}(\Omega) ,
      donde
      R_{El}(r)\, = \left. \begin{array}{l} C_1 \ j_l(kr) \quad 0 \le r \le a\\  = \, A \ h_l^{(1)}(i\lambda r) \quad r > a \end{array} \right\} ,
      k=\frac{+\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}>0 \, , \, k \in \mathbb{R} ,
      \lambda =\frac{+\sqrt{-2mE}}{\hbar}=\frac{+\sqrt{2m|E|}}{\hbar}>0 \, , \, \lambda \in \mathbb{R} ,
      función que ha de ser analítica en el punto de empalme r=a .
      -Estas autofunciones se denominan «ondas l ligadas».
    4. El paso siguiente en la resolución es la conexión adecuada entre las dos zonas, para lo que se impone la continuidad de la función radial y su primera derivada en el punto r=a , condición que permitirá obtener los estados ligados, en su caso:
      \left. \begin{array}{l} C_1 \ j_l(ka)\, = \,B \ h_l^{(1)}(i \lambda a) \\  C_1 \ \frac{d j_l(kr)}{dr}|_{r=a}\, = \, B \ \frac{d h_l^{(1)}(i\lambda r)}{dr}|_{r=a} \end{array} \right\} \Rightarrow C_1 \ \frac{d [ln j_l(kr)]}{dr}|_{r=a}\, = \, B \ \frac{d [ln h_l^{(1)]}(i\lambda r)}{dr}|_{r=a} .
      -Empleando las relaciones de recurrencia
      j_l'(z)=-j_{l+1}(z)+\frac{l}{z}j_l(z)
      h_l^{(1)} \ ' (z)=-h_{l+1}^{(1)}(z) + \frac{l}{z} h_l^{(1)}(z)
      se obtiene:
      \left. \begin{array}{l} z_1=kr \, , \, \frac{d}{dr}=\frac{d}{z_1} \frac{dz_1}{dr} =k \frac{d}{dr} \\  z_2=i \lambda r \, , \, \frac{d}{dr}=\frac{d}{z_2} \frac{dz_2}{dr} =i \lambda \frac{d}{dr} \end{array} \right\} \Rightarrow k \ \frac{ j_l ' (z_1)}{j_l(z_1)}\, = \, i \lambda \ \frac{ h_l^{(1)} \ ' (z_2)}{h_l^{(1)}(z_2)}
      \Rightarrow k \ ( \frac{ -j_{l+1}(z_1)}{j_l(z_1)} \, + \, \frac{l}{z_1} )\, = \, i \lambda \ ( - \frac{ h_{l+1}^{(1)} (z_2)}{h_l^{(1)}(z_2)} \, + \, \frac{l}{z_2} )
      \Rightarrow k \ \frac{ j_{l+1}(k r)}{j_l(k r)} |_{r=a} \, = \, i \lambda \ \frac{ h_{l+1}^{(1)} (i \lambda r)}{h_l^{(1)}(i \lambda r )} |_{r=a} ,
      ecuación que proporciona los autovalores de energía ligados y que, en general y para onda parcial l arbitraria, necesita resolución numérica.
    5. Los primeros autovalores de energía, para las primeras ondas parciales, resultan:
      1. Onda parcial s (valor l=0 ):
        l=0 \Rightarrow k \ \frac{ j_{1}(k r)}{j_0(k r)} |_{r=a} \, = \, i \lambda \ \frac{ h_{1}^{(1)} (i \lambda r)}{h_0^{(1)}(i \lambda r )} |_{r=a}
        \Rightarrow k\frac{kr}{\sin kr} [\frac{1}{k^2 r^2} - \frac{\cos kr}{kr}] |_{r=a} \, = \, -i \lambda i \frac{i \lambda r}{e^{-\lambda r}}[\frac{\sin kr}{i \lambda r} + \frac{i}{- \lambda^2 r^2}]e^{-\lambda r} |_{r=a}
        \Rightarrow k^2 r [ \frac{1}{k^2r^2} - \frac{ \cot kr}{kr} ] |_{r=a} \, = \, i \lambda ^2 r [\frac{1}{i \lambda r} - \frac{i}{\lambda^2 r^2} ] |_{r=a}
        \Rightarrow k \ \cot \ ka \, = \, -\lambda ,
        una ecuación trascendente que ya se obtuvo y analizó en el caso de las soluciones impares para el pozo cuadrado finito monodimensional (donde \alpha \equiv k y \beta \equiv \lambda ) .
        -Parámetros para la resolución gráfica: una posibilidad (existen varias, véase el caso monodimensional) para la resolución gráfica de las anterior ecuación trascendente es dibujar la circunferencia de radio
        z_o=\frac{a\sqrt{2m|V_o|}}{\hbar} , el denominado «parámetro de intensidad o fuerza» del pozo, esto es, la curva
        (k^2 a^2 + \lambda^2 a^2)=z_o^2  ,
        y localizar los puntos de corte con la curva g(z) :
        g(z)=-\cot (ka) ,
        donde
        z=k a=\frac{a}{\hbar}\sqrt{2m(|V_o|-|E|)}
        y
        z_o^2=\frac{a^2 2m|V_o|}{\hbar^2} ,
        cumpliéndose
        (k^2 + \lambda^2)\hbar^2 =2mV_o =z_o^2\hbar^2/a^2 .
        -En la referencia de libre acceso
        https://bingweb.binghamton.edu/~suzuki/QuantumMechanicsII/5-4_Finite_spherical_well.pdf
        se estudia detalladamente este potencial, en el caso del deuterón (núcleo del deuterio, ^+H^2 , compuesto de un neutrón y un protón); ahí puede encontrarse la siguiente figura (z_0 \equiv r_0) :

        Estados ligados onda s en el deuterón
        Estados ligados onda s en el deuterón (z_0 \equiv r_0 ).

        -Obsérvese que en este caso, el tridimensional, a diferencia de lo que ocurría en el unidimensional, puede no existir un estado ligado en onda s: si
        0 < z_0^2=\frac{2m|V_o|a^2}{\hbar^2} \le \frac{\pi^2}{4} ,
        entonces no existe ningún punto de corte entre las dos curvas.
        -Por lo mismo, existirá un único estado ligado en onda s cuando
        \frac{\pi^2}{4} < z_0^2=\frac{2m|V_o|a^2}{\hbar^2} \le \frac{9\pi^2}{4} ;
        dos estados ligados en onda s cuando
        \frac{9\pi^2}{4} < z_0^2=\frac{2m|V_o|a^2}{\hbar^2} \le \frac{25\pi^2}{4} ,
        y así sucesivamente.

      2. Onda parcial p (valor l=1 ):
        l=1 \Rightarrow k \ \frac{ j_{1}(k r)}{j_0(k r)} |_{r=a} \, = \, i \lambda \ \frac{ h_{2}^{(1)} (i \lambda r)}{h_1^{(1)}(i \lambda r )} |_{r=a}
        \Rightarrow [ \frac{\cot \ kr}{kr} - \frac{ 1}{k^2r^2} ] |_{r=a} \, = \,  \frac{1}{\lambda r}   + \frac{1}{\lambda^2 r^2} ] |_{r=a} ,
        una ecuación trascendente a resolver numérica o gráficamente.
        -Es posible (consúltese la referencia dada) predecir el número de estados ligados en onda p como función del parámetro z_0=\frac{2m|V_o|a^2}{\hbar^2} sin resolver la ecuación trascendente:
        -No existirá un estado ligado en onda p cuando
        0 < z_0^2=\frac{2m|V_o|a^2}{\hbar^2} \le \pi^2 ,
        -Por lo mismo, existirá un único estado ligado en onda p cuando
        \pi^2 < z_0^2=z_0=\frac{2m|V_o|a^2}{\hbar^2} \le 4\pi^2 ;
        dos estados ligados en onda p cuando
        4\pi^2 < z_0^2=\frac{2m|V_o|a^2}{\hbar^2} \le 9\pi^2 ,
        y así sucesivamente.

  • El mínimo valor de z_0 que permite un estado ligado l=1 , z_0 > \pi , es mayor que el mínimo valor de z_0 que permite un estado ligado l=0 , z_0 > \frac{\pi}{2} . Conforme l aumenta, también crece el valor mínimo de z_0 que permite un estado ligado l , un resultado esperable por la presencia de la barrera centrífuga en el potencial efectivo; de hecho, para valores del número cuántico l suficientemente grandes, no existirán estados ligados:
    No existen estados ligados (en ondas l) cuando z_o^2=\frac{2m|V_o|a^2}{\hbar^2} > l(l+1) \Leftrightarrow |V_0| \le \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{l(l+1)}{a^2} ,
    a diferencia de lo que sucede en el pozo clásico.
    -Si existen estados ligados, el estado fundamental es una onda s.
  • Otros resultados (véase referencia [GAL-78]pp. 291-293):
    -El número de estados ligados en onda s viene dado por N_s=Ent \ [\frac{1}{2} + \frac{a |V_0|^{\frac{1}{2}}a}{\pi}] ,
    donde Ent \ [x] significa el mayor entero menor que x.
    -Para onda s no hay estados ligados de energía nula, E=0 .
    -Existe un estado ligado de energía nula l > 0 sólo si j_{l-1}(|V_0|^{\frac{1}{2}}a)=0 , autoestado que, aunque es de cuadrado integrable, no presenta el decaimiento exponencial típco de los restantes estados ligados.
  • En resumen, en la resolución se han presentado dos casos:
    a) |V_0| -\frac{\hbar^2 l (l+1)}{2ma^2} \le 0 \Rightarrow |V_0| \le \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2 m a^2}
    No existen estados ligados, sólo estados de difusión, correspondientes a valores E>0 , integrando la parte continua del espectro, \sigma_c(H)=(0,\infty) , con autofunciones que presentan conducta oscilatoria a largas distancias y satisfacen la condición de regularidad pero no así la condición de integrabilidad.
    b) |V_0| -\frac{\hbar^2 l (l+1)}{2ma^2} > 0 \Rightarrow |V_0| > \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2 m a^2}
    -Se presentan tanto estados de difusión, para E>0 , como estados ligados en onda l, con autovalores discretos para cada tipo de onda l comprendidos entre el valor -|V_{efmin(l)}|=-[|V_0|-\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2 m a^2}] (no incluido) y el valor V_+=0 , constituyendo la parte discreta del espectro, \sigma_p(H) \subset (-|V_{0}| ,0] , con autofunciones que satisfacen tanto la condición de regularidad como la de integrabilidad.
    -A diferencia de lo que sucede en los casos caso monodimensional y bidimensional, donde hay siempre al menos un estado ligado, en tres dimensiones un pozo si es demasiado estrecho o poco profundo, o ambas cosas, carece de estados ligados. Además, los estados ligados en el caso tridimensional sí pueden presentar degeneración.

2. El pozo cuadrado tridimensional central infinito

  • Sea el potencial de pozo cuadrado central (esféricamente simétrico) finito definido según:
    V(r)=\left\{ \begin{array}{l} 0 \quad 0 \le r \le a \\ \infty \quad r >a \end{array} \right. \;  , \, a>0 ,
    esto es, nulo sobre y en el interior de una esfera de radio a y con valor repulsivo infinito en su exterior; el potencial efectivo de onda parcial l toma la expresión:
    V_{ef_l}(r) \,= \, \left\{ \begin{array}{l} \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{l(l+1)}{r^2}  \quad 0 \le r \le a \\  \infty  \quad  r >a  \end{array} \right. \; , \; l=0,1,2\ldots ,
    un potencial para el que:
    V_+ =\lim_{r \rightarrow \infty}  V_{ef_l}(r) \,= \, \infty  \, , \, \forall l
    V_{efl}(r)|_{min}\equiv V_{efmin(l)}= \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{l(l+1)}{a^2} .
    -Para este pozo, las energías de los estados ligados en onda l, en número infinito, estarán comprendidas en el intervalo de energia (0,+\infty) (comparando con el caso finito anterior, correspondería a un fondo del pozo en V_0=0 y una profundidad infinita). 
    Aspecto del potencial efectivo en un pozo central infinito, en unidades $latex \frac{\hbar^2}{2ma^2}$ , para algunas ondas parciales
    Aspecto del potencial efectivo, en unidades \frac{\hbar^2}{2ma^2} , para algunas ondas parciales (\mu=m ) (imagen en referencia [BER-18], https://doi.org/10.1007/978-3-319-68598-4_10) .
  • Es evidente que en la zona exterior de la esfera ha de imponerse la condición de contorno
    R_{El}=0 \quad \forall r > a ;
    mientras que la ecuación para la función radial en la zona 0 \le r \le a toma la forma
    -\frac{\hbar^2}{2m} \, [ \ \frac{d^2}{d r^2} \, + \, \frac{2}{r} \ \frac{d }{d r} \, - \frac{l(l+1)}{r^2} \ ] \ R_{El}(r) \, = \,E \ R_{El}(r) \quad 0 \le r \le a .
  • Resolución: estados ligados E>0 :
    1. Onda s:
      -En este caso, la ecuación radial reducida es
      -\frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{d^2}{d r^2} \ u_{E0}(r) \, = \,E \, u_{E0}(r) \Rightarrow \frac{d^2}{d r^2} \ u_{E0}(r) \, + \, \frac{2m}{\hbar^2} \ E \, u_{E0}(r) \, = \, 0 \; , \; 0 \le r \le a .
      -Recordando que la EDO lineal homogénea u'' + k^2u=0 \, , \, k \in \mathbb{R} \, , \, k>0 tiene por solución general la combinación lineal de soluciones particulares:
      u(r)=C_1 \ e^{+ikr} + C_2\ e^{-ikr}=C_1' \ cos\ kr + C_2'\ sen \ kr
      con C_1,C_2,C_1',C_2' escalares arbitrarios,
      es directo obtener la solución general para valores E>0 :
      u_{E0}(r) \, = \,=C'_1 \ cos\ kr + C'_2\ sen \ kr \quad , \quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \; , \; k > 0 \, , \, k \in \mathbb{R} .
      -Puesto que la solución ha de anularse en el origen, condición de regularidad, finalmente se obtiene la autofunción reducida en onda s de expresión:
      u_{E0}(r) \, = \, C_2' \ \sin \ kr ,
      k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0 \, , \, k \in \mathbb{R} .
      -La condición de anulación en r=a proporciona a continuación la ecuación para los correspondientes autovalores de energía:
      u_{E0}(r=a) = 0 \Rightarrow k \equiv k_{ns} \, = \, \frac{n\pi}{a} \; , \; n=1,2,3\ldots .
      -Por tanto, las ondas parciales s solución de la ES que cumplen todas las condiciones de contorno requeridas toman la expresión final:
      \Rightarrow \psi_{E_{ns}00}(\vec{r})\, = \, R_{n0}(r) \ Y_{00}(\Omega) \quad , \quad n=1,2\ldots ,
      donde
      R_{n0}(r)\, = \left. \begin{array}{l} C_2' \ \frac{sen \ k_{ns}r}{r} = C_2' \ k_{ns} \ j_0(k_{ns}r) \quad 0 \le r \le a\\  0 \quad r \ge a \end{array} \right\} ,
      cuyo correspondiente autovalor es:
      E_{ns}=\frac{\hbar^2k_{ns}^2}{2m} \, = \,\frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2ma^2} ,
      o, de forma equivalente,
      E_{ns}=\frac{\hbar^2x_{ns}^2}{2ma^2} ,
      donde x_{ns} representa el n-ésimo cero de la función esférica de Bessel de primera especie j_0(x) .
      -La constante de normalización C_2' toma el valor:
      \int_0^{\infty} \ |R_{n0}(r)|^2 \ r^2dr \,=\, \int_0^a \ |C_2' \ sen \ k_{ns}r (r)|^2 \ dr\,=\,1 \Rightarrow C_2'=\frac{2}{a} .
    2. Ondas l >0 :
      -\frac{\hbar^2}{2m} \, [ \ \frac{d^2}{d r^2} \, + \, \frac{2}{r} \ \frac{d }{d r} \, - \frac{l(l+1)}{r^2} \ ] \ R_{El}(r) \, = \,E \ R_{El}(r) \quad 0 \le r \le a
      [ \frac{d^2}{d r^2} \, + \, \frac{2}{r} \ \frac{d }{d r} \, - \frac{l(l+1)}{r^2} \, + \, \frac{2m}{\hbar^2} \ E\ ] \ R_{El}(r) \, = \,0 \ \quad 0 \le r \le a
      -Se realiza el cambio de variable independiente:
      \rho=k r \quad , \quad k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0 \, , \,   \in \mathbb{R} ,
      mediante el cual la anterior ecuación se convierte en la ecuación diferencial esférica de Bessel,
      [ \ \frac{d^2}{d \rho^2} \, + \, \frac{2}{\rho} \ \frac{d }{d \rho} \,+\, (1 \ - \ \frac{l(l+1)}{\rho^2}) \ ] \, R_{El}(\rho)=0 ,
      ecuación de soluciones bien conocidas: las funciones esféricas de Bessel (de primera especie) j_l(\rho=kr) , y de segunda especie o funciones esféricas de Neumann, n_l(\rho=kr) \equiv y_l(\rho=kr) .
      -En terminos de ellas, la solución general de la EDO se expresa:
      R_{El}(\rho)\, = \, C_1 \ j_l(\rho=kr) \, + \, C_2 \ n_l(\rho=kr) ,
      donde C_1, C_2 son constantes arbitrarias.
      -Imponiendo la condición de regularidad en el origen, se descarta la solución particular n_l(r) \xrightarrow{r \rightarrow 0} r^{-l-1} , de donde se concluye
      R_{nl}(r)\, = \left. \begin{array}{l} C_1 \ j_l(kr) \quad 0 \le r \le a\\  0 \quad r > a \end{array} \right\} .
      -Para determinar los autovalores se impone la condición de frontera de anulación de la función de onda en r=a , de donde se deriva la ecuación cuyas raíces los proporcionan:
      R_{nl}(a)=0 \Rightarrow j_l(kr)=0 ,
      una ecuación a resolver numéricamente, y cuyas soluciones se expresan por tanto en términos de los ceros x_{nl} \, , \, n=1,2\ldots de la función esférica de Bessel de primera especie j_l(x) .
      Nota: cf. [ABR]cap.9, p. 440: Los ceros de las funciones esféricas de Bessel j_n(x) e y_n(x) coinciden con los de las funciones de Bessel de primera especie J_{n+\frac{1}{2}}(x) y de segunda especie Y_{n+\frac{1}{2}}(x) , respectivamente.
      -Por tanto, la onda parcial l solución de la ES, autofunción simultánea de los operadores \{ H,\vec{L}^2,L_z \} para valores de energía ligados E < 0 y que cumple las condiciones de contorno requeridas, toma la expresión final:
      \psi_{E_{nl}lm}(\vec{r})\, = \, R_{nl}(r) \ Y_{lm}(\Omega) ,
      donde
      R_{El}(r)\, = \left. \begin{array}{l} C_{nl} \ j_l(kr) \quad 0 \le r \le a\\  0 \quad r \ge a \end{array} \right\} ,
      k=\frac{+\sqrt{2mE}}{\hbar}>0 \, , \, k \in \mathbb{R} ,
      cuyo correspondiente autovalor es:
      E_{nl}=\frac{\hbar^2x_{ns}^2}{2ma^2} ,
      donde x_{nl} representa el n-ésimo cero de la función esférica de Bessel de primera especie j_l(x) .
      -Estas autofunciones se denominan «ondas l ligadas».
    3. Las siguientes figuras y tabla muestran las primeras funciones esféricas de Bessel y sus ceros:

      Ceros de las primeras funciones esféricas de Bessel
      Expresiones, gráficas y ceros de las primeras funciones esféricas de Bessel (https://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/Quantum/node81.html).
    4. El pozo infinito posee pues infinitos estados ligados; además, todos ellos, salvo el estado fundamental, que es la onda s, son degenerados: la energía no depende del número cuántico magnético m, que posee 2l+1 valores para cada onda l . Su ordenación energética se indica en la siguiente figura:

      Estados ligados de un pozo infinito 3D
      Estados ligados de un pozo infinito 3D (imagen: Bound states in 1d, 2d and 3d quantum wells, by A. Aslam & M. Vasu).

Referencias

[ABR-65] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds.;  “Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables”; Dover; New York, 1965; ISBN 978-0-486-61272-0.

[BAL-98] Ballentine, L.E.;  “Quantum Mechanics: A Modern Development”; World Scientific; Singapore, 1998.

[BER-18] Berman, P.R.;  “ Introductory Quantum Mechanics: ”; Springer, 2018; https://doi.org/10.1007/978-3-319-68598-4_10.

[BOH-89] Bohm, D.;  «Quantum Theory»; Dover; New York, 1989.

[BRA-00] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; «Quantum Mechanics»; 2nd ed., Pearson; Dorchester, 2000.

[BRA-06] Bransden, B.H. and Joachain, C.J.; «Physics of Atoms & Molecules»; Longman, New York, 1983 (2nd ed.: Pearson; Dorchester, 2000).

[GAL-89] Galindo, A. y Pascual, P.; «Mecánica Cuántica», Eudema, 1989.

[NEU-91] Neumann, J. von; «Fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica», CSIC, Raycar, Madrid, 1991.

[RAI-72] Rainville, E.D., «Intermediate Differential Equations», Chelsea Pub. Co.; N.Y., 1972.

[SCH-68] Schiff, L.I.; «Quantum Mechanics»; 3º ed., McGraw; 1968.

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